Meilleure méthode pour résoudre une équation

Bonjour à tous,

Je suis de retour sur le forum après quelques mois d'inactivité...

J'ai une question toute bête à propos d'une équation :

30000L=1460000+500T
5000T=370000+600L

Quelle est la méthode la plus rapide pour résoudre ce type d'équation ?

Merci !

Déjà, enlever des zéros , yen a bien trop ! Ensuite, par substitution : dans la première équation, remplacer 50T par 3700 + 6L.

C'est un système d'équations linéaires. Cela peut se résoudre par substitution ou par combinaisons linéaires.

Dans ce système-là, où on voit tout de suite que 5000 c'est 500*10 et 30000 c'est 600*50, donc : tu multiplies la première par 10, tu ajoutes les deux  (bref tu fais L1 <-- 10L1 + L2) et tu isoles ainsi L ; tu multiplies la seconde par 50, tu l'ajoutes à la première (donc tu fais L2 <-- 50L2 + L1) et tu isoles ainsi T.
Auparavant, comme dit par les collègues, tu peux tout diviser par 100 pour enlever quelques zéros...

Mais c'est la méthode la plus rapide pour ce système-là, pas forcément pour tous les systèmes de ce genre...

Je me tue à dire à mes élèves : non, y'a pas "la meilleure méthode" et les autres : en fonction du système, et de vos aptitudes en calcul mental, à vous de voir ce qui va bien coller (substitution, combinaison linéaire, un mix des deux ?)

Multiplier la première équation par 10 et faire une soustraction entre la première et la seconde, puis déterminer L.
Ensuite on réinjecte la valeur de L, dans la seconde équation pour trouver T.
30000L=1460000+500T (1)
5000T=370000+600L (2)


300000 L = 14 600 000 + 5000T (1)X10
5000T=370000+600L (2)

299400L= 14 970 000 (1)X10 -(2)
5000T=370000+600L (2)

299400L= 14 970 000 (1)X10 -(2)
5000T=370000+600L (2)

L= 50 (1)X10 -(2)
5000T=370000+600L (2)

L= 50 (1)X10 -(2)
5000T=370000+600x 50 (2)

L=50 et T= 80 si je ne me trompe pas

Pat B a écrit:Dans ce système-là, où on voit tout de suite que 5000 c'est 500*10 et 30000 c'est 600*50, donc : tu multiplies la première par 10, tu ajoutes les deux  (bref tu fais L1 <-- 10L1 + L2) et tu isoles ainsi L ; tu multiplies la seconde par 50, tu l'ajoutes à la première (donc tu fais L2 <-- 50L2 + L1) et tu isoles ainsi T.
Auparavant, comme dit par les collègues, tu peux tout diviser par 100 pour enlever quelques zéros...

Mais c'est la méthode la plus rapide pour ce système-là, pas forcément pour tous les systèmes de ce genre...

Je me tue à dire à mes élèves : non, y'a pas "la meilleure méthode" et les autres : en fonction du système, et de vos aptitudes en calcul mental, à vous de voir ce qui va bien coller (substitution, combinaison linéaire, un mix des deux ?)

Pédagogiquement, je déconseille (à coups de fouets) aux élèves cette troisième méthode.

Pour deux raisons.

1) Du point de vue logique, si on veut être certains d'être bien en train de raisonner par équivalences, il faut appliquer un algorithme dont le résultat est prouvé. Substitutions ou combinaisons et pivot de Gauss, donc, mais pas transformations au petit bonheur la chance. Ou alors on ne raisonne plus que par conditions nécessaires, et il faut vérifier que le résultat final est bien solution.

2) Plus prosaïquement, laisser l'élève mélanger deux méthodes, c'est avoir la garantie qu'il n'arrivera nulle part. (Syndrôme du je sais pas trop quoi faire, alors j'essaye un peu un truc, mais comme ça marche pas immédiatement à mi-route j'en essaye un peu un autre, et je sais encore moins où j'en suis...)

Pour en revenir à la question initiale : commencer par diviser par 100 chaque équation puis "regrouper" les termes en la même inconnue du même côté pour présenter en colonnes permet déjà d'y voir beaucoup plus clair.

30000L=1460000+500T
5000T=370000+600L

équivaut à

300L-5T=14600
-6L+50T=3700

Où encore mieux en divisant la première équation par 5

60L-T=2920
-6L+50T=3700

Ensuite, comme cela a été dit, substitutions ou combinaisons.

Si on veut la méthode la plus simple dans ce cas :

3000L=146000+50T =146000+ 3700 + 6L
2994 L = 149700
L = 50.

Ensuite, remplacer L par 50 dans la deuxième :
50T=3700+6*50
50T=4000
T=80.

Anaxagore a écrit:C'est un système d'équations linéaires. Cela peut se résoudre par substitution ou par combinaisons linéaires.

Ou par pivot de gauss
Ou par inversion de matrice

Merci à vous pour toutes vos réponses.


Mathmax ta méthode est en effet la plus séduisante.

Prezbo, je comprends ton souci en tant que professeur de mathématiques auprès d'élèves en début de formation mais notre collègue je crois ne fait pas de mathématiques, il veut juste se débrouiller pour obtenir rapidement une solution, et évidemment il va vérifier que le résultat est bien solution. Il me semble que le « bidouillage » n'est pas grave dans son cas.

LaMaisonQuiRendFou a écrit:Bonjour à tous,

Je suis de retour sur le forum après quelques mois d'inactivité...

J'ai une question toute bête à propos d'une équation :

30000L=1460000+500T
5000T=370000+600L

Quelle est la méthode la plus rapide pour résoudre ce type d'équation ?

Merci !

Wolfram Alpha.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=30000L%3D1460000%2B500T+and+5000T%3D370000%2B600L

mathmax a écrit:Prezbo, je comprends ton souci en tant que professeur de mathématiques auprès d'élèves en début de formation mais notre collègue je crois ne fait pas de mathématiques, il veut juste se débrouiller pour obtenir rapidement une solution,

Les mathématiques appliquées c'est vraiment sale. Beurk.

D'ailleurs, on devrait interdire l'usage d'outils mathématiques aux non mathématiciens. Ils vont les abimer.

Prezbo a écrit:

Pat B a écrit:Dans ce système-là, où on voit tout de suite que 5000 c'est 500*10 et 30000 c'est 600*50, donc : tu multiplies la première par 10, tu ajoutes les deux  (bref tu fais L1 <-- 10L1 + L2) et tu isoles ainsi L ; tu multiplies la seconde par 50, tu l'ajoutes à la première (donc tu fais L2 <-- 50L2 + L1) et tu isoles ainsi T.
Auparavant, comme dit par les collègues, tu peux tout diviser par 100 pour enlever quelques zéros...

Mais c'est la méthode la plus rapide pour ce système-là, pas forcément pour tous les systèmes de ce genre...

Je me tue à dire à mes élèves : non, y'a pas "la meilleure méthode" et les autres : en fonction du système, et de vos aptitudes en calcul mental, à vous de voir ce qui va bien coller (substitution, combinaison linéaire, un mix des deux ?)

Pédagogiquement, je déconseille (à coups de fouets) aux élèves cette troisième méthode.

Une fois en TS j'ai fait un mix des deux (la fatigue probablement). J'ai tourné en rond pendant 10 minutes. Je me suis fait incendier. Bon, c'était mérité.

ycombe a écrit:

Anaxagore a écrit:C'est un système d'équations linéaires. Cela peut se résoudre par substitution ou par combinaisons linéaires.

Ou par pivot de gauss
Ou par inversion de matrice

Enfin sur ce genre d'exemple la sauce reviendrait plus cher que le poisson.

mathmax a écrit:Si on veut la méthode la plus simple dans ce cas :

3000L=146000+50T =146000+ 3700 + 6L
2994 L = 149700
L = 50.

Ensuite, remplacer L par 50 dans la deuxième :
50T=3700+6*50
50T=4000
T=80.

C'est ce que j'ai fait aussi.
Première étape de toute résolution : bien regarder le bestiau droit dans les yeux pour savoir à qui on a affaire. Puis choisir l'arme en fonction.
Les 500T et 5000T indiquent bien à qui on a affaire, ici.

JPhMM a écrit:

mathmax a écrit:Si on veut la méthode la plus simple dans ce cas :

3000L=146000+50T =146000+ 3700 + 6L
2994 L = 149700
L = 50.

Ensuite, remplacer L par 50 dans la deuxième :
50T=3700+6*50
50T=4000
T=80.

C'est ce que j'ai fait aussi.
Première étape de toute résolution : bien regarder le bestiau droit dans les yeux pour savoir à qui on a affaire. Puis choisir l'arme en fonction.

Quand il y en a non pas seulement deux mais tout un troupeau, ce doit être épique !

Anaxagore a écrit:

ycombe a écrit:

Anaxagore a écrit:C'est un système d'équations linéaires. Cela peut se résoudre par substitution ou par combinaisons linéaires.

Ou par pivot de gauss
Ou par inversion de matrice

Enfin sur ce genre d'exemple la sauce reviendrait plus cher que le poisson.

Les matrices de passage sont-elle au programme du lycée ?

J'adore, c'est tellement esthétique !

mathmax a écrit:Prezbo, je comprends ton souci en tant que professeur de mathématiques auprès d'élèves en début de formation mais notre collègue je crois ne fait pas de mathématiques, il veut juste se débrouiller pour obtenir rapidement une solution, et évidemment il va vérifier que le résultat est bien solution. Il me semble que le « bidouillage » n'est pas grave dans son cas.

C'est exactement cela.

J'avais trouvé le résultat "à la main" mais ma méthode baroque n'était guère séduisante. Sinon j'utilise le solveur d'Excel, comme une grosse feignasse... Mais vu l'équation cela aurait été comme écraser une mouche avec un marteau.

Je dis souvent à mes étudiants qu'en comptabilité on se contente d'utiliser les 4 opérations de base de calcul. C'est une façon de rassurer les plus récalcitrants, qui se rendent compte rapidement que l'on peut être très bon en comptabilité, même lorsque l'on a un contentieux avec les mathématiques.

Le fait est que dans un exercice, il fallait impérativement poser cette équation (une sombre histoire de fusion de deux sociétés avec des participations croisées, bref le bazar habituel).

Or, je me suis rendu compte que j'étais incapable d'expliquer clairement comment résoudre ce type d'équation. Et même si j'ai maintenant des étudiants de bon niveau, beaucoup ont eu du mal à trouver le résultat... Tout simplement parce que cela faisait des années qu'ils n'avaient pas eu à résoudre une équation de ce type.

Flaure a écrit:

JPhMM a écrit:

mathmax a écrit:Si on veut la méthode la plus simple dans ce cas :

3000L=146000+50T =146000+ 3700 + 6L
2994 L = 149700
L = 50.

Ensuite, remplacer L par 50 dans la deuxième :
50T=3700+6*50
50T=4000
T=80.

C'est ce que j'ai fait aussi.
Première étape de toute résolution : bien regarder le bestiau droit dans les yeux pour savoir à qui on a affaire. Puis choisir l'arme en fonction.

Quand il y en a non pas seulement deux mais tout un troupeau, ce doit être épique !

C'est un métier

JPhMM a écrit:

Flaure a écrit:

JPhMM a écrit:

mathmax a écrit:Si on veut la méthode la plus simple dans ce cas :

3000L=146000+50T =146000+ 3700 + 6L
2994 L = 149700
L = 50.

Ensuite, remplacer L par 50 dans la deuxième :
50T=3700+6*50
50T=4000
T=80.

C'est ce que j'ai fait aussi.
Première étape de toute résolution : bien regarder le bestiau droit dans les yeux pour savoir à qui on a affaire. Puis choisir l'arme en fonction.

Quand il y en a non pas seulement deux mais tout un troupeau, ce doit être épique !

C'est un métier

J'imagine la galerie des trophées avec toutes ces inconnues clouées une bonne fois pour toutes. 

Y a un petit côté Barbe Bleue.

Je ne joue plus avec toi, tu gagnes à chaque fois 

J'ai 5/5 dans la compétence "trouver des images débiles" de Pix.

Au siècle dernier...
Il était conseillé d'utiliser la méthode de substitution quand un des coefficients est 1 ou -1.
La méthode de Cramer était vue en seconde.
Pour les amateurs :
https://www.youtube.com/watch?v=C5iTdEGAvBY
http://rdassonval.free.fr/flash/cramer.jpg

Prezbo a écrit:

mathmax a écrit:Prezbo, je comprends ton souci en tant que professeur de mathématiques auprès d'élèves en début de formation mais notre collègue je crois ne fait pas de mathématiques, il veut juste se débrouiller pour obtenir rapidement une solution,

Les mathématiques appliquées c'est vraiment sale. Beurk.

D'ailleurs, on devrait interdire l'usage d'outils mathématiques aux non mathématiciens. Ils vont les abimer.

Comment ferons-nous pour faire de la physique ?