Pour la géométrie au collège...

En même temps, on ne fait que cacher la poussière sous le tapis, on ne fait pas, on repousse à l'année n+1 et arrivé en T-S, quand on soulève le tapis, c'est grave !
Les TS qui n'ont jamais fait de géométrie dans l'espace (pas fait en 2nde), ne savent pas ce qu'est une équivalence ou une contraposée, ne savent pas ce qu'est une médiane ou que dans un triangle équilatéral, une hauteur est aussi médiatrice, qui confondent théorème de Pythagore et sa réciproque ("c'est Pythagore !", reliquat de l'époque on ne devait pas faire la différence entre théorème direct et réciproque et où "contraposée" était un gros mot) peuvent-ils tout assimiler d'un coup ? Parce que là, plus moyen de repousser...
Sans parler des exercices de géométrie analytique où il faut prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme car ses diagonales ont le même milieu, ou un rectangle car c'est un parallélogramme qui a ses diagonales de même longueur, on arrête ?
Les lieux de points, on oublie totalement ? Au bûcher le cercle !

Ah oui, c'est vrai, on a pas encore les programmes de 1ère et terminale...nul doute qu'on va régler le problème à grands coups de gomme sur les contenus...on va égaliser par le vide

Pèp a écrit:
Sans parler des exercices de géométrie analytique où il faut prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme car ses diagonales ont le même milieu...

Je suis très content de faire ça avec mes 5ème sur Scratch pour démontrer le théorème de Varignon. Ça fait partie des rares trucs que je fais sur Scratch sans avoir l’impression de perdre mon temps et le leur

qui confondent théorème de Pythagore et sa réciproque ("c'est Pythagore !", reliquat de l'époque on ne devait pas faire la différence entre théorème direct et réciproque et où "contraposée" était un gros mot) peuvent-ils tout assimiler d'un coup ?

Pour être plus précis, on avait fusionné le théorème de Pythagore et sa réciproque, ce qui n'était pas absurde car Thalès comme Pythagore sont des équivalences. Je n'ai pas eu trop de peine à enseigner Pythagore comme une équivalence car je l'avais appris comme une équivalence ainsi que Thalès avec les distances algébriques. J'ai découvert les réciproques de Thalès et de Pythagore quand je suis devenu prof.

Ce qui m'exaspère le plus c'est que ce changement n'a duré que 5 ou 6 ans et qu'en plus les profs du lycée ne semblaient pas toujours au courant... D'un autre côté, à la correction du brevet, des profs de collège voulaient absolument retirer des points si on oubliait le mot "réciproque", ils ne savaient pas qu'il y avait eu un changement... Mais lesquels avaient torts ??? Quand nous sommes revenus à la formule avec réciproque je me suis dit que j'avais eu tort de changer...

Il est en effet étonnant d'enseigner aux élèves la différence entre sens direct, réciproque, contraposée et contraposée de la réciproque, avec un théorème qui est une équivalence (sans parler du fait que c'est leur inspirer trop souvent l'idée que tout théorème est une équivalence).
Mieux vaudrait enseigner sens direct et réciproque dans un cas où précisément la réciproque est fausse, cela aurait un sens pour les élèves.

Totalement d'accord avec toi JPhMM, il me semble que c'est dans les années 90, que la mode des proprités directes (Si..., alors...) s'est imposé. En même temps que la forme à 3 étapes : On sait que ..., or... Donc...
Avant on parlait d'hypothèses, c'était bien plus claires que "données" car en hypothèse il ne faut prendre que la partie utile des données... Nous avions plus de variation dans le style avec des "puisque", "Ainsi", De même, Par conséquent, si et seulement si, Etant donné que, par définition, etc... On peut toujours dire que cette variation n'était pas claire pour les élèves, mais je pense justement l'inverse. A force d'utiliser toujours la même forme "sacrée", c'est comme à la messe, on peut réciter le notre père en latin sans en comprendre le moindre mot... Actuellement, il n'est pas rare de constater que des élèves sérieux et scolaires sont capables d'écrire une "belle" démonstration complète sans comprendre la signification du "si" ou du "alors".

Et à la même époque on a cessé les signes <=> et => on devait travailler uniquement avec des => sans le dire, il me semble même qu'à une époque quand on résolvait des équations avec des => sans le dire ni l'écrire on devait finir par une pirouette pour prouver que le cercle était bien fermé alors que c'était inutile car on utilisait uniquement des équations équivalentes...
D'ailleurs maintenant, les élèves aimeraient bien ajouter un signe entre deux équations et comme ils ne connaissent pas le <=> et bien ils écrivent =, et même si je leur explique que ce n'est pas correct, je me dis qu'ils sont intelligents, car ils savent bien qu'il manque un lien...

A une époque on commençait une résolution d'équation par la phrase : "Les équations suivantes sont équivalentes :"

Et justement, comment présentez-vous les résolutions d'équations en collège ? Ça me gêne chaque année d’écrire des successions d'égalité sans lien logique...

Je m'incruste au sujet du mot "hypothèses" auquel j'ai été éduquée. Ce mot n'a pas du tout la même signification en sciences expérimentales et je l'ai pleinement réalisé lorsque j'ai eu en classe la fille de ma collègue de biologie, cette élève inversait systématiquement les démonstrations ! Son frère aîné avait fait tout seul la part des choses et ne s'était jamais trompé. J'ai alors compris que certains élèves savaient d'instinct quand il fallait faire des liens entre les cours et quand il valait mieux éviter.

J'ai dû expliquer le mot conjecture en seconde (je pensais qu'ils en faisaient tous en collège, c'est la mode non ?). Et là un élève me sort "mais alors, une conjecture, c'est une hypothèse ?"
Aaaargh....

Grrr... Oui, en sciences ça correspond, on fait une hypothèse dont on veut prouver la véracité, et ça s'appelle conjecture en maths. J'ai donc dû expliquer le mot hypothèse en maths, qu'ils n'avaient jamais vu... et du coup ils ont bien du mal à comprendre. puisque pour eux, la définition scientifique rejoint le sens courant. Et en maths le sens serait différent : une hypothèse c'est ce qu'on sait, ça heurte leur logique, à juste titre.... (pourtant, le sens est le même que le sens courant, en réalité : "quand on fait telle et telle hypothèse sur la figure, que peut-on démontrer ?"... mais pour eux, c'est trop complexe)

Et en Terminale S nous leur demandons de rédiger :
"Supposons, hypothèse de récurrence, que ......"

JPhMM a écrit:Il est en effet étonnant d'enseigner aux élèves la différence entre sens direct, réciproque, contraposée et contraposée de la réciproque, avec un théorème qui est une équivalence (sans parler du fait que c'est leur inspirer trop souvent l'idée que tout théorème est une équivalence).
Mieux vaudrait enseigner sens direct et réciproque dans un cas où précisément la réciproque est fausse, cela aurait un sens pour les élèves.

D'accord, mais encore faudrait-il qu'on ne passe pas sous silence cette équivalence, ce qu'est une équivalence en général...
Ma remarque portait sur le fait que le théorème de Pythagore était d'abord enseigné comme théorème direct/réciproque/contraposée, et que c'était l'occasion de parler de logique et d'amener l'équivalence, et qu'ensuite, une sorte de flou total a été imposé sur ce théorème où, sous prétexte d"équivalence" (mais une équivalence implicite, n'est ce pas) il suffisait de dire le mot magique "Pythagore" pour tout justifier, y compris en omettant de dire que le triangle est rectangle...
D'où, comme dit Manu7, l'embrouille entre le mystérieux <=> et le sympathique =
AUCUN des élèves que j'ai eu cette semaine en 1-S ou en T-S n'avait entendu le mot "contraposée"...(ni "si et seulement si"...ni "il faut et il suffit"...mais là je doute un peu ou je soupçonne un déficit auditif...)

J'aimerais bien parler de contraposée, utiliser ssi etc au collège, mais l'inspecteur m'a bien expliqué que ça n'est pas au programme et qu'il ne faut leur embrouiller les idées car c'est trop compliqué comme notion ...

Pat B a écrit:J'ai dû expliquer le mot conjecture en seconde (je pensais qu'ils en faisaient tous en collège, c'est la mode non ?). Et là un élève me sort "mais alors, une conjecture, c'est une hypothèse ?"
Aaaargh....

Grrr... Oui, en sciences ça correspond, on fait une hypothèse dont on veut prouver la véracité, et ça s'appelle conjecture en maths. J'ai donc dû expliquer le mot hypothèse en maths, qu'ils n'avaient jamais vu... et du coup ils ont bien du mal à comprendre. puisque pour eux, la définition scientifique rejoint le sens courant. Et en maths le sens serait différent : une hypothèse c'est ce qu'on sait, ça heurte leur logique, à juste titre.... (pourtant, le sens est le même que le sens courant, en réalité : "quand on fait telle et telle hypothèse sur la figure, que peut-on démontrer ?"... mais pour eux, c'est trop complexe)

Je fais du grec de comptoir en disant que c'est ce qui est sous la thèse, et ce qui permet de la soutenir, ce sur quoi on va s'appuyer. 


Ouais enfin, c'est sûr que ça ne leur plaît pas.
Et la confusion conjecture / conjoncture. 

Je différencierais le cas de l'équivalence et le cas de la contraposée. Après un travail suffisant sur sens direct et réciproque on peut, et le cadre des résolutions s'y prête parler d'équivalence. Pour la contraposée il vaut mieux remplacer cela par des raisonnements par l'absurde, qui sont plus explicites, et n'utiliser la contraposée que lorsqu'on aura été capable de comprendre une preuve de son équivalence avec l'implication directe.

Rubik a écrit:J'aimerais bien parler de contraposée, utiliser ssi etc au collège, mais l'inspecteur m'a bien expliqué que ça n'est pas au programme et qu'il ne faut leur embrouiller les idées car c'est trop compliqué comme notion ...

Je n'en doute pas, comme beaucoup d'entre nous...

Alors on repousse...en 2nde? Il suffit d'avoir une classe pénible et peu intéressée pour qu'on ne s'attarde pas (i.e. on y passe 20 mn un vendredi après-midi)...et on repousse...etc...pareil pour plein de choses jusqu'à ce qu'on ne puisse plus repousser et là ça explose, surcharges cognitives, claquages de cerveau etc...

Anaxagore a écrit:Je différencierais le cas de l'équivalence et le cas de la contraposée. Après un travail suffisant sur sens direct et réciproque on peut, et le cadre des résolutions s'y prête parler d'équivalence. Pour la contraposée il vaut mieux remplacer cela par des raisonnements par l'absurde, qui sont plus explicites, et n'utiliser la contraposée que lorsqu'on aura été capable de comprendre une preuve de son équivalence avec l'implication directe.

D'accord, mais dans quel contexte faire ce "travail suffisant sur le sens direct et réciproque" ? A quel moment de la scolarité ?
Pour la contraposée, c'est quand même de la logique "formelle" (càd non toujours applicable à la vie de tous les jours sauf au pays des merveilles).
Et comment expliquer sans la contraposée que dans "A si et seulement si B", le "A seulement si B" veut dire A=>B (et re même question : à quel moment utiliser si et seulement si, il faut et il suffit...).
J'ai l'impression de devenir un prof de recettes et de proportionnalité.

Manu7 a écrit:Totalement d'accord avec toi JPhMM, il me semble que c'est dans les années 90, que la mode des proprités directes (Si..., alors...) s'est imposé. En même temps que la forme à 3 étapes : On sait que ..., or... Donc...
Avant on parlait d'hypothèses, c'était bien plus claires que "données" car en hypothèse il ne faut prendre que la partie utile des données... Nous avions plus de variation dans le style avec des "puisque", "Ainsi", De même, Par conséquent, si et seulement si, Etant donné que, par définition, etc... On peut toujours dire que cette variation n'était pas claire pour les élèves, mais je pense justement l'inverse. A force d'utiliser toujours la même forme "sacrée", c'est comme à la messe, on peut réciter le notre père en latin sans en comprendre le moindre mot... Actuellement, il n'est pas rare de constater que des élèves sérieux et scolaires sont capables d'écrire une "belle" démonstration complète sans comprendre la signification du "si" ou du "alors".

Et à la même époque on a cessé les signes <=> et => on devait travailler uniquement avec des => sans le dire, il me semble même qu'à une époque quand on résolvait des équations avec des => sans le dire ni l'écrire on devait finir par une pirouette pour prouver que le cercle était bien fermé alors que c'était inutile car on utilisait uniquement des équations équivalentes...
D'ailleurs maintenant, les élèves aimeraient bien ajouter un signe entre deux équations et comme ils ne connaissent pas le <=> et bien ils écrivent =, et même si je leur explique que ce n'est pas correct, je me dis qu'ils sont intelligents, car ils savent bien qu'il manque un lien...

A une époque on commençait une résolution d'équation par la phrase : "Les équations suivantes sont équivalentes :"

Je suis assez d'accord avec toi, y compris sur la diabolisation excessive du raisonnement par équivalence, et sur le fait qu'il n'est possible de travailler sérieusement sur la différence entre une propriété et sa réciproque...que lorsqu'on peut l'illustrer pas des propriétés dont la réciproque n'est pas toujours vraie. Sans quoi on prétend faire du raisonnement logique, alors que la plupart des élèves n'en retiennent que des fomules toutes faites.

Quelles sont les propriétés classiques du collège/lycée dont la réciproque n'est pas toujours vraie ? Le premier exemple qui m'est venu en tête est "toute fonction dérivable est continue", et il arrive tard.

Pat B a écrit:J'ai dû expliquer le mot conjecture en seconde (je pensais qu'ils en faisaient tous en collège, c'est la mode non ?). Et là un élève me sort "mais alors, une conjecture, c'est une hypothèse ?"
Aaaargh....

J'ai exactement la même réaction chaque année en seconde. En fait, ce que les élèves ne comprennent pas, ce n'est pas le mot conjecture : c'est le sens précis du mot hypothèse dans le contexte d'un raisonnement mathématiques, qui ne coïncide effectivement pas avec le sens courant.

Mais de toute façon, c'est tout l'enseignement de la logique qui serait à recréer. (Une fois qu'on aura recréé celui du calcul et celui de la géométrie non repérée.)

@pep

Honnêtement, je le faisais de la 6ème à la 3ème. Je préférais écrire une équivalence ou "il faut et il suffit". Pour le "seulement si", par l'absurde si vraiment je tenais à en parler.

Anaxagore a écrit:Je différencierais le cas de l'équivalence et le cas de la contraposée. Après un travail suffisant sur sens direct et réciproque on peut, et le cadre des résolutions s'y prête parler d'équivalence. Pour la contraposée il vaut mieux remplacer cela par des raisonnements par l'absurde, qui sont plus explicites, et n'utiliser la contraposée que lorsqu'on aura été capable de comprendre une preuve de son équivalence avec l'implication directe.

C'est amusant, parce que plusieurs de mes profs de lycée et de prépa étaient très fortement opposés à l'emploi abusif du raisonnement par l'absurde, qu'ils préconisaient de remplacer partout où c'était possible par un raisonnement par contraposée.

A titre personnel, j'ai toujours trouvé cette position d'un purisme excessif, puisque l'équivalence entre une proposition et sa contraposée se démontre de toute façon par un raisonnement par l'absurde.

Prezbo a écrit:

Anaxagore a écrit:Je différencierais le cas de l'équivalence et le cas de la contraposée. Après un travail suffisant sur sens direct et réciproque on peut, et le cadre des résolutions s'y prête parler d'équivalence. Pour la contraposée il vaut mieux remplacer cela par des raisonnements par l'absurde, qui sont plus explicites, et n'utiliser la contraposée que lorsqu'on aura été capable de comprendre une preuve de son équivalence avec l'implication directe.

C'est amusant, parce que plusieurs de mes profs de lycée et de prépa étaient très fortement opposés à l'emploi abusif du raisonnement par l'absurde, qu'ils préconisaient de remplacer partout où c'était possible par un raisonnement par contraposée.

A titre personnel, j'ai toujours trouvé cette position d'un purisme excessif, puisque l'équivalence entre une proposition et sa contraposée se démontre de toute façon par un raisonnement par l'absurde.

Oui c'est le dernier chic. Pas d'axiome du choix. Pas de raisonnement par l'absurde.

Eh ben merde. Il y a un temps pour la coquetterie et les raffinements et il y a un temps pour faire du terrassement.

Prezbo a écrit:Quelles sont les propriétés classiques du collège/lycée dont la réciproque n'est pas toujours vraie ? Le premier exemple qui m'est venu en tête est "toute fonction dérivable est continue", et il arrive tard.

Je les ai détrompés très récemment quand ils ont voulu prouver qu'un point C était milieu d'un segment [AB] en montrant que AC=BC.
Ca peut faire l'affaire ? 

Si C milieu de [AB] alors AC=BC mais la réciproque n'est pas toujours vraie.

Si ABCD est un carré alors ABCD est un rectangle et en plus on peut la décliner.

Flaure a écrit:

Prezbo a écrit:Quelles sont les propriétés classiques du collège/lycée dont la réciproque n'est pas toujours vraie ? Le premier exemple qui m'est venu en tête est "toute fonction dérivable est continue", et il arrive tard.

Je les ai détrompés très récemment quand ils ont voulu prouver qu'un point C était milieu d'un segment [AB] en montrant que AC=BC.
Ca peut faire l'affaire ? 

Si C milieu de [AB] alors AC=BC mais la réciproque n'est pas toujours vraie.

Oui. 6ème, lorsque j'enseignais en collège.

Flaure a écrit:
Je les ai détrompés très récemment quand ils ont voulu prouver qu'un point C était milieu d'un segment [AB] en montrant que AC=BC.
Ca peut faire l'affaire ? 

Si C milieu de [AB] alors AC=BC mais la réciproque n'est pas toujours vraie.

Oui.

L’équivalence s’invite au moins explicitement dès les critères de divisibilité.

Pour les élèves de collège, tout est équivalence. Pas plus tard que ce matin, un élève m’a dit : « les deux droites sont symétriques par rapport à O parce qu’elles sont parallèles. »

Flaure a écrit:

Prezbo a écrit:Quelles sont les propriétés classiques du collège/lycée dont la réciproque n'est pas toujours vraie ? Le premier exemple qui m'est venu en tête est "toute fonction dérivable est continue", et il arrive tard.

Je les ai détrompés très récemment quand ils ont voulu prouver qu'un point C était milieu d'un segment [AB] en montrant que AC=BC.
Ca peut faire l'affaire ? 

Si C milieu de [AB] alors AC=BC mais la réciproque n'est pas toujours vraie.

J’y ai droit tous les ans.

Cadeau : https://framadrop.org/r/f85WO261_Q#y5Q9Doc/UH3mUL8jrkl5kk5+TkMcNX4fB6kWWskTDwE=
En début de seconde.