Pour la géométrie au collège...

Mathador a écrit:

Manu7 a écrit:Franchement je ne comprends pas bien le problème ou alors je ne veux pas le comprendre, je ne sais pas ???

Pour moi quand on écrit A <=> B <=> C on n'écrit pas (A <=> B) <=> C

<=> est un opérateur infixe binaire associatif sur des valeurs logiques, tout comme + est un opérateur infixe binaire associatif sur des valeurs numériques. Il me semble donc délicat de faire une distinction syntaxique de traitement entre ces opérateurs, alors qu'entre + et ssi il y a un opérateur en langage mathématique et l'autre en français.
Étant donné que l'on calcule a+b+c comme (a+b)+c, la similarité syntaxique sus-mentionnée conduit à interpréter A<=>B<=>C comme (A<=>B)<=>C. Ce genre d'écriture est d'ailleurs plus fréquent avec les autres opérateurs logiques courants, commutatifs et associatifs: le ET (qui se note aussi multiplicativement, et qui correspond au produit dans Z/2Z), le OU (qui se note aussi additivement, et qui correspond au max sur {0,1}) ou encore le OU exclusif (qui correspond à l'addition dans Z/2Z, et qui est la négation logique de <=>).

nuance entre équivalence logique comme élément de langage d'un discours reliant les propositions et l'équivalence opérateur cf équivalence matérielle (terme rencontré par ex. là page9 en bas noté là un peu différemment <->)
que je perçois comme étant cet opérateur (mais je n'y connais pas grand chose )

en collège dans les 70's on écrivait bien des (A )<=>( B )<=> (C) qui étaient décodés A équivaut à B qui est elle même équivalente à C sans plus d'ambiguité dans le discours qu'un ce qui signifie que :(qui est le "ce" il commence ou ) par exemple.
et c'était bien pratique pour inéquations, les systèmes d'équations etc..
mais à l'époque parenthèses obligatoires de chaque coté de <=> au collège ! sinon on se faisait allumer par le prof

on écrivait ((x-2)(y-3)=0 ) <=> ( x-2=0 ou x-3=0 ) <=> (x=2 ou x=3)

et on ne laissait pas de vide en cas de retour à la ligne sans un mot ou un symbole de liaison entre elles non plus!

Mathador a écrit:

Manu7 a écrit:Franchement je ne comprends pas bien le problème ou alors je ne veux pas le comprendre, je ne sais pas ???

Pour moi quand on écrit A <=> B <=> C on n'écrit pas (A <=> B) <=> C

<=> est un opérateur infixe binaire associatif sur des valeurs logiques, tout comme + est un opérateur infixe binaire associatif sur des valeurs numériques. Il me semble donc délicat de faire une distinction syntaxique de traitement entre ces opérateurs, alors qu'entre + et ssi il y a un opérateur en langage mathématique et l'autre en français.
Étant donné que l'on calcule a+b+c comme (a+b)+c, la similarité syntaxique sus-mentionnée conduit à interpréter A<=>B<=>C comme (A<=>B)<=>C. Ce genre d'écriture est d'ailleurs plus fréquent avec les autres opérateurs logiques courants, commutatifs et associatifs: le ET (qui se note aussi multiplicativement, et qui correspond au produit dans Z/2Z), le OU (qui se note aussi additivement, et qui correspond au max sur {0,1}) ou encore le OU exclusif (qui correspond à l'addition dans Z/2Z, et qui est la négation logique de <=>).

il n'y a pas une nuance entre équivalence logique comme élément de langage d'un discours reliant les propositions utilisé dans les rédactions pour élèves  et l'équivalence opérateur cf équivalence  matérielle (terme rencontré par ex. là page9 en bas noté là un peu différemment <->)
que je perçois comme étant cet opérateur ? (mais je n'y connais pas grand chose )

En collège  dans les 70's on écrivait bien des  (A )<=>( B )<=> (C)  qui étaient décodés  A équivaut à B  qui est elle même équivalente à C sans plus d'ambiguïté dans le discours qu'un ce qui signifie que  :(qui est le "ce" il commence où ) par exemple.
et c'était  bien pratique pour inéquations, les systèmes d'équations etc..
mais à l'époque parenthèses obligatoires de chaque coté de <=>  au collège ! sinon on se faisait allumer par le prof

on écrivait ((x-2)(y-3)=0 ) <=> ( x-2=0 ou x-3=0 )  <=> (x=2 ou x=3)  

et on ne laissait pas de vide en cas de retour à la ligne  sans un mot ou un  symbole  de liaison entre elles non plus!

en terminale certains manuels utilisaient  deux symboles distincts pour des implications aussi,  => et => avec un point au dessus

Ps mon livre de seconde 1973 contient  la démonstration de  a>b est antisymétrique : On démontre que " a>b et b>a => a=b "

qui finit quand même 6 lignes après par un  commentaire qui éclaire la démarche l'ensemble de couples de réels tels que a>b et b>a qui est vide est bien inclus dans l'ensemble des couples de réels tels que a= b

Je crois que pour beaucoup d'élèves la résolution d'équations relève du calcul. 
Ils enchaînent pour eux des actes licites pour dénouer le problème comme ils le font pour aboutir au résultat d'un calcul. 

L'idée de résoudre une équation initiale en se ramenant à des équations équivalentes (mais pas égales, alors que eux ont l'impression de manipuler une seule équation qui "évoluerait") jusqu'à une équation dont les solutions sont évidentes m'avait tout juste effleurée à l'époque et j'en re-découvre le principe (avec la prudence de ceux qui n'avaient pas tout compris).

dasson a écrit:Une inéquation, comme une équation, est une question comme "quels x tels que ...>..."
La lettre x ne peut pas "disparaitre" !
La dernière inéquation équivalente à celle donnée peut-être 10>0x.
Et c'est moins mystérieux ?

Si, elle peut tout à fait disparaître: rien n'empêche de donner du sens à 10>0 inéquation d'inconnue x; comme l'inégalité est vraie toutes les valeurs de x sont solutions.
Le premier point, quant à lui, mérite selon moi d'être approfondi: résoudre une équation c'est expliciter un ensemble défini par compréhension. Cette définition permet de regrouper équations algébriques, courbes de niveau et équations de courbe.
Exemples:
1) On résout dans R l'équation x²=4, d'inconnue x. Cela revient à déterminer l'ensemble {x∈R | x²=4}, et l'on trouve {-2;2}.
2) On résout dans le plan l'équation AM²+BM² = AB², d'inconnue M. Le théorème de Pythagore et celui de l'angle inscrit permettent d'établir que l'ensemble des solutions, que l'on peut a priori noter {M∈P | AM²+BM²=AB²} est le cercle de diamètre [AB].
3) On résout dans le plan muni de (O,I,J) orthonormé l'équation x_M = y_M, d'inconnue M. On peut établir (en utilisant la symétrie axiale par exemple) que l'ensemble des solutions est la médiatrice de [IJ]. On dira que cette dernière droite a pour équation x=y (et le M, qui est pourtant l'inconnue, disparaît…).

lecteur a écrit:il n'ya pas une nuance entre équivalence logique comme élément de langage d'un discours reliant les propositions utilsé dans les rédactions pour élèves  et l'équivalence opérateur cf équivalence  matérielle (terme rencontré par ex. là page9 en bas noté là un peu différemment <->)
que je perçois comme étant cet opérateur (mais je n'y connais pas grand chose )

C'est effectivement une piste intéressante: séparer le langage logique et le métalangage. C'est particulièrement utile lorsqu'on étudie la logique formelle, pour séparer les opérateurs logiques des phrases logiques étudiées de ceux de la démonstration que l'on fait sur les objets de logique; dans le premier cas il est conventionnel d'utiliser les opérateurs ∧, →, etc. alors que dans le deuxième cas on utilise ⇒, <=> et des mots en français.

Flaure a écrit:Je crois que pour beaucoup d'élèves la résolution d'équations relève du calcul.
Ils enchaînent pour eux des actes licites pour dénouer le problème comme ils le font pour aboutir au résultat d'un calcul.

L'idée de résoudre une équation initiale en se ramenant à des équations équivalentes (mais pas égales, alors que eux ont l'impression de manipuler une seule équation qui "évoluerait") jusqu'à une équation dont les solutions sont évidentes m'avait tout juste effleurée à l'époque et j'en re-découvre le principe (avec la prudence de ceux qui n'avaient pas tout compris).

Pour moi ces deux visions sont exactes: lors d'un calcul ordinaire on remplace des expressions algébriques par d'autres de même valeur numérique, alors que lors d'une résolution d'équation on remplace des formules logiques par d'autres ayant la même valeur de vérité.

Manu7 a écrit:Franchement je ne comprends pas bien le problème ou alors je ne veux pas le comprendre, je ne sais pas ???

Pour moi quand on écrit A <=> B <=> C on n'écrit pas (A <=> B) <=> C

Mon cerveau doit être en vacances, parce que je ne comprends pas non plus.

Ainsi, pour l'écrire très vite (pardon pour les raccourcis) :
(  ((AB²=BC²+AC²) <=> (ABC est un triangle rectangle en C)) <=> (L'espace est euclidien)  )

n'est certainement pas équivalent à

( (AB²=BC²+AC²) <=> (ABC est un triangle rectangle en C) <=> (L'espace est euclidien) )

N'est-ce pas ?

La définition de (P <=> Q <=> R) n'est-elle pas ((P<=>Q) et (Q<=>R)) ?

JPhMM a écrit:La définition de (P <=> Q <=> R) n'est-elle pas ((P<=>Q) et (Q<=>R)) ?

Cela demanderait de considérer <=>…<=> comme un opérateur totalement différent de <=>, contredisant ce que l'on fait avec tous les autres opérateurs binaires (qu'ils soient logiques ou arithmétiques).

De fait.
Sauf que nous utilisons Q <=> R <=> S avec les élèves. Il faut donc bien être capables de le définir.

Dans un autre registre, le fait de ne pas poser très clairement que ((a=b=c) <=> ((a=b) et (b=c))) implique des calculs étonnants chez nos élèves.
Par exemple : 3x2+1+2=6+1=7+2=9

JPhMM a écrit:Sauf que nous utilisons Q <=> R <=> S avec les élèves. Il faut donc bien être capables de le définir.

J'utilise « ssi ». Enfin, j'utilisais, lorsque j'étais amené à raisonner par équivalence en classe.

JPhMM a écrit:Dans un autre registre, le fait de ne pas poser très clairement que ((a=b=c) <=> ((a=b) et (b=c))) implique des calculs étonnants chez nos élèves.
Par exemple : 3x2+1+2=6+1=7+2=9

Si l'on définit pas spécifiquement a=b=c, cela n'a plus de sens, contrairement à A<=>B<=>C, car =, en tant que symbole de prédicat, prend des valeurs ensemblistes et renvoie une valeur logique, qui n'est pas de même nature. Je considère donc cette définition supplémentaire comme moins embêtante.

Sinon, en bonus à mon commentaire précédent, une petite démo en C++11 pour montrer la différence entre <=> binaire et <=> variadique:

Code:

#include <stdio.h>
enum class val_logique { faux, vrai };
// pas d'opérateur logique <=> en c++, donc on utilise ^ (qui est habituellement un OU exclusif bit à bit) aux propriétés similaires
val_logique operator^ (val_logique a, val_logique b)
{
        if (a==b) return val_logique::vrai; else return val_logique::faux;
}
// équivalence entre 2 valeurs
val_logique equiv (val_logique a, val_logique b)
{
        return a^b;
}
val_logique et (val_logique a, val_logique b)
{
        if (a==val_logique::vrai && b==val_logique::vrai) return val_logique::vrai; else return val_logique::faux;
}
// équivalence entre >2 valeurs
template<typename... reste_t> val_logique equiv (val_logique a, val_logique b, reste_t... reste)
{
        return et (a^b, equiv (b, reste...));
}
int main ()
{
        val_logique a = val_logique::vrai, b = val_logique::faux, c = val_logique::faux;
        val_logique val1 = a^b^c;
        val_logique val2 = equiv (a, b, c);
        printf ("a^b^c vaut %s; equiv(a,b,c) vaut %s\n", (val1==val_logique::vrai)?"vrai":"faux", (val2==val_logique::vrai)?"vrai":"faux");
        return 0;
}

Le programme imprime:

Code:

a^b^c vaut vrai; equiv(a,b,c) vaut faux

Mathador a écrit:Si l'on définit pas spécifiquement a=b=c, cela n'a plus de sens, contrairement à A<=>B<=>C, car =, en tant que symbole de prédicat, prend des valeurs ensemblistes et renvoie une valeur logique, qui n'est pas de même nature. Je considère donc cette définition supplémentaire comme moins embêtante.

J'enseigne à des collégiens, en 6e et 5e, et j'ai appris par expérience que cette explicitation est nécessaire (non logiquement, mais pédagogiquement. ), de même que l'explicitation (a=b=c) => (a=c).

JPhMM a écrit:

Mathador a écrit:Si l'on définit pas spécifiquement a=b=c, cela n'a plus de sens, contrairement à A<=>B<=>C, car =, en tant que symbole de prédicat, prend des valeurs ensemblistes et renvoie une valeur logique, qui n'est pas de même nature. Je considère donc cette définition supplémentaire comme moins embêtante.

J'enseigne à des collégiens, en 6e et 5e, et j'ai appris par expérience que cette explicitation est nécessaire (non logiquement, mais pédagogiquement. ), de même que l'explicitation (a=b=c) => (a=c).

Je défendais le fait d'utiliser a=b=c mais pas A<=>B<=>C, et non le fait qu'il soit nécessaire ou non d'expliciter le sens de ces phrases logiques. J'ai eu des collégiens aussi et je suis d'accord avec tout ce que tu dis concernant la manipulation du signe =.

Mathador a écrit:

JPhMM a écrit:

Mathador a écrit:Si l'on définit pas spécifiquement a=b=c, cela n'a plus de sens, contrairement à A<=>B<=>C, car =, en tant que symbole de prédicat, prend des valeurs ensemblistes et renvoie une valeur logique, qui n'est pas de même nature. Je considère donc cette définition supplémentaire comme moins embêtante.

J'enseigne à des collégiens, en 6e et 5e, et j'ai appris par expérience que cette explicitation est nécessaire (non logiquement, mais pédagogiquement. ), de même que l'explicitation (a=b=c) => (a=c).

Je défendais le fait d'utiliser a=b=c mais pas A<=>B<=>C, et non le fait qu'il soit nécessaire ou non d'expliciter le sens de ces phrases logiques. J'ai eu des collégiens aussi et je suis d'accord avec tout ce que tu dis concernant la manipulation du signe =.

Je ne faisais que préciser et confirmer, pardon pour le malentendu.

Flaure a écrit:Je crois que pour beaucoup d'élèves la résolution d'équations relève du calcul. 
Ils enchaînent pour eux des actes licites pour dénouer le problème comme ils le font pour aboutir au résultat d'un calcul. 

L'idée de résoudre une équation initiale en se ramenant à des équations équivalentes (mais pas égales, alors que eux ont l'impression de manipuler une seule équation qui "évoluerait") jusqu'à une équation dont les solutions sont évidentes m'avait tout juste effleurée à l'époque et j'en re-découvre le principe (avec la prudence de ceux qui n'avaient pas tout compris).

Et bien... je suis plus ancienne, et je me sens vieille tout à coup. Mais je crois que c'est exactement comme ça qu'on m'a appris à résoudre une équation : se ramener étape par étape à à une équation équivalente aux solutions évidentes. Et c'est comme ça que je l'enseignais en 4ème il y a une dizaine d'années (et il y a encore 3 ans, mais je sentais bien que la phrase leur passait au-dessus de la tête).

Cette année, en seconde, j'essaie de davantage parler d'équivalence, parce que c'est important et que ça leur manque... et je vois à quel point ils en ont besoin en TS. La géométrie est un super cadre pour ça, bien mieux que les équations...

je montre ça aux TS  quand on fait les nb complexes et recherche d'ensembles de points
Recherche d'ensembles de points et équivalences : mise en garde (dangers de « si…alors » , « il faut que » )
Voici un exercice : lié à la règle "du plus court chemin"

A et B étant deux points distincts , quel est l'ensemble E des points M du plan tels que AM + MB  - AB = 0 ?
Voici une réponse révélatrice d'une faute de raisonnement :
"Si AM + MB  - AB = 0       (Proposition P1)
alors AM + MB  = AB   (Proposition P2)
il faut alors que A, M et B soient alignés    (Proposition P3)
donc M se trouve  ( ou est situé) sur la droite (AB)  , (Proposition P4)
J’en déduis que l'ensemble E des points M du plan tels que AM + MB  - AB = 0 est la droite (AB) " (conclusion)
 
a) Montrer, à l'aide d'une figure que la conclusion est fausse

b) Pour les propositions P1  P2 P3 P4 compléter par   => , <= ou <=>  
P1 ...... P2   ;   P2  ........P3  ;   P3........... P4  ;   P1........... P4  
c) rédiger la solution

Pat B a écrit:Cette année, en seconde, j'essaie de davantage parler d'équivalence, parce que c'est important et que ça leur manque... et je vois à quel point ils en ont besoin en TS. La géométrie est un super cadre pour ça, bien mieux que les équations...

Il y a de quoi faire avec les équations et les équivalences si l'on sort un peu du cadre habituel. Exemples:
- lorsqu'on résout sur N, les équations 3x=1 et 3x=2 sont-elles équivalentes ? et dans Q ?
- les équations x²+1=0 et x²+2=0 sont-elles équivalentes ?
- les équations 2ⁿ = 0,25 et 2²ⁿ = 0,25 sont-elles équivalentes ?
- les équations x²+y²=1 et y=rac(1-x²) sont-elles équivalentes ?
(oui/non; oui sauf sur C; oui sur N et non sur Z; non sur R² car on a un cercle vs. un demi-cercle)

dasson a écrit:Bonjour Flaure,
Une inéquation, comme une équation, est une question comme "quels x tels que ...>..."
La lettre x ne peut pas "disparaitre" !
La dernière inéquation équivalente à celle donnée peut-être 10>0x.
Et c'est moins mystérieux ?

Rappelons qu'en mathématiques, une équation est une égalité d'expressions algébriques tandis qu'une inéquation est une inégalité d'expressions algébriques.

Raisonner par équivalences impose d'abord une petite définition:

Deux [in]équations sont équivalentes si la substitution des variables par les mêmes valeurs donne toujours le même résultat.

Le résultat étant, ici «vrai» ou «faux», la substitution permettant d'obtenir une [in]égalité entre réels.

Raisonner par équivalences impose aussi de savoir comment passer d'une [in]équation à une  [in]équation équivalente. Les règles sont simples et une fois qu'on les connaît, on va écrire des choses comme le raisonnement suivant:

Code:

Pour x réel, cherchons à résoudre l'inéquation 5x + 10 > 5x
          5(x + 2) > 5x <=> 5x + 10 > 5x
                         <=> 10 > 0
La dernière inéquation est, de manière triviale, toujours vraie. Comme elle est équivalente à la première il en résulte que celle-ci l'est aussi. Donc, l'ensemble des solutions S est égal à ℝ.


Il me paraît évident qu'écrire simplement les équivalences pour conclure victorieusement par

S = ℝ

est un raccourci tout à fait incorrect.

Idem.
Puisque l'objet à déterminer est S et non x.
S = {xϵℝ|5x+10>5x} = {xϵℝ|10>0} = ℝ

Edit : Si mon téléphone poste tout seul maintenant, on n'est pas rendus... Mes excuses, et si on peut supprimer ce post...

Flaure a écrit:

dasson a écrit:Bonjour Flaure,
Une inéquation, comme une équation, est une question comme "quels x tels que ...>..."
La lettre x ne peut pas "disparaitre" !
La dernière inéquation équivalente à celle donnée peut-être 10>0x.
Et c'est moins mystérieux ?

Ah ben je leur ai bien dit une connerie alors, mince 

Je ne sais pas si je dois revenir dessus, déjà qu'ils sont tendus (sur leurs résultats) et à l'affût d'un éventuel faux pas. 
J'en ai deux qui veulent recopier le cours du manuel parce qu'il est mieux déjà. 

Merci pour l'information qui servira à ma culture personnelle du coup 

Comme d'autres l'ont déjà dit, faire disparaître la lettre x n'est pas incorrect, mais l'écriture 10>0x proposée par Dasson est sans doute utile pour aider les élèves à comprendre la conclusion et j'y ai déjà recours pour certaines équations, par exemple, plutôt que d'écrire
2x+3=2x+8   <=>   0=5
j'en reviens à
2x+3=2x+8   <=>   0x=5
et il alors est plus simple d'expliquer qu'aucun nombre réel x ne vérifie l'égalité 0x=5.

ycombe a écrit:Rappelons qu'en mathématiques, une équation est une égalité d'expressions algébriques tandis qu'une inéquation est une inégalité d'expressions algébriques.

Raisonner par équivalences impose d'abord une petite définition:

Deux [in]équations sont équivalentes si la substitution des variables par les mêmes valeurs donne toujours le même résultat.

Le résultat étant, ici «vrai» ou «faux», la substitution permettant d'obtenir une [in]égalité entre réels.

Raisonner par équivalences impose aussi de savoir comment passer d'une [in]équation à une  [in]équation équivalente. Les règles sont simples et une fois qu'on les connaît, on va écrire des choses comme le raisonnement suivant:

Code:

Pour x réel, cherchons à résoudre l'inéquation 5x + 10 > 5x
          5(x + 2) > 5x <=> 5x + 10 > 5x
                         <=> 10 > 0
La dernière inéquation est, de manière triviale, toujours vraie. Comme elle est équivalente à la première il en résulte que celle-ci l'est aussi. Donc, l'ensemble des solutions S est égal à ℝ.


Il me paraît évident qu'écrire simplement les équivalences pour conclure victorieusement par

S = ℝ

est un raccourci tout à fait incorrect.

Depuis deux ans j'ai adopté en seconde une approche très minimale du <=> : je l'introduis comme un symbole qui, lorsqu'il est placé entre deux (in)équations signifie que ces (in)équations ont les mêmes solutions et j'ajoute qu'il faut être capable d'expliquer le passage d'une équation à l'autre dans les deux sens. C'est sans doute pauvre en terme de logique, mais à vrai dire je crois que ce que je faisais en plus avant ne servait strictement à rien.

Quant à la conclusion S = ℝ , je crois que je m'étais déjà épanché dans un autre fil sur mon agacement devant les "S=..." systématiquement utilisés par encore bon nombre de collègues.

Flaure a écrit:Je

... s'appelle Groot... ?  

Mathador a écrit:Je défendais le fait d'utiliser a=b=c mais pas A<=>B<=>C

L'égalité est une relation d'équivalence donc pour moi le <=> et le = s'utilise de la même manière. C'est transitif donc je ne vois pas le problème de l'écriture A<=>B<=>C, après ajouter des parenthèses est sans doute utile quand à l'intérieur de B il y a d'autres <=> c'est évident sinon cela devient illisible mais bon sinon ce n'est pas indispensable finalement comme dans un calcul où parfois les parenthèses sont indispensables et parfois elles sont inutiles.

Je suis d'accord avec JPhMM le fait que les élèves ne connaissent pas la transivité de l'égalité (ainsi que les profs des écoles) cela occasionne des erreurs d'écriture et finalement des erreurs de calculs.
Quand je pense que j'ai appris cela au collège, c'est fou. C'était l'époque des ensembles patates avec les applications, les injections, les surjections et les bijections et les réunions et les intersections. Des lois de composition interne avec la commutativité, l'associativité, l'élément neutre, etc... C'était sympa, cette vision des choses. A cette époque quand on découvrait ensuite les fonctions et bien personne ne disait, j'aime pas les fonctions puisqu'on les connaissait depuis le primaire... Tout comme les bases vues en CE1 ou CE2 quand on les retrouvait dans les espaces vectoriels et bien c'est fou comme cela nous semblait familier. D'ailleurs c'est dommage de ne plus manipuler les vecteurs au collège, après tout, c'était vraiment très basique et facile, et un vecteur est une classe d'équivalence on en revient aux équivalences...

Pour revenir sur les vecteurs, leur disparition du collège symbolise l'évolution néfaste de l'apprentissage des mathématiques. Oui, la compréhension de la notion de vecteur n'est pas simple. Oui, si on la comprend de travers cela peut devenir une torture. Oui, dans la vie de tous les jours cela ne sert à rien. Sauf qu'un vecteur c'est un truc qui se définit par trois éléments : une distance, une direction et un sens. Et notre cerveau doit surmonter un obstacle, nos neurones qui sont d'une grande plasticité doivent sans doute bosser comme des malades la nuit, pour que la notion de vecteur devienne aussi évidente que la notion de nombre. Et dans la vie de tous les jours à chaque fois qu'on rencontre ce genre d'obstacle et bien soit nos neurones se disent que c'est comme l'histoire des vecteurs vus au collège, soit ils se disent qu'il va y avoir un gros chantier pendant la nuit et que pour le moment c'est plutôt la migraine s'ils n'ont jamais vus les vecteurs au collège.

Et dans la vie de tous les jours, on rencontre tout de même des trucs plus complexes qu'un vecteur. Et la capacité d'analyser une situation complexe pour la décomposer de façon claire en plusieurs éléments basiques, on ne va pas dire que c'est inutile dans la vie.

Merci à Manu7 de ces rappels ... historiques : j'enseignais à cette époque
Il me semble qu'un élève du collège comprendra plus facilement en utilisant le mot "équivalent" (ça revient au même) du langage courant, sans référence aux calculs de propositions à étudier plus tard...
5x+12=4-3x équivalent à
5x+3x=4-12 en ajoutant 3x-12 aux deux membres
8x=-8 en réduisant
x=-1 en divisant les deux membres par 8.
?

Manu7 a écrit:

Mathador a écrit:Je défendais le fait d'utiliser a=b=c mais pas A<=>B<=>C

je ne vois pas le problème de l'écriture A<=>B<=>C

Mathador l'a pourtant bien rappelé : A<=>B est une proposition au même titre que A, donc c'est source de confusion, on ne peut pas tolérer cela au même titre que A=B=C qui ne porte pas la même ambiguité.

@ jaybe : oui A<=>B est une proposition mais "A ssi B" est aussi une proposition donc pour moi il y a la même ambiguïté quand on note A ssi B ssi C, non ?

Et pour moi A<=>B<=>C ne doit pas être confondu avec (A<=>B)<=>(C) ou encore (A)<=>(B<=>C) d'ailleurs on dit plus haut que certains écrivent (A)<=>(B)<=>(C) pour éviter toute confusion mais franchement pour moi je ne vois pas la différence avec A<=>B<=>C car on peut très bien confondre avec [(A)<=>(B)]<=>(C)

A ssi B est une écriture de paresseux dont la signification est : les deux propositions A et B sont équivalentes.

A ssi B ssi C est une écriture de gros fainéant dont la signification implicite est : les trois propositions A, B et C sont équivalentes, et qui pourrait être comprise différemment (il suffit de définir conventionnellement une priorité de lecture, comme pour a-b-c).

D'où, comme d'habitude : on ne se casse pas la tête à faire ce qui semble être plus compliqué juste pour se faire plaisir...

En 1984

Souvenirs, souvenirs... J'ai retrouvé un de mes cahiers lorsque j'étais en 3ème. On définit une isométrie, on parle de projection bijective et de relation d'équivalence pour le parallélisme ...
Ça a un peu changé... pic.twitter.com/qJP9LRNi7p

— Carole Terpereau (@EtwTerp) 22 octobre 2018

Bon ok, ce n'est pas de la géométrie, mais y en a qui insistent un peu trop sur le double produit manifestement^^
(ce n'est pas en 3ème, ni avant, je vous laisse deviner quelle classe).

#copies N’oublions pas le double produit 😅 pic.twitter.com/gO9PXOULeQ

— Pierre (@pi_r_bernard) 17 octobre 2018

5e ?