Pour la géométrie au collège...

5e ?

On a dit pas avant la 3ème mince. 

J'ai pire que ça en 1ère S. 
Pas chez tous, heureusement. Mais ça manque sérieusement de pratique.


Sinon, elles me font envie ces leçons de géométrie...C'était bien joli, bien formalisé, et on voyait la structure sous-jacente. 
La leçon était bien prise en plus. Je ne sais pas si c'était pareil dans tous les cahiers mais ça fait rêver.

Entre 2007 et 2014 les cours de collège que je donnais n'étaient pas très loin de ça, le langage ensembliste en moins (quoique pas toujours). Je faisais un lemme pour Thalès dans lequel on démontrait cette affaire de projection sans la nommer, sous une formulation un peu plus générale.

Je n'ai pas compris le problème avec S = R ???

Manu7 a écrit:Je n'ai pas compris le problème avec S = R ???

C'était la conclusion trop rapide sur l'ensemble des solutions, sans explicitation, qui était mis en cause. 
Non la conclusion elle-même 😊

Une question de rédaction donc. 
Enfin, si j'ai bien compris.

Ah bon ???


"Donc S=R" est incorrect tandis que "La dernière inéquation est, de manière triviale, toujours vraie. Comme elle est équivalente à la première il en résulte que celle-ci l'est aussi. Donc, l'ensemble des solutions S est égal à ℝ." est correct c'est bien cela ?

La différence est où ? Si c'est dans la rédaction, le fait de dire que c'est trivial prouve que c'est trivial, non ? Je ne comprends pas pourquoi une phrase en français serait plus correct qu'une phrase mathématique ?

Moi, je comprends l'objection, enfin je crois.
J'ai des élèves qui tiennent à apprendre par coeur que "si on a 0x=0, on met S=R, si on a 0x=autre chose, on met S=phi"... sans se donner la peine de comprendre pourquoi c'est comme ça (et ce n'est pas faute de le détailler à l'oral systématiquement) ; alors forcément, le jour où ce sont des inéquations, ça ne fonctionne plus... Passer par une phrase (même plus simple et courte que ça, du genre "(in)égalité toujours vraie"), ça les oblige à expliquer pourquoi S=R.
Cela dit, je suis déjà bien contente qu'ils aient la réponse et que 0x=0 ne devienne pas x=0... donc j'en oublie de pénaliser l'absence d'explication.

Si j'ai bien compris quand on obtient l'inéquation : 6>4 alors il faut ajouter "c'est toujours vrai quel que soit x" avant de dire que S=R mais dire que S=R c'est aussi dire que c'est toujours vrai quelque soit x, non ?
Sans rien comprendre je pense qu'ils peuvent aussi apprendre par coeur que quand ils rencontrent une équation toujours vraie il faut écrire : "Cette équation ou inéquation est toujours vraie quelque soit la valeur de x donc S=R", je ne vois pas la différence on redit deux fois la même chose. Je me demande si le fait d'obliger les élèves à dire deux fois la même chose est une manière de vérifier qu'ils ont bien compris ???

Mais bon, je fais les équations au collège actuellement et je les oblige bien à écrire l'étape avec fraction :

-3x = 18
x = 18/-3 pour les obliger à bien vérifier que l'on divise par -3 (coef de x) et non par 3 ou encore qu'on n'inverse pas -3/18 car ils font souvent l'erreur.
x = -6

Dans un premier temps, j'évite de passer à la résolution "rapide" des équations et je les oblige à écrire des flèches de chaque côté. Ceux qui veulent aller plus vite ont le droit, mais je ne leur explique pas la méthode dans le style "-12 passe de l'autre côté et devient +12". Je ne sais pas si c'est bien ou pas. Mais avec les flèches il y a moins de confusions et souvent les erreurs sont du style -12-12 = 0, je conseille à ceux qui ne sont pas à l'aise avec les nombres relatifs de vérifier à la calculette, mais bon s'il le font uniquement le jour du contrôle, ils prendront un temps très long...

Au collège quand mes élèves rencontre cette inéquation ils doivent (ou devaient car les inéquations viennent de disparaître en 2018 du programme) écrire : "Tous les nombres sont solutions." Je ne leur demande pas d'expliquer que 6 est bien plus grand que 4...

Quand ils rencontrent 6<4 ils doivent écrire : "Il n'y a pas de solution."

Quand on obtient x > 3, ils doivent écrirent : Les solutions sont les nombres strictement supérieurs à 3.

Pour revenir à la géométrie, je me demande vraiment ce qu'on attend de nous au cycle 4 (Collège) pour les transformations :

Extrait du programme 2018 :
"De  nouvelles  transformations  (symétries  centrales,  translations,  rotations,  homothéties)  font  l'objet   d'une   première   approche,   basée sur   l’observation   de   leur   effet   sur   des   configurations   planes,  essentiellement  à  partir  de  manipulations  concrètes  (papier  calque,  papier  pointé,  quadrillage,  etc.)  ou  virtuelles  (logiciel  de  géométrie  dynamique). L’objectif  est  d’installer  des  images  mentales  qui  faciliteront  ultérieurement  l’analyse  de  figures  géométriques  ainsi  que  la  définition  ponctuelle  des  transformations  étudiées."

"
- comprendre l’effet d’une translation, d’une symétrie (axiale et centrale), d’une rotation, d’une homothétie sur une figure ;
- mobiliser les connaissances des figures, des configurations et des transformations au programme pour déterminer des grandeurs géométriques ;
- mener des raisonnements et s’initier à la démonstration en utilisant les propriétés des figures, des configurations et des transformations.
Les définitions ponctuelles d’une rotation, d’une translation, d’une homothétie ne figurent pas au programme.
"
"
À l’issue d’activités rituelles de construction et de verbalisation des procédures et la résolution de problèmes, effectuées tout au long du cycle, les élèves doivent avoir mémorisé des images mentales (configurations de Pythagore et de Thalès, lignes trigonométriques dans un triangle rectangle) et automatisé les procédures de repérage et de constructions géométriques liées aux figures et aux transformations du programme.
"

Quand on dit que les définitions ponctuelles ne figurent pas au programme, je me demande si je sais ce qu'on appelle une définition ponctuelle d'une transformation ?

Pour moi la définition ponctuelle c'est la définition de l'image d'un point. Et sans cette défnition comment pourrait-on "mener  des raisonnements et s’initier à la démonstration en utilisant les propriétés des transformations" car pour utiliser les propriétés des transformations, je suppose qu'on doit les connaître donc elles sont au programme, non ?
Donc les propriétés des transformations sont au programme, mais pas la définition ponctuelle ???

Autre point qui m'échappe les constructions :
À l’issue d’activités rituelles de construction effectuées tout au long du cycle, les élèves doivent avoir automatisé les procédures de constructions géométriques liées aux transformations du programme.

Comment faire sans passer par la définition ponctuelle ? Les élèves doivent savoir le faire uniquement avec un logiciel de géométrie ? Et encore, le logiciel risque de poser des questions hors programme comme : centre de rotation, angle, sens, centre d'homothétie, etc...

Et doit-on vraiment faire construire sur feuille blanche avec des instruments ? Je ne connais peut-être pas toutes les méthodes mais je passe à chaque fois par l'image d'un point. Ou bien j'en reviens à la question de départ, c'est quoi la définition ponctuelle ?

Autre question : Quand on nous dit que : "l'objetif est d’installer  des  images  mentales  qui  faciliteront  ultérieurement  l’analyse  de  figures  géométriques  ainsi  que  la  définition  ponctuelle  des  transformations  étudiées"
Je n'arrive pas à savoir quand les définitions ponctuelles de la rotation, la translation et de l'homothétie seront vues ? Ultérieurement c'est au lycée ou bien dans la vie de tous les jours ?

En plus je ne comprends pas bien cette volonté de donner une sorte d'initiation à une transformation sans vraiment dire comment ça marche ???
D'ailleurs, les élèves font depuis des années de la symétrie axiale sur quadrillage au primaire avant d'aborder la définition ponctuelle au collège. Et cela marche très bien avec les bons élèves qui finalement développent eux-mêmes la définition ponctuelle. Par contre, des élèves ont développé des techniques totalement érronées qui fonctionnent 1 fois sur 2, et c'est vraiment très compliqué de rectifier leur vision des choses, en premier lieu ils ne savent tout simplement pas compter une distance sur du quadrillage, c'est fou !!! A aucun moment de leur scolarité ils n'ont vu qu'entre 5 noeuds de quadrillage on a 4 côtés. C'est un obstacle mathématiques bien connu qui occasionne de nombreux pièges mais notre fonctionnement consiste à penser qu'il ne faut pas parler des pièges car à force de tomber dedans et bien les élèves vont bien comprendre tout seuls comment on doit procéder.

Tu poses de très bonnes questions et j'avoue que les réponses m'intéressent beaucoup. Je me prends la tête sur rotations et compagnie depuis qu'elles sont revenues au programme car je ne sais pas comment les traiter sans les définir. Je ne comprends pas non plus ce qu'on peut faire en exercices d'ailleurs...

Pour ce qui est de la symétrie axiale en 6e, je passe très très vite sur les quadrillages pour insister longuement sur les constructions à l'équerre voire même au compas seul dans certains cas. Cela permet aux élèves qui interprètent mal le quadrillage de repartir de 0.

Pour le quadrillage en AP, je passe un temps indispensable pour moi avec de plus en plus d'élèves pour leur apprendre à compter, je leur demande de compter à voix haute et avec la pointe du crayon, je ne veux pas qu'il compte les carreaux avec la pointe au centre mais sur les sommets. Jusqu'au collège souvent ils ont rencontré uniquement des exercices où on pouvait s'en sortir à vue d'oeil parce que 2 ou 3 carreaux c'est facile sans compter voire plus facile quand on compte mal. Certains élèves voudraient utiliser le compas pour les exos sur quadrillage mais je ne suis pas d'accord, je dis que c'est utile pour vérifier si on a un doute mais il ne faut pas le faire directement au compas. Chaque style d'exo, feuille blanche ou quadrillé a son utilité.

Je crois qu'une définition "ponctuelle" ne doit pas être évitée. Les maths de "l'a peu près" relèvent de la didacpédagomachinerie.
https://www.youtube.com/watch?v=G6tna63YHlk&list=PL6AqklWkhproxDj6DXwwTY_sLICwf5IiY
Le petit dernier pour le collège :
https://www.youtube.com/watch?v=1Kt4Z1xcC-Q
Je suppose que je n'encombre pas la liste car mes rares interventions ont peu d'écho:)

Mais non, tu n'encombres pas (j'avoue, je n'ai pas tioujours le courage daller voir une vidéo, qui rame toujours vu ma connexion pourrie).
Et tous les cours que j'ai pu trouver sur internet ou bouquin semblent bien passer par la définition de l'image d'un point, je ne pense pas qu'on puisse s'en passer.
Petite parenthèse : dans mon souvenir, c'est grâce à cette notion d'image d'un point, dont le choix de mot me semblait évident pour la symétrie axiale (image dans un miroir), que j'ai ensuite compris clairement ce qu'était l'image d'un nombre par une fonction et ce qu'était une fonction (qui transforme les nombres comme on transforme les points). je ne sais pas si d'autres ont eu ce genre de cheminement, mais ça me semble utile de bien insister sur ce terme d'image...

comprendre l’effet d’une translation, d’une symétrie (axiale et centrale), d’une rotation, d’une homothétie sur une figure

Or un point est une figure.
Donc...

Dans mon bouquin "Transmath", on peut dire qu'il parle ne parle pas de définition ponctuelle, mais il donne la définition de l'image d'une figure en forme de T...

Je suis d'accord avec JPhMM un point est bien une figure géométrique c'est même la plus simple. Mais "comprendre l'effet" on peut aussi dire que ce n'est pas définir...

Je ne suis pas d'accord avec l'impasse sur la définition ponctuelle et donc je la donne aux élèves. Mais j'aimerai savoir si c'est possible mathématiquement de faire des démonstrations avec les transformations comme on nous le demande sans avoir donner une définition ponctuelle. Une démonstration demande une certaine rigueur, comment dire que l'angle (ABC) est l'image de l'angle (EDF) sans avoir expliqué ce qu'est l'image d'un point. C'est assez étonnant. Si un élève nous demande comment on sait que l'angle est l'image de l'autre et qu'on répond : "Et bien cela se voit" alors là c'est la fin des haricots !!! Alors qu'on lutte contre des réponses du genre "ce triangle est rectangle parce que cela se voit" j'ai l'impression que pourtant le programme actuel nous demande un peu de faire des démonstrations à vue d'oeil...

Pat B a écrit:Mais non, tu n'encombres pas (j'avoue, je n'ai pas tioujours le courage daller voir une vidéo, qui rame toujours vu ma connexion pourrie).
Et tous les cours que j'ai pu trouver sur internet ou bouquin semblent bien passer par la définition de l'image d'un point, je ne pense pas qu'on puisse s'en passer.
Petite parenthèse :  dans mon souvenir, c'est grâce à cette notion d'image d'un point, dont le choix de mot me semblait évident pour la symétrie axiale (image dans un miroir), que j'ai ensuite compris clairement ce qu'était l'image d'un nombre par une fonction et ce qu'était une fonction (qui transforme les nombres comme on transforme les points). je ne sais pas si d'autres ont eu ce genre de cheminement, mais ça me semble utile de bien insister sur ce terme d'image...

Même cheminement, et lorsque j'avais des sixièmes j'insistai aussi sur la notion d'image, celle d'antécédent, et l'utilisation de la flèche à talon ↦ y compris avec des choses comme "A↦B, C↦D, donc [AC]↦[BD] donc AC=BD".
Le souci est que la seule application qu'ils voient en sixième est involutive (donc bijective), et c'est pareil en cinquième. Il faudrait parler de projection aussi.

La vraie question est de savoir si on fait les symétries glissées, les transvections et les vissages au collège ?

Je vois mal comment on pourrait faire les frises, comme cela est demandé, sans faire les symétries glissées.

En se limitant aux frises où l'on peut les remplacer par des symétries axiales ou centrales ? Avec la centrale on peut traiter les frises du type …/\/\/\/\… .

Oui mais.
Oui mais je n'ai pas envie de me limiter.

Dans ton exemple le groupe des symétries est Z, car la symétrie glissée préserve la couleur .

Du statut de la couleur dans une figure géométrique.

Ah oui j'oubliais les frises... J'en fais pas c'est grave docteur ?
Mais ben a raison, je ne voyais pas bien comment expliquer avec les transformations du collège.

Je ne connaissais pas l'expression symétrie glissée je suppose que c'est une symétrie composée avec une translation, ah oui il y a longtemps très longtemps, on disait que la composée de 2 symétries axiales d'axes perpendiculaires donnait une symétrie centrale. Je ne rêves pas, j'ai bien appris cela à l'école ?
C'est triste je n'ai jamais transmis ce savoir depuis que je suis prof, je me demande bien pourquoi je m'en souviens encore, ah oui !!! J'avais trouvé cela très joli, aussi joli qu'une belle musique mélodieuse, même encore plus joli, j'avais des neurones qui ronronnaient dans ma tête... Enfin des maths qui défrisent un peu car les calculs c'étaient rigolos mais bon sans plus...

Dans mon transmath de 4ème, il y a un exercice résolu sur les frises que je n'oserais jamais donner à mes élèves à la page 203. Même moi, cela me ferait largement suer d'expliquer comment on obtient une frise en partant d'un triangle en utilisant uniquement les rotations et les translations. Je ne sais pas comment inclure des images (sur ce forum pas dans les transformations) mais il faut imaginer 3 hexagones côte à côte remplis de 6 triangles équilateraux. Dans l'exercice résolu, pour comprendre les explications on est obligé de faire des dessins pour chaque étapes et de rajouter des lettres partout, c'est un truc de dingue. Alors que tout le monde voit comment le motif se repète... Youpi on a utilisé 3 rotations et 3 translations mais en fait dans le livre ils ne sont pas malins on pouvait faire que 2 rotations et d'autres translations, et on peut aussi remplacer les translations par des rotations, bref si jamais les élèves savaient faire ce genre d'exercices où il y a bien 36 solutions on pourrait y passer une journée pour lire toutes les solutions en espérant qu'ils aient tous fait des petits schémas avec des lettres sinon c'est impossible à suivre...

Manu7 a écrit:il y a longtemps très longtemps, on disait que la composée de 2 symétries axiales d'axes perpendiculaires donnait une symétrie centrale.

On peut se baser là-dessus pour introduire la symétrie centrale: on donne un quadrillage, un objet, son image par symétrie centrale et on demande de passer de l'un à l'autre par symétrie. Ensuite on fait réfléchir les élèves, et ça fait des Chocapic socio-constructivistes.

De la symétrie glissée, de la composition de symétries orthogonales etc... ici
https://www.youtube.com/watch?v=w1bsqmSvZDg&list=PL6AqklWkhproxDj6DXwwTY_sLICwf5IiY&index=15
avec une suggestion de travail sur papier pointé.
D'autres vidéos de présentation de programmes interactifs sur le billard sont à votre disposition...
Sais pas si ces vidéos sont regardables ? regardées ?

Complément tardif...
j'ai retrouvé des programmes de pavage utilisables ?
https://www.youtube.com/watch?v=VkccEMBtOzE&list=PL6AqklWkhprqR2V08EJZ64K5UhvuM5GXn

Des capsules estampillées APMEP sur les "définitions" des transformation
https://www.youtube.com/watch?v=XRZRds1Vc3k&list=PLjhNBCWmdfwY6539HPHc5BtxcXsKLm3_b