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LaMaisonQuiRendFou
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Meilleure méthode pour résoudre une équation Empty Meilleure méthode pour résoudre une équation

par LaMaisonQuiRendFou Mar 23 Oct 2018 - 15:15
Bonjour à tous,

Je suis de retour sur le forum après quelques mois d'inactivité...

J'ai une question toute bête à propos d'une équation :

30000L=1460000+500T
5000T=370000+600L

Quelle est la méthode la plus rapide pour résoudre ce type d'équation ?

Merci !
mathmax
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par mathmax Mar 23 Oct 2018 - 15:20
Déjà, enlever des zéros , yen a bien trop ! Ensuite, par substitution : dans la première équation, remplacer 50T par 3700 + 6L.

_________________
« Les machines un jour pourront résoudre tous les problèmes, mais jamais aucune d'entre elles ne pourra en poser un !  »
    Albert Einstein
Anaxagore
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par Anaxagore Mar 23 Oct 2018 - 15:21
C'est un système d'équations linéaires. Cela peut se résoudre par substitution ou par combinaisons linéaires.

_________________
"De même que notre esprit devient plus fort grâce à la communication avec les esprits vigoureux et raisonnables, de même on ne peut pas dire combien il s'abâtardit par le commerce continuel et la fréquentation que nous avons des esprits bas et maladifs." Montaigne

"Woland fit un signe de la main, et Jérusalem s'éteignit."

"On déclame contre les passions sans songer que c'est à leur flambeau que la philosophie allume le sien." Sade
Pat B
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Érudit

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par Pat B Mar 23 Oct 2018 - 15:26
Dans ce système-là, où on voit tout de suite que 5000 c'est 500*10 et 30000 c'est 600*50, donc : tu multiplies la première par 10, tu ajoutes les deux  (bref tu fais L1 <-- 10L1 + L2) et tu isoles ainsi L ; tu multiplies la seconde par 50, tu l'ajoutes à la première (donc tu fais L2 <-- 50L2 + L1) et tu isoles ainsi T.
Auparavant, comme dit par les collègues, tu peux tout diviser par 100 pour enlever quelques zéros...

Mais c'est la méthode la plus rapide pour ce système-là, pas forcément pour tous les systèmes de ce genre...

Je me tue à dire à mes élèves : non, y'a pas "la meilleure méthode" et les autres : en fonction du système, et de vos aptitudes en calcul mental, à vous de voir ce qui va bien coller (substitution, combinaison linéaire, un mix des deux ?)
Ilona
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Habitué du forum

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par Ilona Mar 23 Oct 2018 - 15:29
Multiplier la première équation par 10 et faire une soustraction entre la première et la seconde, puis déterminer L.
Ensuite on réinjecte la valeur de L, dans la seconde équation pour trouver T.
30000L=1460000+500T (1)
5000T=370000+600L (2)


300000 L = 14 600 000 + 5000T (1)X10
5000T=370000+600L (2)

299400L= 14 970 000 (1)X10 -(2)
5000T=370000+600L (2)

299400L= 14 970 000 (1)X10 -(2)
5000T=370000+600L (2)

L= 50 (1)X10 -(2)
5000T=370000+600L (2)

L= 50 (1)X10 -(2)
5000T=370000+600x 50 (2)

L=50 et T= 80 si je ne me trompe pas

Prezbo
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Grand Maître

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par Prezbo Mar 23 Oct 2018 - 15:38
Pat B a écrit:Dans ce système-là, où on voit tout de suite que 5000 c'est 500*10 et 30000 c'est 600*50, donc : tu multiplies la première par 10, tu ajoutes les deux  (bref tu fais L1 <-- 10L1 + L2) et tu isoles ainsi L ; tu multiplies la seconde par 50, tu l'ajoutes à la première (donc tu fais L2 <-- 50L2 + L1) et tu isoles ainsi T.
Auparavant, comme dit par les collègues, tu peux tout diviser par 100 pour enlever quelques zéros...

Mais c'est la méthode la plus rapide pour ce système-là, pas forcément pour tous les systèmes de ce genre...

Je me tue à dire à mes élèves : non, y'a pas "la meilleure méthode" et les autres : en fonction du système, et de vos aptitudes en calcul mental, à vous de voir ce qui va bien coller (substitution, combinaison linéaire, un mix des deux ?)

Pédagogiquement, je déconseille (à coups de fouets) aux élèves cette troisième méthode.

Pour deux raisons.

1) Du point de vue logique, si on veut être certains d'être bien en train de raisonner par équivalences, il faut appliquer un algorithme dont le résultat est prouvé. Substitutions ou combinaisons et pivot de Gauss, donc, mais pas transformations au petit bonheur la chance. Ou alors on ne raisonne plus que par conditions nécessaires, et il faut vérifier que le résultat final est bien solution.

2) Plus prosaïquement, laisser l'élève mélanger deux méthodes, c'est avoir la garantie qu'il n'arrivera nulle part. (Syndrôme du je sais pas trop quoi faire, alors j'essaye un peu un truc, mais comme ça marche pas immédiatement à mi-route j'en essaye un peu un autre, et je sais encore moins où j'en suis...)

Pour en revenir à la question initiale : commencer par diviser par 100 chaque équation puis "regrouper" les termes en la même inconnue du même côté pour présenter en colonnes permet déjà d'y voir beaucoup plus clair.

30000L=1460000+500T
5000T=370000+600L

équivaut à

300L-5T=14600
-6L+50T=3700

Où encore mieux en divisant la première équation par 5

60L-T=2920
-6L+50T=3700

Ensuite, comme cela a été dit, substitutions ou combinaisons.


Dernière édition par Prezbo le Mar 23 Oct 2018 - 16:14, édité 2 fois
mathmax
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par mathmax Mar 23 Oct 2018 - 15:43
Si on veut la méthode la plus simple dans ce cas :

3000L=146000+50T =146000+ 3700 + 6L
2994 L = 149700
L = 50.

Ensuite, remplacer L par 50 dans la deuxième :
50T=3700+6*50
50T=4000
T=80.

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par ycombe Mar 23 Oct 2018 - 16:03
Anaxagore a écrit:C'est un système d'équations linéaires. Cela peut se résoudre par substitution ou par combinaisons linéaires.
Ou par pivot de gauss
Ou par inversion de matrice

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Assurbanipal: "Passant, mange, bois, divertis-toi ; tout le reste n’est rien".

Franck Ramus : "Les sciences de l'éducation à la française se font fort de produire un discours savant sur l'éducation, mais ce serait visiblement trop leur demander que de mettre leur discours à l'épreuve des faits".
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par LaMaisonQuiRendFou Mar 23 Oct 2018 - 16:03
Merci à vous pour toutes vos réponses.


Mathmax ta méthode est en effet la plus séduisante.
mathmax
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par mathmax Mar 23 Oct 2018 - 16:15
Prezbo, je comprends ton souci en tant que professeur de mathématiques auprès d'élèves en début de formation mais notre collègue je crois ne fait pas de mathématiques, il veut juste se débrouiller pour obtenir rapidement une solution, et évidemment il va vérifier que le résultat est bien solution. Il me semble que le « bidouillage » n'est pas grave dans son cas.

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par JPhMM Mar 23 Oct 2018 - 16:18
LaMaisonQuiRendFou a écrit:Bonjour à tous,

Je suis de retour sur le forum après quelques mois d'inactivité...

J'ai une question toute bête à propos d'une équation :

30000L=1460000+500T
5000T=370000+600L

Quelle est la méthode la plus rapide pour résoudre ce type d'équation ?

Merci !
Wolfram Alpha. abi

https://www.wolframalpha.com/input/?i=30000L%3D1460000%2B500T+and+5000T%3D370000%2B600L

_________________
Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. — John Locke

Je crois que je ne crois en rien. Mais j'ai des doutes. — Jacques Goimard
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par Prezbo Mar 23 Oct 2018 - 16:19
mathmax a écrit:Prezbo, je comprends ton souci en tant que professeur de mathématiques auprès d'élèves en début de formation mais notre collègue je crois ne fait pas de mathématiques, il veut juste se débrouiller pour obtenir rapidement une solution,

Les mathématiques appliquées c'est vraiment sale. Beurk.

D'ailleurs, on devrait interdire l'usage d'outils mathématiques aux non mathématiciens. Ils vont les abimer.
Kirth
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par Kirth Mar 23 Oct 2018 - 16:27
Prezbo a écrit:
Pat B a écrit:Dans ce système-là, où on voit tout de suite que 5000 c'est 500*10 et 30000 c'est 600*50, donc : tu multiplies la première par 10, tu ajoutes les deux  (bref tu fais L1 <-- 10L1 + L2) et tu isoles ainsi L ; tu multiplies la seconde par 50, tu l'ajoutes à la première (donc tu fais L2 <-- 50L2 + L1) et tu isoles ainsi T.
Auparavant, comme dit par les collègues, tu peux tout diviser par 100 pour enlever quelques zéros...

Mais c'est la méthode la plus rapide pour ce système-là, pas forcément pour tous les systèmes de ce genre...

Je me tue à dire à mes élèves : non, y'a pas "la meilleure méthode" et les autres : en fonction du système, et de vos aptitudes en calcul mental, à vous de voir ce qui va bien coller (substitution, combinaison linéaire, un mix des deux ?)

Pédagogiquement, je déconseille (à coups de fouets) aux élèves cette troisième méthode.

Une fois en TS j'ai fait un mix des deux (la fatigue probablement). J'ai tourné en rond pendant 10 minutes. Je me suis fait incendier. Bon, c'était mérité.
Anaxagore
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par Anaxagore Mar 23 Oct 2018 - 16:30
ycombe a écrit:
Anaxagore a écrit:C'est un système d'équations linéaires. Cela peut se résoudre par substitution ou par combinaisons linéaires.
Ou par pivot de gauss
Ou par inversion de matrice

Enfin sur ce genre d'exemple la sauce reviendrait plus cher que le poisson.

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par JPhMM Mar 23 Oct 2018 - 16:31
mathmax a écrit:Si on veut la méthode la plus simple dans ce cas :

3000L=146000+50T =146000+ 3700 + 6L
2994 L = 149700
L = 50.

Ensuite, remplacer L par 50 dans la deuxième :
50T=3700+6*50
50T=4000
T=80.
C'est ce que j'ai fait aussi.
Première étape de toute résolution : bien regarder le bestiau droit dans les yeux pour savoir à qui on a affaire. Puis choisir l'arme en fonction.
Les 500T et 5000T indiquent bien à qui on a affaire, ici. Meilleure méthode pour résoudre une équation 2252222100

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par User20827 Mar 23 Oct 2018 - 16:33
JPhMM a écrit:
mathmax a écrit:Si on veut la méthode la plus simple dans ce cas :

3000L=146000+50T =146000+ 3700 + 6L
2994 L = 149700
L = 50.

Ensuite, remplacer L par 50 dans la deuxième :
50T=3700+6*50
50T=4000
T=80.
C'est ce que j'ai fait aussi.
Première étape de toute résolution : bien regarder le bestiau droit dans les yeux pour savoir à qui on a affaire. Puis choisir l'arme en fonction.
Quand il y en a non pas seulement deux mais tout un troupeau, ce doit être épique !
Monsieur_Tesla
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par Monsieur_Tesla Mar 23 Oct 2018 - 16:40
Anaxagore a écrit:
ycombe a écrit:
Anaxagore a écrit:C'est un système d'équations linéaires. Cela peut se résoudre par substitution ou par combinaisons linéaires.
Ou par pivot de gauss
Ou par inversion de matrice

Enfin sur ce genre d'exemple la sauce reviendrait plus cher que le poisson.

Les matrices de passage sont-elle au programme du lycée ?

J'adore, c'est tellement esthétique !

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Ce que j'entends je l'oublie.
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Tchuang Tseu
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par LaMaisonQuiRendFou Mar 23 Oct 2018 - 16:45
mathmax a écrit:Prezbo, je comprends ton souci en tant que professeur de mathématiques auprès d'élèves en début de formation mais notre collègue je crois ne fait pas de mathématiques, il veut juste se débrouiller pour obtenir rapidement une solution, et évidemment il va vérifier que le résultat est bien solution. Il me semble que le « bidouillage » n'est pas grave dans son cas.

C'est exactement cela.

J'avais trouvé le résultat "à la main" mais ma méthode baroque n'était guère séduisante. Sinon j'utilise le solveur d'Excel, comme une grosse feignasse... Mais vu l'équation cela aurait été comme écraser une mouche avec un marteau.

Je dis souvent à mes étudiants qu'en comptabilité on se contente d'utiliser les 4 opérations de base de calcul. C'est une façon de rassurer les plus récalcitrants, qui se rendent compte rapidement que l'on peut être très bon en comptabilité, même lorsque l'on a un contentieux avec les mathématiques.

Le fait est que dans un exercice, il fallait impérativement poser cette équation (une sombre histoire de fusion de deux sociétés avec des participations croisées, bref le bazar habituel).

Or, je me suis rendu compte que j'étais incapable d'expliquer clairement comment résoudre ce type d'équation. Et même si j'ai maintenant des étudiants de bon niveau, beaucoup ont eu du mal à trouver le résultat... Tout simplement parce que cela faisait des années qu'ils n'avaient pas eu à résoudre une équation de ce type.
JPhMM
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Demi-dieu

Meilleure méthode pour résoudre une équation Empty Re: Meilleure méthode pour résoudre une équation

par JPhMM Mar 23 Oct 2018 - 16:50
Flaure a écrit:
JPhMM a écrit:
mathmax a écrit:Si on veut la méthode la plus simple dans ce cas :

3000L=146000+50T =146000+ 3700 + 6L
2994 L = 149700
L = 50.

Ensuite, remplacer L par 50 dans la deuxième :
50T=3700+6*50
50T=4000
T=80.
C'est ce que j'ai fait aussi.
Première étape de toute résolution : bien regarder le bestiau droit dans les yeux pour savoir à qui on a affaire. Puis choisir l'arme en fonction.
Quand il y en a non pas seulement deux mais tout un troupeau, ce doit être épique !
C'est un métier Very Happy

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Je crois que je ne crois en rien. Mais j'ai des doutes. — Jacques Goimard
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par User20827 Mar 23 Oct 2018 - 16:52
JPhMM a écrit:
Flaure a écrit:
JPhMM a écrit:
mathmax a écrit:Si on veut la méthode la plus simple dans ce cas :

3000L=146000+50T =146000+ 3700 + 6L
2994 L = 149700
L = 50.

Ensuite, remplacer L par 50 dans la deuxième :
50T=3700+6*50
50T=4000
T=80.
C'est ce que j'ai fait aussi.
Première étape de toute résolution : bien regarder le bestiau droit dans les yeux pour savoir à qui on a affaire. Puis choisir l'arme en fonction.
Quand il y en a non pas seulement deux mais tout un troupeau, ce doit être épique !
C'est un métier Very Happy
J'imagine la galerie des trophées avec toutes ces inconnues clouées une bonne fois pour toutes. 

Y a un petit côté Barbe Bleue.
JPhMM
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Demi-dieu

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par JPhMM Mar 23 Oct 2018 - 16:55
Meilleure méthode pour résoudre une équation Original-3887156-1

Meilleure méthode pour résoudre une équation 437980826

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User20827
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par User20827 Mar 23 Oct 2018 - 16:59
Je ne joue plus avec toi, tu gagnes à chaque fois  Meilleure méthode pour résoudre une équation 1482308650
JPhMM
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Demi-dieu

Meilleure méthode pour résoudre une équation Empty Re: Meilleure méthode pour résoudre une équation

par JPhMM Mar 23 Oct 2018 - 17:03
J'ai 5/5 dans la compétence "trouver des images débiles" de Pix.

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dasson
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par dasson Mar 23 Oct 2018 - 18:54
Au siècle dernier...
Il était conseillé d'utiliser la méthode de substitution quand un des coefficients est 1 ou -1.
La méthode de Cramer était vue en seconde.
Pour les amateurs :
https://www.youtube.com/watch?v=C5iTdEGAvBY
http://rdassonval.free.fr/flash/cramer.jpg
Monsieur_Tesla
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par Monsieur_Tesla Mer 24 Oct 2018 - 13:48
Prezbo a écrit:
mathmax a écrit:Prezbo, je comprends ton souci en tant que professeur de mathématiques auprès d'élèves en début de formation mais notre collègue je crois ne fait pas de mathématiques, il veut juste se débrouiller pour obtenir rapidement une solution,

Les mathématiques appliquées c'est vraiment sale. Beurk.

D'ailleurs, on devrait interdire l'usage d'outils mathématiques aux non mathématiciens. Ils vont les abimer.

Comment ferons-nous pour faire de la physique ?


Dernière édition par Monsieur_Tesla le Mer 24 Oct 2018 - 13:51, édité 1 fois

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Ce que le lis je le retiens.
Ce que je fais, je le comprends !

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