Se remettre aux mathématiques tranquillement

Bonjour, ravi de lire tes péripéties  @Nicétas dans ta reprise des mathématiques. J’ai le même objectif de moyen terme que toi (atteindre un bon niveau de TS) mais dans l’optique de faire, un jour, peut-être, une licence de biologie.
En revanche la maturité aidant, je me vois mal refaire des maths sans chercher à vraiment comprendre ce qui se passe, comme ç’a été le cas tout au long de ma scolarité. C’est ce même souci qui semble t’animer aussi, si j’ai bien compris.

Bref, deux choses :
-connais-tu www.brilliant.org ? Ils ont de supers visuels qui permettent de... visualiser et donc comprendre intuitivement certaines notions de maths qui sont sues "par cœur" par tout bon élève sans véritable compréhension.
-sais-tu que le CNAM propose une formation en un an de mise à niveau en maths, à distance, destinée à amener des apprenants de niveau "collège" à un niveau suffisant pour intégrer à l’université une licence scientifique comportant des maths  ?
Pour info, en voici le programme :

Premier semestre :
- Opérations élémentaires. Proportions. Approximations réelles.
- Manipulations algébriques. Calcul littéral. Exposant.
- Logarithmes. Exponentielles.
- Fonction linéaire. Fonction affine. Équation de droite.
- Équations et inéquations du premier et du deuxième degré.
- Définition d'un angle.
- Cercle trigonométrique. sinus, cosinus, tangente.
- Valeurs remarquables.
- Triangles semblables. Relations trigonométriques dans le triangle.
- Notion de vecteur. Produit scalaire.
- Notions de fonction, formule, courbe représentative.
- Continuité (intuitive). Limites.
- Nombre dérivé

Deuxième semestre :
Etude complète de fonctions :
. détermination du domaine de définition,
. calcul de limites,
. asymptotes,
. continuité,
. prolongement par continuité,
. dérivabilité,
- Dérivée. Interprétation géométrique de la dérivée.
- Création et utilisation d'un formulaire pour le calcul des dérivées.
- Application de la dérivée à la variation des fonctions.
- Courbes représentatives.
- Notion de primitive liée au calcul des aires planes.
- Utilisation de primitives. Notion d'intégrale.
- Logarithmes et exponentielle.
- Résolution de l'équation différentielle y ' - a y = 0.
- Résolution de l'équation différentielle y ' ' + omega^2 y = 0.
-Résolution d'équations différentielles du premier ordre et du second ordre, à coefficients réels ou non, avec ou sans second membre.
- Introduction aux nombres complexes. Plan complexe. Formes algébrique, trigonométrique et exponentielle. Exploitation de l'exponentielle complexe. Formules d'Euler.
- Application à la résolution d'équations différentielles du second ordre avec ou sans second membre.

J’en profite d’ailleurs pour demander si d’autres personnes connaissent ce programme de mise à niveau, auquel j’envisage de m’inscrire à la rentrée prochaine... Et pour les profs parmi vous, que pensez-vous du programme, au regard des attendus en L1 (de maths, bio ou physique) ?

Merci !

Si le but est d'obtenir un bon niveau de TS pas de problème avec ça. Sachant qu'il manquera sans doute toutes les bases théoriques qui permettent de faire vraiment des maths...à acquérir en premières années de fac.

Bon; je m'y suis remis avec le Ramis Warusfel, Licence 1, p. 7, "Définition en compréhension (d'un ensemble)". Mais je ne comprends pas bien l'axiome de séparation. En quoi donc permet-il d'échapper au paradoxe de l'ensemble des éléments qui ne sont pas éléments d'eux-mêmes ?

Parce que cet ensemble est défini comme {x | x n'appartient pas à x} alors que l'axiome de séparation permet uniquement de construire des ensembles du type {x | x dans A et P(x) vrai}, où A est un ensemble déjà construit.
L'axiome de séparation ne permet pas de construire le premier « ensemble » cité, dans la mesure où l'ensemble des ensembles n'existe pas (sauf si la théorie des ensembles est contradictoire: ex falso quodlibet).

D'accord; c'est bien ce que j'avais compris; mais pourquoi la contradiction (E:= {x | x n'appartient pas à x} ⇒ [E∈E ⇔ E∉E]) ne marche plus alors ?

Parce que la notation {x | x n'appartient pas à x} n'est pas quelque chose que tu peux construire dans la théorie des ensembles. De même qu'en calcul 1÷0, bien que syntaxiquement correct (c'est un quotient entre deux nombres), ne représente pas un calcul valide.

Si on va plus loin dans les détails, dans la présentation classique de la théorie de Zermelo en logique du premier ordre, les notations ensemblistes {x dans A | P(x)}, intersection, union, etc. n'existent pas: seules l'appartenance et éventuellement l'égalité font partie des symboles de relation. Le reste des opérations existe de façon implicite: par exemple dans cette théorie la phrase « pour tout A, pour tout B, il existe C, pour tout x, x dans C si et seulement si (x dans A et x dans B) » est vraie (ce n'est pas un axiome mais on le déduit de l'axiome de séparation). On peut alors rajouter un symbole intersection, qui explicite C comme A inter B, à la théorie sans risquer de la rendre contradictoire alors qu'elle ne l'était pas auparavant: on appelle ça une extension de Skolem.
Dans le cas de l'axiome de séparation, la phrase logique (dépendant du prédicat P) s'écrit « pour tout E, il existe F, pour tout x, x dans F équivaut à (x dans E et P(x)) ».
L'ensemble {x | x pas dans x} n'est donc pas constructible de cette façon puisque « x pas dans x » ne peut pas s'écrire « x dans E et P(x) », quels que soient le choix de E et de P.

Bonjour
moi aussi il m'arrive parfois de me remettre aux maths tranquillement, même si j'ai un niveau initial sensiblement plus élevé.
Je m'étonne que personne ne cite cette source inépuisable et passionnante : wikipedia !
Par wikipedia, on n'est pas dans une approche linéaire des notions, mais une approche arborescente grâce aux liens hypertextes.
Si ça avait existé quand j'étais étudiant, j'aurais été autrement plus performant !

PrCosinus a écrit:Bonjour
moi aussi il m'arrive parfois de me remettre aux maths tranquillement, même si j'ai un niveau initial sensiblement plus élevé.
Je m'étonne que personne ne cite cette source inépuisable et passionnante : wikipedia !
Par wikipedia, on n'est pas dans une approche linéaire des notions, mais une approche arborescente grâce aux liens hypertextes.
Si ça avait existé quand j'étais étudiant, j'aurais été autrement plus performant !

Attention quand même, Wikipédia n'est pas progressif ni d'une difficulté bien précisée a priori. En mathématiques, beaucoup d'articles peuvent être d'emblée très denses et techniques.

Cela dit, cet article complète également les explications de Mathador, en évoquant notamment les problèmes que posent le schéma de compréhension (ou séparation) non restreint.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Sch%C3%A9ma_d%27axiomes_de_compr%C3%A9hension

Mathador a écrit:Parce que la notation {x | x n'appartient pas à x} n'est pas quelque chose que tu peux construire dans la théorie des ensembles. De même qu'en calcul 1÷0, bien que syntaxiquement correct (c'est un quotient entre deux nombres), ne représente pas un calcul valide.

Si on va plus loin dans les détails, dans la présentation classique de la théorie de Zermelo en logique du premier ordre, les notations ensemblistes {x dans A | P(x)}, intersection, union, etc. n'existent pas: seules l'appartenance et éventuellement l'égalité font partie des symboles de relation. Le reste des opérations existe de façon implicite: par exemple dans cette théorie la phrase « pour tout A, pour tout B, il existe C, pour tout x, x dans C si et seulement si (x dans A et x dans B) » est vraie (ce n'est pas un axiome mais on le déduit de l'axiome de séparation). On peut alors rajouter un symbole intersection, qui explicite C comme A inter B, à la théorie sans risquer de la rendre contradictoire alors qu'elle ne l'était pas auparavant: on appelle ça une extension de Skolem.
Dans le cas de l'axiome de séparation, la phrase logique (dépendant du prédicat P) s'écrit « pour tout E, il existe F, pour tout x, x dans F équivaut à (x dans E et P(x)) ».
L'ensemble {x | x pas dans x} n'est donc pas constructible de cette façon puisque « x pas dans x » ne peut pas s'écrire « x dans E et P(x) », quels que soient le choix de E et de P.

Je pensais en fait à ceci :
F:= {x | x∈E, et x n'appartient pas à x} ⇒, en prenant F comme exemple de x, [F∈F ⇔ F∉F])
En fait ça ne marche pas parce que tu ne peux pas prendre F pour définir F ? On échappe à la contradiction en considérant qu'il y a une sorte de chronologie dans la construction des ensembles ?

NLM76 a écrit:Je pensais en fait à ceci :
F:= {x | x∈E, et x n'appartient pas à x} ⇒, en prenant F comme exemple de x, [F∈F ⇔ F∉F])

Non: la seule chose qu'on peut en déduire c'est que si F est dans F si et seulement si F est dans E et F n'est pas dans F.
L'hypothèse « F est dans F » est donc exclue car elle implique son contraire.
Mais maintenant qu'on sait que F n'est pas dans F, on n'aboutit à une contradiction qu'en supposant que F est dans E.
Conclusion: au lieu d'aboutir à une contradiction, on a simplement démontré que F n'est pas dans F ni dans E.

NLM76 a écrit:En fait ça ne marche pas parce que tu ne peux pas prendre F pour définir F ? On échappe à la contradiction en considérant qu'il y a une sorte de chronologie dans la construction des ensembles ?

En effet, les ensembles se construisent successivement. Vu que tu construis F en citant E dans le prédicat qui caractérise F, tu ne peux appliquer l'axiome de séparation qu'une fois que tu as une lettre pour désigner E (soit par extension de Henkin, qui est une version plus simple de l'extension de Skolem que j'ai citée précédemment, soit par une variable e dont on suppose, ailleurs dans la phrase logique, ce qui caractérise l'ensemble E qui t'intéresse).

Mathador a écrit:

NLM76 a écrit:Je pensais en fait à ceci :
F:= {x | x∈E, et x n'appartient pas à x} ⇒, en prenant F comme exemple de x, [F∈F ⇔ F∉F])

Non: la seule chose qu'on peut en déduire c'est que si F est dans F si et seulement si F est dans E et F n'est pas dans F.

Attends; j'ai du mal à suivre parce qu'il me manque des virgules ci-dessus. Ou alors il y a un "si" en trop ?

« si et seulement si » signifie une équivalence logique.
La phrase que tu cites peut se reformuler en « (F est dans F) équivaut à (F est dans E et F n'est pas dans F) ».

PS: je viens de voir, le premier « si » est de trop. J'édite le message d'origine.
PPS: message édité.