Rédaction de la réciproque de Pythagore

Bonjour à tous,

Depuis plusieurs années, j'enseigne le théorème de Pythagore et sa réciproque aux collégiens, et depuis plusieurs années je suis confrontée au même problème :
quelques élèves procèdent ainsi :
si racine(ST²+AT²) = SA, alors le triangle est rectangle en T. Ils calculent donc la racine de ST²+AT², et ils comparent leur résultat avec la valeur de AS.
Chez certains élèves, la démarche est bien claire, chez d'autres c'est beaucoup plus ambigü et la rédaction laisse le doute sur la compréhension de l'élève sur théorème/réciproque.

Je m'interroge donc pour les élèves qui ont bien compris mentalement la différence, mais qui le rédigent mal.
Ma question est la suivante :
est-ce correct de comparer racine (ST²+AT²) et AS ?
Mes collègues pensent que non, moi je dirai non également, c'est d'ailleurs ce que je dis aux élèves mais mon seul argument est que l'énoncé de la réciproque dit de comparer ST²+AT² et AS² ... Mais les élèves ne sont pas convaincus, et un élève non convaincu refait la même erreur tout le temps (on ne parvient à se corriger que quand on a compris son erreur, ça j'en suis persuadée ^^).

En espérant avoir été claire ...
Merci pour toutes les réponses que vous saurez m'apporter

Comparer deux nombres positifs est équivalent à comparer leurs carrés, non ?

Mais peut-être que, pour des raisons pédagogiques, les collègues préfèrent l'option « sans racine » pour éviter les horreurs du style racine(2^2+5^2)=2+5 …

S'ils sont capables de justifier que les deux vérifications sont équivalentes et d'écrire cette justification dans la copie, c'est bon. Sinon, ça mérite un zéro pointé.

VinZT a écrit:Comparer deux nombres positifs est équivalent à comparer leurs carrés, non ?

Mais peut-être que, pour des raisons pédagogiques, les collègues préfèrent l'option « sans racine » pour éviter les horreurs du style racine(2^2+5^2)=2+5 …

Comme toi
Oui je ne vois pas trop ce qui cloche. Pour moi Pythagore direct c'est la situation géométrique qui entraine une égalité numérique , la réciproque c'est l'égalité entraine une conséquence géométrique, quelles que soient les formulations équivalentes de l'hypothèse et de la conclusion. On peut être plus strict sans doute.

Pourrais tu donner un exemple de "rédaction fausse"

x²=y² n'étant pas vraiment équivalent à x=y, la passage à la racine mérite justification. On ne peut pas accepter que les élèves modifient un théorème s'ils ne sont pas capable de justifier que leur formulation est équivalent à celle du cours.

L'autre point, c'est que l'égalité dans ce théorème est une égalité entre surfaces. En la remplaçant par une égalité entre longueurs, ils sortent du contexte du théorème.

L'apprentissage des mathématiques est aussi un apprentissage de la rigueur. On ne peut accepter une formulation juste mais non démontrée, pas plus qu'on ne peut accepter que les élèves inventent leur propres théorèmes quand ça les arrange.

Bref si je vois ça au brevet, je mets 0 à la démonstration.

Des collégiens qui écrivent ça? Soit ça a été fait ou au mieux expliqué par une tierce personne, soit ils pompent les uns sur les autres. A la limite un cas isolé pourquoi pas? Mais une généralisation, il y a forcément un couac.

Mise à part le fait que la comparaison invoquée n'est pas celle de la réciproque, un exemple conduisant à un résultat difficile à justifier devrait finir par les convaincre : ST=3 , AT=6 et SA=3*racine(5).

Le calcul de racine(ST²+AT²) donnant racine(45), ils auront bien du mal à justifier que c'est égal à 3*racine(5) sans invoquer la calculatrice...

Alors que le calcul de SA² se mène quant à lui sans difficulté : SA²=(3*racine(5))²=3*racine(5)*3*racine(5)= 3²*racine(5)²=9*5=45.

ycombe a écrit:x²=y² n'étant pas vraiment équivalent à x=y, la passage à la racine mérite justification. On ne peut pas accepter que les élèves modifient un théorème s'ils ne sont pas capable de justifier que leur formulation est équivalent à celle du cours.

L'autre point, c'est que l'égalité dans ce théorème est une égalité entre surfaces. En la remplaçant par une égalité entre longueurs, ils sortent du contexte du théorème.

L'apprentissage des mathématiques est aussi un apprentissage de la rigueur. On ne peut accepter une formulation juste mais non démontrée, pas plus qu'on ne peut accepter que les élèves inventent leur propres théorèmes quand ça les arrange.

Je partage ton avis sur la rigueur, mais implicitement on ne travaille qu'avec des longueurs qui pour eux ne peuvent être que positives. Et comme on travaille avec des surfaces je leur répète que l'utilisation de la racine est bien inutile ici.
On peut leur enseigner la rigueur en nuançant inlassablement leur démonstration sur leur copie, mais de là à leur mettre le même zéro que celui qui n'a rien écrit, je me force à me rappeler que je m'adresse à des collégiens et pas à des étudiants de prépa.

Le professeur d'EPS mettra le même 0 à celui qui refuse systématiquement de respecter les règles du jeu en sport collectif et à celui qui reste assis sur le bord du terrain en refusant de jouer.

Cela ne me pose pas de problème.

Les règles du jeu en EPS sont sûrement plus faciles à intégrer la plupart du temps que nos subtilités mathématiques.
Moi je trouve ça dur de mettre zéro à quelqu'un qui a reconnu une situation où il pouvait utiliser le théorème de Pythagore, qui le justifie, qui fait un calcul en l'occurrence mathématiquement juste puisqu'il travaille avec des nombres positifs, mais qui n'a pas eu la présence d'esprit d'imaginer que son calcul pourrait parfois être faux s'il venait à travailler avec des négatifs.
Il a quand même respecté la majeure partie des règles,  bien plus que celui qui ne se présente pas sur le terrain.
Ce qui n'empêche pas de lui expliquer les limites de son raisonnement amha.

ycombe a écrit:x²=y² n'étant pas vraiment équivalent à x=y, la passage à la racine mérite justification. On ne peut pas accepter que les élèves modifient un théorème s'ils ne sont pas capable de justifier que leur formulation est équivalent à celle du cours.

Toute formulation mathématiquement correcte est acceptable, même si on entraîne les élèves à appliquer une méthode particulière. Mettre zéro dans ce cas me paraît un tantinet exagéré…

ycombe a écrit:
L'autre point, c'est que l'égalité dans ce théorème est une égalité entre surfaces. En la remplaçant par une égalité entre longueurs, ils sortent du contexte du théorème.

Je trouve cet argument un peu capillotracté, le contexte de Pythagore, c'est surtout de lier orthogonalité et longueurs (au carré) des côtés (mais là c'est ma vision préhilbertienne de la chose qui m'influence ).

ycombe a écrit:
L'apprentissage des mathématiques est aussi un apprentissage de la rigueur. On ne peut accepter une formulation juste mais non démontrée, pas plus qu'on ne peut accepter que les élèves inventent leur propres théorèmes quand ça les arrange.

Oui, mais rigueur ne signifie pas rigidité, ni encore moins liste de procédures à appliquer (même si cela peut avoir son intérêt pour certains élèves faibles). Voir ma première remarque, toute rédaction mathématiquement correcte, même si pas dans les "canons" du cours doit être acceptée.

VinZT a écrit:

ycombe a écrit:x²=y² n'étant pas vraiment équivalent à x=y, la passage à la racine mérite justification. On ne peut pas accepter que les élèves modifient un théorème s'ils ne sont pas capable de justifier que leur formulation est équivalent à celle du cours.

Toute formulation mathématiquement correcte est acceptable, même si on entraîne les élèves à appliquer une méthode particulière. Mettre zéro dans ce cas me paraît un tantinet exagéré…

ycombe a écrit:
L'autre point, c'est que l'égalité dans ce théorème est une égalité entre surfaces. En la remplaçant par une égalité entre longueurs, ils sortent du contexte du théorème.

Je trouve cet argument un peu capillotracté, le contexte de Pythagore, c'est surtout de lier orthogonalité et longueurs (au carré) des côtés (mais là c'est ma vision préhilbertienne de la chose qui m'influence ).

ycombe a écrit:
L'apprentissage des mathématiques est aussi un apprentissage de la rigueur. On ne peut accepter une formulation juste mais non démontrée, pas plus qu'on ne peut accepter que les élèves inventent leur propres théorèmes quand ça les arrange.

Oui, mais rigueur ne signifie pas rigidité, ni encore moins liste de procédures à appliquer (même si cela peut avoir son intérêt pour certains élèves faibles). Voir ma première remarque, toute rédaction mathématiquement correcte, même si pas dans les "canons" du cours doit être acceptée.

Je partage ton avis, d'autant que la difficulté me semble être surtout de saisir le sens du mot réciproque et organiser une rédaction en conséquence. Combien posent d'entrée l'égalité pour la transformer à l'avant dernière ligne quand cela cloche.

VinZT a écrit:Voir ma première remarque, toute rédaction mathématiquement correcte, même si pas dans les "canons" du cours doit être acceptée.

Sauf qu'on tombe dans des travers assez dommageables :

* Pour exploiter la réciproque de Pythagore il faut vérifier sa condition d'application. Si chacun commence à la réécrire à sa sauce on perd l'essence même de la propriété claire et admise par tous. Qui plus est, cela génère de la confusion lorsqu'il s'agit d'exposer sa rédaction aux autres. Une confusion qui s’accroît encore lorsque ce sont les enseignants qui ne sont pas d'accord (comme on peut le voir ici).

* En outre la rédaction basée sur le calcul d'une racine carrée impose généralement l'usage d'une calculatrice, tandis que l'autre (avec le carré) peut se mener à la main. Rendre les élèves encore plus dépendants à la calculatrice, ne peut avoir que des effets négatifs sur le long terme, tels ceux constatés sur les fractions au lycée.

J'ajouterais que c'est aussi l'occasion d'apprendre à rédiger convenablement la vérification d'une égalité, comme on peut le faire pour tester si 5 est ou n'est pas solution de l'équation 3x-4 = 2x+7. L'un des écueils avec la rédaction en racine carrée c'est qu'à aucun moment on n'établisse l'égalité, on se contente de l'observer sans la signaler et on conclut directement.

Je suis parfaitement d'accord avec ce que tu dis, et à aucun moment je ne fais la promotion d'une rédaction « avec » racine carrée.
Je dis juste qu'un élève qui écrirait une rédaction mathématiquement correcte « avec » racine (j'ignore pourquoi il le ferait, mais visiblement le cas se pose) ne devrait pas être pénalisé.
Ce qui n'empêche nullement (puisqu'il est bon, il comprendra) de lui expliquer pourquoi il convient de rédiger autrement.

VinZT a écrit:Je dis juste qu'un élève qui écrirait une rédaction mathématiquement correcte « avec » racine (j'ignore pourquoi il le ferait, mais visiblement le cas se pose) ne devrait pas être pénalisé.

Oui mais comment avoir une rédaction mathématiquement correcte, alors que l'égalité obtenue n'est pas celle à établir pour pouvoir invoquer la réciproque ? Ce n'est plus la réciproque qui est utilisée mais une propriété équivalente qui ne fait pas partie du cours.

A moins que je me trompe méchamment, le théorème de Pythagore est une équivalence entre la nature du triangle et l'égalité portant sur les surfaces des carrés adjacents aux côtés du triangle. Dans ce cas, est-il juste de parler de réciproque ?
Si maintenant il faut dégager du théorème une propriété puis de démontrer que la réciproque est vraie, ainsi que la contraposée  (mais ça on ne doit plus en parler...)

Même question que bullddoo.

Je dirais même qu'il m'a fallu lire le fil pour comprendre dans quel sens vous considériez le théorème direct, et quel sens était pour vous la réciproque.

bullddoo a écrit:A moins que je me trompe méchamment, le théorème de Pythagore est une équivalence entre la nature du triangle et l'égalité portant sur les surfaces des carrés adjacents aux côtés du triangle. Dans ce cas, est-il juste de parler de réciproque ?
Si maintenant il faut dégager du théorème une propriété puis de démontrer que la réciproque est vraie, ainsi que la contraposée  (mais ça on ne doit plus en parler...)

Tu te trompes méchamment : le théorème de Pythagore stipule que, lorsque le triangle ABC est rectangle en A, le carré de l'hypoténuse est la somme des carrés des autres côtés, c'est à dire BC^2=AB^2+AC^2.

Le problème posé par le passage du théorème de Pythagore et de sa réciproque à la propriété équivalente de Pythagore date un peu.

Lors de ma dernière correction de DNB en date, la consigne était "si y'a le nom Pythagore, on met les points."
Donc si l'élève marquait "Pitagore dit que AB = 4cm", il avait tous les points.

Il ne le stipule pas, bande de préhilbertiens

Quand je pense que les étudiants de prépa actuels ne peuvent plus prendre leur Banach, j'en suis malade…

Cette discussion — un peu vaine il est vrai — sur Pythagore, me rappelle celle sur le fameux « théorème de la bijection» où, au bac, on nous dit : ben flèche qui monte (ou qui descend) donc solution unique épicétou …

BR a écrit:

bullddoo a écrit:A moins que je me trompe méchamment, le théorème de Pythagore est une équivalence entre la nature du triangle et l'égalité portant sur les surfaces des carrés adjacents aux côtés du triangle. Dans ce cas, est-il juste de parler de réciproque ?
Si maintenant il faut dégager du théorème une propriété puis de démontrer que la réciproque est vraie, ainsi que la contraposée  (mais ça on ne doit plus en parler...)

Tu te trompes méchamment : le théorème de Pythagore stipule que, lorsque le triangle ABC est rectangle en A, le carré de l'hypoténuse est la somme des carrés des autres côtés, c'est à dire BC^2=AB^2+AC^2.

C'est-à-dire qu'il n'existe pas de "document officiel" là-dessus, c'est juste la version la plus couramment utilisée.

Euclide I 47 théorème, 48 réciproque. Certes c'est un document déjà tardif, mais c'est la version officielle depuis si longtemps...

On peut partir du point de vue qu'on utilise Euclide comme "la" référence, mais ça risque de poser quelques problèmes en ce qui concerne les terminologies et conventions usuelles.