Petits textes de mathématiques antiques

R61B — Papyrus de Rhind.

Extraire 2/3 d'une fraction.

Si on te dit : que sont les 2/3 de 1/5 ?
Tu dois prendre sa moitié et sa sixième partie ; ceci est ses 2/3.
Voilà ce qu'il faut faire de la même façon pour n'importe quelle fraction qui se présentera.

JPhMM a écrit:R61B — Papyrus de Rhind.

Extraire 2/3 d'une fraction.

Si on te dit : que sont les 2/3 de 1/5 ?
Tu dois prendre sa moitié et sa sixième partie ; ceci est ses 2/3.
Voilà ce qu'il faut faire de la même façon pour n'importe quelle fraction qui se présentera.

En quoi serait-ce plus simple de passer par le sixième (1/2 + 1/6) que de faire 1/3 + 1/3 -- le tiers et le sixième, c'est le même type de difficulté, non ?

R34 — Papyrus de Rhind, donc toujours.

Une quantité à laquelle on ajoute son 1/2 et son 1/4 de sorte qu'elle devient 10.

X (1 + 1/2 + 1/4 ) = 10
X (4/4 + 2/4 + 1/4) = 10
7/4 X = 10
X = 40/7

Les Égyptiens obtenaient : X = 5 + 1/2 + 1/7 + 1/14

RogerMartin a écrit:

JPhMM a écrit:R61B — Papyrus de Rhind.

Extraire 2/3 d'une fraction.

Si on te dit : que sont les 2/3 de 1/5 ?
Tu dois prendre sa moitié et sa sixième partie ; ceci est ses 2/3.
Voilà ce qu'il faut faire de la même façon pour n'importe quelle fraction qui se présentera.

En quoi serait-ce plus simple de passer par le sixième (1/2 + 1/6) que de faire 1/3 + 1/3 -- le tiers et le sixième, c'est le même type de difficulté, non ?

Pour un Égyptien, du fait de son écriture des fractions, c'était plus simple. Mais pas pour nous, c'est vrai.

Euclide, les Éléments.

Notions communes.

1. Les choses égales à une même chose sont aussi égales entre elles.
2. Et si, à des choses égales, des choses égales sont ajoutées, les touts sont égaux.
3. Et si, à partir de choses égales, des choses égales sont retranchées, les restes sont égaux.
4. {Et si, à des choses inégales, des choses égales sont ajoutées, les touts sont inégaux.
5. Et les doubles du même sont égaux entre eux.
6. Et les moitiés du même sont égales entre elles.}
7. Et les choses qui s'ajustent les unes aux autres sont égales entre elles.
8. Et le tout {est} plus grand que la partie.
9.{Et deux droites ne contiennent par une aire.}

Notes :
"koinai ennoiai" (pardon aux LC) est souvent traduit par "Axiomes" plutôt que "Projections communes".
{.} : projections de Proclus.

Euclide, les Éléments.

Des grandeurs sont dites avoir un rapport l'une relativement à l'autre quand elles sont capables, étant multipliées, de se dépasser l'une l'autre.

Propriété qui semble naïve, mais extrêmement puissante pour l'époque.

Du calcul flottant en Mésopotamie.

http://smf4.emath.fr/Publications/Gazette/2013/138/smf_gazette_138_23-48.pdf

Problème 1 de la tablette babylonienne BM 13901 #1

J’ai additionné la surface et le côté de mon carré : 45′. Tu poseras 1, l’unité. Tu fractionneras en deux 1 : (30′). Tu croiseras [30′] et 30′ : 15′. Tu ajouteras 15′ à 45′ : 1. C’est le carré de 1. Tu soustrairas 30′, que tu as croisé, de 1 : 30′, le côté du carré.

Pour rebondir sur une discussion précédente.

Euclide, les Éléments.

Parmi les figures trilatères est un triangle équilatéral celle qui a les trois côté égaux ; isocèle celle qui a deux côté égaux seulement ; scalène celle qui a les trois côtés inégaux.

Pour Euclide, donc, un triangle équilatéral n'est pas isocèle.

Activité : Démontrer le théorème de Pythagore, comme Euclide.
Classe de quatrième

Soit un triangle ABC rectangle en A. Il s'agit de démontrer qu'alors AB² + AC² = BC²

Soient les carrés ABFG, ACKH et BCED (tels que deux carrés quelconques parmi les trois n'ont qu'un point d'intersection).
La droite perpendiculaire à la droite (BC) passant par A coupe [BC] en J et [DE] en K.



1. Démontrer que les triangles ABD et FBC sont superposables. Qu'en déduire à propos de leurs aires respectives ?
2. Démontrer que Aire(ABFG) = 2 x Aire(FBC).
3. Démontrer que Aire(BDKJ) = 2 x Aire(ABD). Qu'en déduire à propos de Aire(ABFG) et de Aire(BDKJ) ?
4. Reprendre les questions 1 à 3 en considérant cette fois les triangles ACE et BCI, ainsi que le carré ACIH et le rectangle CEKJ.
5. En remarquant que Aire(BCED) = Aire(BDKJ) + Aire(CEKJ), conclure.

Cette démonstration d'Euclide en "géométrie dynamique" :
http://rdassonval.free.fr/flash/exorot4.html

dasson a écrit:Cette démonstration d'Euclide en "géométrie dynamique" :
http://rdassonval.free.fr/flash/exorot4.html

Je me souviens d'un formateur, à l'IUFM, qui nous avait montré cette démonstration... Il n'a pas décroché un mot tout le temps où il a monté la figure, et quand il a eu fini, il a sorti : "Et maintenant, je vais vous expliquer pourquoi cela fait de moi quelqu'un de génial".
J'ai pas écouté la suite, je pleurais de rire avec les copains

L'avait l'air modeste le gars.
C'est surprenant.

@Foster.
Merci d'avoir regardé.
Content de savoir qu'un formateur IUFM a utilisé ce programme (?).
Ce qui est risible : l'attitude peu modeste du gars ? Le programme ? Ou ?

J'ai répondu au texte de JPhMM car j'avais ce programme en magasin et pensais qu'il pouvait intéresser des lecteurs...

Merci.

Il y a ça aussi :
http://www.mathkang.org/swf/pythagore.html

La méthode d'Archimède relative aux propositions mécaniques, à Ératosthène.





http://isites.harvard.edu/fs/docs/icb.topic549173.files/La%20Methode%20Relative%20aux%20theoremes%20mecaniques.pdf

Lire une lettre d'Archimède envoyée à Ératosthène :etoilecoeur:

Merci pour ce topic!

Parmi mes textes anciens, mes Teubner contenant Euclide font partie des rares que je n'ai jamais réussi à finir... Bac C trop vieux, niveau déjà chancelant

Avec un peu de chance, je glanerai des idées pour le cours "interrogations scientifiques" (terminales latin et grec) qui me laisse souvent perplexe. Cette année, si j'ai le temps je ferai bien un peu d'épistémo: Lucrèce, puis Newton, ça peut être rigolo. Des maths, ça semble prometteur, mais je ne maîtrise vraiment pas assez. Si vous avez des idées et que vous m'envoyez un cours tout fait...

Tu as cette histoire :

http://www.univ-paris-diderot.fr/philomathique/Ofman25-03-10.pdf

JPhMM a écrit:Tu as cette histoire :

http://www.univ-paris-diderot.fr/philomathique/Ofman25-03-10.pdf

Merci beaucoup.

De rien. Tu trouveras beaucoup de ressources (et quelques sources) sur le problème de l'irrationalité de racine carrée de 2.

Sinon, les trois problèmes géométriques principaux de l'Antiquité sont :
* la quadrature du cercle
* la trisection d'un angle
* la duplication du cube.

Leurs développements vont jusqu'au XIXe siècle, durant lequel les trois ont été démontrés impossibles à résoudre à la règle et au compas.

Les six livres arithmétiques et le livre des nombres polygones, Diophante.

Livre II

VIII
Partager un carré proposé en deux carrés.

Proposons donc de partager 16 en deux carrés.
Posons que le premier nombre est 1 carré d'arithme. Dès lors, l'autre nombre sera 16 unités moins 1 carré d'arithme. Il faut donc que 16 unités moins 1 carré d'arithme soient égaux à un carré.
Formons le carré d'une quantité quelconque d'arithmes diminuée d'autant d'unités qu'en possède la racine de 16 unités. Que ce soit le carré de 2 arithmes moins 4 unités. Ce carré sera donc 4 carrés d'arithme plus 16 unités moins 16 arithmes. Égalons-le à 16 unités moins 1 carré d'arithme ; ajoutons de part et d'autre les termes négatifs, et retranchons les semblables des semblables. Il s'ensuit que 5 carrés d'arithme sont égaux à 16 arithmes, et l'arithme devient 16/5. Dès lors, l'un des nombres sera 256/25, et l'autre 144/25. Or, ces deux nombres additionnés forment 400/25, c'est-à-dire 16 unités, et chacun d'eux est un carré.

Remarques :
1) Ce problème est de la forme X²+Y²=a². Il donna lieu à une note célèbre de Fermat écrite en marge de son exemplaire de l'édition greco-latine de Diophante, par Bachet de Meziriac (Paris, 1621) : « Par contre, il est impossible de partager un cube en deux cubes, ou un bicarré en deux bicarrés, ou, plus généralement, une puissance quelconque, hormis celle du carré, en deux puissances de même exposant. J'ai découvert une démonstration vraiment merveilleuse de la chose ; mais la marge est trop petite pour la contenir ». Rappelons que ce théorème, dit grand théorème de Fermat, a été démontré par Andrew Wiles en 1995.



Première édition de Bachet de Meziriac.



Seconde édition, augmentée de la note de Fermat.

2) Notons le premier usage de l'inconnue, appelée arithme (le nombre) par Diophante, et d'un symbole associé :

Diophante a écrit:Le nombre qui n'a aucune de ces caractéristiques, et qui simplement contient en lui une multitude indéterminée d'unités sera appelé arithmos et noté ς.

3) Notons aussi l'usage de nombres négatifs (bien avant Brahmagupta) appelés manques par Diophante.

4) Notons enfin la description de transpositions dans la phrase « ajoutons de part et d'autre les termes négatifs, et retranchons les semblables des semblables », méthode qu'Al-Khwarizmi appellera al-jabr (origine du mot algèbre) dans son fameux manuel.

5) Résolution proposée par Diophante, en termes mathématiques actuels :

Considérons l'équation X²+Y² = 16.
Posons X² = ς², d'où Y² = 16 – ς².
Y² étant un carré, identifions-la avec une expression de la forme (mς — √16)².
Posons par exemple m = 2, alors 4ς² + 16 – 16ς = 16 – ς²
4ς² + 16 – 16ς – 16 + 16ς + ς² = 16 – ς² – 16 + 16ς + ς²
5ς² = 16ς
D'où ς = 16/5.
Ainsi : X² = (16/5)² = 256/25 et Y² = 144/25 = (12/5)²
Et on a bien : (16/5)² + (12/5)² = 400/25 = 16.

Si un LC se sent capable de traduire le texte en latin (voire en grec — la traduction que j'ai trouvée ne me semble pas idéale — mais je songe que ce doit être plus difficile), ce serait un bonheur.

Bonjour,
Parce que ça m'amuse, un petit morceau :

Question VIII
L'objet est de diviser un carré en deux carrés.
Supposons que la consigne est de diviser 16 en deux carrés.
Posons que le premier vaut 1Q. Il faut donc que 16-1Q soit égal à un carré.
Je forme un carré à partir de n'importe quels nombres, avec une différence d'autant d'unités que contient le côté de 16.
Soit pour 2N-4 : Ce carré sera donc 4Q+16-16N.
Cette valeur égalera les unités 16-1Q.
Qu'on ajoute à des valeurs communes une différence de part et d'autre, et on enlève des quantités semblables à des quantités semblables, et il vient que 5Q égalent 16N, soit que 1N égale 16/5. L'un des deux carrés sera donc 256/25, et l'autre 144/25, la somme des deux est 400/25, ou 16.
Et l'un et l'autre sont des carrés.

Observation de Monsieur Pierre de Fermat
Il n'est cependant pas possible de diviser un cube en deux cubes, ou un "quadratocarré" en deux "quadratocarrés", ou plus généralement à l'infini aucune puissance au-delà du carré en deux de la même valeur, de ce résultat j'ai bien sûr découvert une démonstration admirable.
L'exiguité de cette marge ne la contiendrait pas.