Définition première du produit scalaire

ben2510 a écrit:Ça se défend, mais pourquoi ce xx'+yy' ?
Comment tu motives cette formule ?
Et tu prouves comment le lien entre le signe et l'angle obtus/droit/aigü ?
Je préfère attaquer par des longueurs (des normes de vecteurs mais sans le dire) en particulier la norme de la différence est l' "hypoténuse présumée", fondamentalement ce n'est qu'un approfondissement de quatrième.
Il est bien sûr possible ensuite de prendre la forme analytique comme définition, mais je préfère avoir démontré d'abord que les quatre formes ont la même signification.

Moonchild a écrit:Les premières années où je faisais ce niveau, je définissais le produit scalaire avec les normes, en lien avec la question de l'orthogonalité ; mais cela semblait tellement traumatiser certains élèves qu'ils me ressortaient cette définition à tout bout de champ, y compris - et surtout ? - lorsqu'elle ne servait à rien. En fait, cette formule réussit l'exploit d'être la moins utile en pratique à ce niveau tout en étant la plus ésotérique (la norme d'une somme ou d'une différence de deux vecteurs est un objet que les élèves d'aujourd'hui appréhendent très mal). Face à ce fiasco, j'ai dû réfléchir à un autre choix.

J'avais aussi constaté que la définition par projection orthogonale passait très mal, ce qui n'a rien de surprenant car la notion de projection n'a pas vraiment été étudiée auparavant donc on a un effet de "double nouveauté" (comme quand fait découvrir aux élèves la notion de limite lors de l'introduction du nombre dérivé) et concrètement j'avais observé que cette formule est une source d'erreurs à répétition chez beaucoup d'élèves qui l'appliquent en projetant les deux vecteurs sur une troisième direction. De plus, je trouve que, sans les mesures algébriques, la démonstration de la bilinéarité du produit scalaire à partir de cette définition est très fastidieuse (j'ai toujours trouvé très barbantes les démonstrations avec d'interminables disjonctions de cas suivant les positions respectives de divers points).

La formule du cosinus est intéressante pour sa simplicité et ses applications en physique, mais je n'ai pas trouvé de manière simple de démontrer la bilinéarité en partant de cette définition.

Il reste donc la formule analytique : initialement, ça m'embêtait un peu de proposer une définition qui semblait à première vue dépendre du choix du repère, mais finalement c'est celle que je trouve la plus commode à l'usage :
- elle permet d'en déduire assez simplement la bilinéarité ainsi que toutes les autres formules ;
- on peut l'introduire en lien avec l'orthogonalité, en exprimant les longueurs en fonction des coordonnées ;
- concrètement, c'est celle que les élèves utiliseront le plus en maths au niveau bac, en particulier dans sa version "espace" ;
- l'indépendance par rapport au choix du repère est très facile à démontrer a posteriori, ce qui lève l'écueil qui m'avait rebuté au départ.
Donc, adjugé-vendu pour la définition analytique.

Finrod a écrit:+1000 il faut faire trèèèèès simple.

Quand je récupère des élèves en CPGE le simple mot "produit scalaire" leur est inconnu la plupart du temps et quand ils le connaissent ils ne savent pas quoi mettre derrière, sauf une minorité.

Le problème est bien entendu lié à leur manière de travailler car ils pensent que l'on est efficace lorsque le travail se fit facilement et que l'on a une mauvaise méthode s'il faut fournir un effort important (d'où leur réplique phare : "mais il y a une astuce ?"). Tout s'oublie en deux semaines... car malheureusement le travail sans efforts est superficiel et s'efface et seul le travail qui a nécessite un effort soutenu laisse une trace durable.

Avatar des Abysses a écrit:sisi...

Programme officiel de CPGE a écrit:
Toute notion sur les espaces préhilbertiens complexes est hors programme.

ben2510 a écrit:C'est comme ça que je fais avec mes 1S, en tout cas.
Ensuite j'établis les diverses propriétés à partir de la forme analytique.