[Maths] Questions aux collègues de collège

Argh !
Une copie plutôt bien menée, on arrive à cos(arccos(12/13))=5/BE (bon c'est un peu lourd mais pourquoi pas), passage à 12/13=5/BE, puis BE=(5*13)/12, et là PAF BE~=5,4.

Mais qu'est ce qu'ils ont avec leurs valeurs approchées ?!?

ycombe a écrit:

ben2510 a écrit:
Mais tu ne les reprends pas quand ils confondent exact avec approché ?

Bien sûr qu'on les reprend. On enlève même des points pour ça en devoir.

Il y a toujours des points à enlever en Tle...
Je retire donc les points.
Je barre.
Je leur donne des calculs supplémentaires ("Ah bon, 1/3 vaut 0,33 ? Calcule donc le premier multiplié par 3. Et le second multiplié par 3. C'est la même chose ?").
Rien à faire, je vois bien dans leurs regards interloqués que ce n'est pour eux qu'un caprice incompréhensible de ma part
De temps en temps l'un d'eux semble réaliser quelque chose : "Mais pourquoi vous écrivez égal avec des vagues comme ça ?"
(Et une élève de seconde l'an dernier, au cours d'un échange sur les nombres irrationnels : "Mais si, Pi ça vaut 3,14, j'en suis sure, c'est mon prof de ??? qui me l'a dit.")

BrindIf a écrit:

ycombe a écrit:

ben2510 a écrit:
Mais tu ne les reprends pas quand ils confondent exact avec approché ?

Bien sûr qu'on les reprend. On enlève même des points pour ça en devoir.

Il y a toujours des points à enlever en Tle...
Je retire donc les points.
Je barre.
Je leur donne des calculs supplémentaires ("Ah bon, 1/3 vaut 0,33 ? Calcule donc le premier multiplié par 3. Et le second multiplié par 3. C'est la même chose ?").
Rien à faire, je vois bien dans leurs regards interloqués que ce n'est pour eux qu'un caprice incompréhensible de ma part
De temps en temps l'un d'eux semble réaliser quelque chose : "Mais pourquoi vous écrivez égal avec des vagues comme ça ?"
(Et une élève de seconde l'an dernier, au cours d'un échange sur les nombres irrationnels : "Mais si, Pi ça vaut 3,14, j'en suis sure, c'est mon prof de ??? qui me l'a dit.")

Moi aussi je leur dit un truc du genre mais comme ils ne comprennent que l'argent :
"MMM ces deux nombres sont égaux alors multiplie les 2 par 3000 et si il y a une différence donne moi cette différence en euros à la fin du cours :lol: "

Encore je suis gentil je ne leur demande pas 3 000 000  

ben2510 a écrit:Argh !
Une copie plutôt bien menée, on arrive à cos(arccos(12/13))=5/BE (bon c'est un peu lourd mais pourquoi pas), passage à 12/13=5/BE, puis BE=(5*13)/12, et là PAF BE~=5,4.

Mais qu'est ce qu'ils ont avec leurs valeurs approchées ?!?

Le calcul exact, c'est typiquement l'idée que des écritures symboliques (comme une expression avec des racines, des fractions) est un nombre comme un autre et − sous certaines conditions de simplicité lorsque c'est possible − convient très bien comme réponse, qu'il n'y en a pas d'autre lorsqu'un calcul exact est demandé. Cette idée qu'on considère les symboles comme des nombres et qu'on calcule avec des symboles comme si c'était des nombres, c'est la base du calcul algébrique.

Je pense que ce que tu constates, c'est la conséquence de la baisse des exigences en calcul algébrique. Et, compte tenu des nouveaux programmes, je pense pouvoir prédire sans grand risque d'erreur que ça va aller de pire en pire.

Oui, j'attends cette aggravation (sans impatience).
Le problème des élèves ayant peu de bases se pose déjà au lycée, mais lorsqu'il ne concerne que quelques élèves par classe, c'est gérable.
Je ne parle pas forcément d'élèves qui ont beaucoup oublié pendant les vacances, lorsque je parle d'élèves sans bases !
Si une classe contient 60% d'élèves qui ne comprennent pas un rappel du type "pour vérifier cette égalité de Pythagore, calcule séparément les deux membres, car il n'est pas sain d'écrire cette égalité avant qu'elle soit établie", là ça devient désagréable (on n'y est pas encore, heureusement).

Pour l'algèbre, il faudrait une progression un peu pensée, sur tout le collège...
Quelques souvenirs personnels (que je réutilise au lycée) :
* en sixième, "le quotient de deux entiers peut être entier, ou bien décimal ("la division s'arrête après la virgule"), ou bien lorsque la division ne s'arrête pas, le développement décimal est périodique" (avec les exos classiques du type écrire 23,567567567... sous forme de fraction)
* en sixième, opérations à trous, en insistant sur "de 8 à 13 il y a 13-8" comme définition de la soustraction (très utile pour les coordonnées de vecteurs ou bien même les relatifs (des vecteurs unidimensionnels), et sur 3*....=7 ; formalisation avec "pour trouver un terme inconnu dans une somme, on soustrait le terme connu à cette somme" et "a+b=c <=> b=c-a", sans le "<=>" bien sûr, et en variant les plaisirs (les lettres a, b et c se transforment souvent en rectangles colorés), de même pour trouver le facteur inconnu dans un produit (la définition de la division, somme toute).

*utiliser des nombres à dix ou quinze chiffres ; étonnament cela aide à les concevoir comme objet, p.ex on sait que 1536416842*146321456412=224810749977365690904,
calculer 224810749977365690904/15364168,42.

*en sixième, "exprimer en fonction de" qui signifie "donner une formule qui permet de calculer truc si on connaît bidule", sur p.ex p=L+l+L+l=2L+2l=2(L+l) (avec le vocabulaire idoine, développer, factoriser, réduire) ; et bien sûr des problèmes où on connait L et p, on cherche A... etc.

* en cinquième, utiliser autre chose que des x ou des y, mais faire intervenir tout l'alphabet (un peu de grec avec) en calcul littéral

* en quatrième, péter des genoux sur les enchaînements AB²=12 dc AB=racine(12), ou cos(a)=12/13 dc a=arccos(12/13), et beaucoup de "jeux" du type cheval blanc d'Henri IV : "quel est le carré de racine de 5 ?", quel est le double de la moitié de 23, combien vaut le dixième de 10 fois 34,5, etc.

*en quatrième, énoncer de manière littérale et démontrer (disons expliquer) les règles de calcul sur les puissances (toutes !)

*en quatrième, le cos(a)=b/c se réécrit différemment suivant ce qu'on cherche

*beaucoup travailler en troisième la notion d'image/d'antécédent(s), y compris l'aspect calcul direct vs calcul indirect/résolution d'équation

*favoriser le calcul littéral avec application numérique seulement à la fin, tout simplement (avant je croyais que commencer par l'application numérique aidait les élèves ; oh que non !)

Je suppose que la plupart d'entre nous avons ce genre de pratiques, mais le programme ne les encourage pas vraiment...

Et zou, 2*2^n = 4^n.
En TS.

Laisse-moi deviner, tu fais les suites arithmético-géométriques... ?
(1/3)^n=1^n / 3
2.3^n = 6^n

ben2510 a écrit:
* en quatrième, péter des genoux sur les enchaînements cos(a)=12/13 dc a=arccos(12/13),

Il y a quoi qui te gêne, là? En quatrième, le cosinus est celui d'un angle aigu du triangle rectangle et est une valeur entre 0 et 1. arccos, si on lui donne une valeur entre 0 et 1, renvoie un angle entre 0 et 90. Pour ce que nous utilisons au collège, arccos est la fonction inverse exacte de la fonction cos.
L'écriture que tu donnes ne me gêne pas.

Je suis d'accord que cela peut poser en problème au lycée, lorsque les angles deviennent égaux modulo 2π et que le cosinus devient une fonction cyclique et paire, mais pour le collège, cela me semble parfaitement correct.

ben2510 a écrit:
Si une classe contient 60% d'élèves qui ne comprennent pas un rappel du type "pour vérifier cette égalité de Pythagore, calcule séparément les deux membres, car il n'est pas sain d'écrire cette égalité avant qu'elle soit établie", là ça devient désagréable (on n'y est pas encore, heureusement).

Les quatrièmes, je leur apprend à considérer les égalités avec des équivalences. C'est beaucoup plus clair (à mon avis).

ycombe a écrit:

ben2510 a écrit:
* en quatrième, péter des genoux sur les enchaînements  cos(a)=12/13 dc a=arccos(12/13),

Il y a quoi qui te gêne, là? En quatrième, le cosinus est celui d'un angle aigu du triangle rectangle et est une valeur entre 0 et 1. arccos, si on lui donne une valeur entre 0 et 1, renvoie un angle entre 0 et 90. Pour ce que nous utilisons au collège, arccos est la fonction inverse exacte de la fonction cos.
L'écriture que tu donnes ne me gêne pas.

Je suis d'accord que cela peut poser en problème au lycée, lorsque les angles deviennent égaux modulo 2π et que le cosinus devient une fonction cyclique et paire, mais pour le collège, cela me semble parfaitement correct.

Je me suis mal exprimé !
Cela me semble parfaitement correct aussi, y compris au lycée (pour autant que je le sache, le arccos l'angle pourrait être en radians, d'ailleurs).
Justement, le travail en quatrième est d'arriver à des réflexes (réutilisables en troisième et ensuite) consistant à écrire précisément ce dont il est question, à ne pas confondre la mesure d'un angle et le cosinus de cet angle, à distinguer réponse exacte du type arccos(12/13) de réponse approchée du type ~= 22,6°, à comprendre qu'un cosinus n'est ni en ° ni en cm, à transformer cos(a)=b/c en c*cos(a)=b ou c=b/cos(a)... (bon, le chapitre cosinus, quoi).
Le pétage de genoux intervient quand l'écriture n'est pas celle que j'ai proposée !
P.ex, dans mon dernier DM de seconde, cos(B chapeau)=12/13=22,6°. Et paf la rotule.

ben2510 a écrit:
P.ex, dans mon dernier DM de seconde, cos(B chapeau)=12/13=22,6°. Et paf la rotule.

Les deux rotules !

Je mets 0 à l'exercice dans ce cas là. Sans la moindre hésitation.

M'ouais. Tout dépend de la façon dont c'est rédigé !
Personnellement je n'aime pas trop (euphémisme).
Il me semble que la vérification d'une solution d'équation, d'une égalité de Pythagore, d'une égalité de rapports pour une réciproque de Thalès, de l'égalité des formes développées pour vérifier une factorisation, etc., sont plus clairs quand on part ainsi :
D'une part, a=...=...=c
D'autre part, b=...=...=c

Quand on voit le mal qu'on a à faire écrire "Montrons que" à un TS, je trouve qu'il est plus facile de calculer séparément les deux membres et d'obtenir une rédaction correcte.
Quand tu vois le regard vide d'un spé maths qui tombe devant un 0=0 dans une résolution de système avec équations redondantes... (une poule devant un mégot).

ycombe a écrit:

ben2510 a écrit:
P.ex, dans mon dernier DM de seconde, cos(B chapeau)=12/13=22,6°. Et paf la rotule.

Les deux rotules !

Je mets 0 à l'exercice dans ce cas là. Sans la moindre hésitation.

A ce stade de l'année, deux rotules pour un seul élève il n'y a plus.
Peut-être deux rotules pour l'ensemble de mes élèves (si elles ont repoussé :lol: ).

wanax a écrit:Laisse-moi deviner, tu fais les suites arithmético-géométriques... ?
(1/3)^n=1^n / 3
2.3^n = 6^n

Plus fourbes les suites !
Les suites AG c'était en octobre 2014 quand ils étaient en 1S.

Il fallait lever la FI 4^n -8^n en +infini ; factoriser, ils y ont tous pensé ; réussir à factoriser, il y a eu quelques couacs.

Je n'avais pas compris ce que tu voulais dire parce que le premier exemple:

ben2510 a écrit:* en quatrième, péter des genoux sur les enchaînements AB²=12 dc AB=racine(12)

est fondamentalement incorrect.

Il faudrait écrire:
AB²=12 dc AB=racine(12) car AB étant une longueur, elle ne peut être que positive.

OK !
Bon, ça je ne l'ai jamais enseigné proprement en quatrième (il faut bien en laisser pour la troisième et le lycée).
Par contre j'ai spécialisé quelques uns de mes neurones pour répéter en boucle la phrase "en quatrième la racine carrée tu l'as vu dans le contexte de l'utilisation de Pythagore pour un calcul de longueur, donc un nombre positif, mais en troisième tu as appris que x²=a pour x= racine(a) ou x=-racine(a) (pour peu que a>0), et au lycée tu traces la parabole y=x² pour éviter d'oublier la solution négative".

ben2510 tu parles à un moment d'équations de demi-tangentes kezako ?

Pour ma part j'ai dit à un collègue l'an dernier que je pensais finir ma carrière en enseignant en première S ce que j'enseignais au début de celle-ci en 3ème, on y est presque.

Il y a quinze ans mes troisièmes savaient mettre sous forme canonique sans aucune formule. Je ne sais pas si un seul des élèves de mpsi que je colle en est capable aujourd'hui.

ben2510 a écrit:

wanax a écrit:Laisse-moi deviner, tu fais les suites arithmético-géométriques... ?
(1/3)^n=1^n / 3
2.3^n = 6^n

Plus fourbes les suites !
Les suites AG c'était en octobre 2014 quand ils étaient en 1S.

Il fallait lever la FI 4^n -8^n en +infini ; factoriser, ils y ont tous pensé ; réussir à factoriser, il y a eu quelques couacs.

C'est  trop simple:
4^n - 8^n = (4 - 8) (∑ 4^k 8^(n-1-k) pour k variant de n-1 à 0)
                = (-4)×4^(n-1)×(∑ 2^(n-1-k) pour k variant de n-1 à 0)
                = (-4^n)(1-2^n)/(1-2)
                = -4^n×(2^n-1)

wanax a écrit:
(1/3)^n=1^n / 3

Comme 1^n / 3 = 1/3, on arrive à (1/3)^n = 1/3 pour tout n.

Cette propriété est vraie, prouvons-la par récurrence.
Pour n=1, la propriété est trivialement vraie: (1/3)¹=1/3

Soit donc n∈ℕ* tel que ∀k∈ℕ* avec k≤n, (1/3)^k = 1/3
Calculons (1/3)^(n+1)
(1/3)^(n+1)=(1/3)^n × 1/3
En utilisant l'hypothèse de récurrence avec k=n, on obtient:
(1/3)^(n+1)= 1/3 × 1/3
Soit (1/3)^(n+1)=(1/3)²
On réutilise l'hypothèse de récurrence avec k=2 et on trouve:
(1/3)^(n+1)= 1/3
Ce qui achève la récurrence.

La propriété est donc vraie:
∀n∈ℕ* (1/3)^n = 1/3  

On fait toujours les récurrences au lycée ?

On peut facilement généraliser cette démonstration.

Pour tout K réel, pour tout n entier strictement positif, K^n = K

Je comprends pourquoi les nouveaux programmes ont supprimé les calculs de puissances: cela ne sert pas à grand chose.

veyne a écrit:ben2510 tu parles à un moment d'équations de demi-tangentes kezako ?

Pour ma part j'ai dit à un collègue l'an dernier que je pensais finir ma carrière en enseignant en première S ce que j'enseignais au début de celle-ci en 3ème, on y est presque.

Il y a quinze ans mes troisièmes savaient mettre sous forme canonique sans aucune formule. Je ne sais pas si un seul des élèves de mpsi que je colle en est capable aujourd'hui.

C'est un pur abus de langage !
Dans le triangle 2t, 1-t², 1+t², on pose 2a = l'angle en face de 2t.
Une bissectrice et hop on prouve que tan(2a)=2t/(1-t²), sin(2a)=2t/(1+t²) et cos(2a)=(1-t²)/(1+t²) et surtout que t=tan(a).

Mon cours de troisième de géo ana, je le fais maintenant en seconde ;
le cours sur la décomposition d'un vecteur sur une base du plan (de troisième aussi), je le fais maintenant en 1S.
Et j'attaquerai la géo dans l'espace en TS avec un problème que je donnais jadis à mes troisièmes (distance orthodromique, latitude longitude toussa toussa).

Pour la FC, tu abuses, tous les ans il y a une bonne douzaine de mes secondes qui y arrivent.

ycombe a écrit:

wanax a écrit:
(1/3)^n=1^n / 3

Comme 1^n / 3 = 1/3, on arrive à (1/3)^n = 1/3 pour tout n.

Cette propriété est vraie, prouvons-la par récurrence.
Pour n=1, la propriété est trivialement vraie: (1/3)¹=1/3

Soit donc n∈ℕ* tel que ∀k∈ℕ* avec k≤n, (1/3)^k = 1/3
Calculons (1/3)^(n+1)
(1/3)^(n+1)=(1/3)^n × 1/3
En utilisant l'hypothèse de récurrence avec k=n, on obtient:
(1/3)^(n+1)= 1/3 × 1/3
Soit (1/3)^(n+1)=(1/3)²
On réutilise l'hypothèse de récurrence avec k=2 et on trouve:
(1/3)^(n+1)= 1/3
Ce qui achève la récurrence.

La propriété est donc vraie:
∀n∈ℕ* (1/3)^n = 1/3  

On fait toujours les récurrences au lycée ?

Oui, en TS ; mais ça a disparu de la spé maths de ES.
Je garde ta jolie démonstration sous le coude, d'ailleurs

ycombe a écrit:On peut facilement généraliser cette démonstration.

Pour tout K réel, pour tout n entier strictement positif, K^n = K

Je comprends pourquoi les nouveaux programmes ont supprimé les calculs de puissances: cela ne sert pas à grand chose.

C'est un gros souci au lycée. La notion de puissance est totalement absente du programme de seconde (dommage, c'est le moment idéal pour attaquer la notion de logarithme, comme en Angleterre et en Allemagne).
Ensuite on s'étonne que les 1S, 1ES, TS, TES se plantent comme des grosses buses dès qu'il s'agit de manipuler des suites géométriques

ben2510 a écrit:

Pour la FC, tu abuses, tous les ans il y a une bonne douzaine de mes secondes qui y arrivent.

Oui j'abuse un peu mes secondes y arrivent, enfin certains si je leur montre comment faire, ce que je veux dire c'est que vu l'évolution des programmes et la relâche quasi mécanique de beaucoup de collègues (au début on résiste aux injonctions du BO à ne rien approfondir... et peu à peu ça craque de toutes parts)  certains élèves peuvent très bien ne jamais avoir vu cette technique si leur prof de première leur a balancé direct les formules.

La factorisation d'un polynôme du second degré par exemple qu'on est pourtant sensé revoir avec les complexes, demande à un prof du supérieur c'est un massacre. Tout ce qui se rapporte à la factorisation d'ailleurs ce matin encore en TS je me marrais en les voyant développer systématiquement pour prouver la somme des carrés ou des cubes.

On n'en parle pas du tout mais les programmes du lycée devraient forcément changer, si on en reste malheureusement là sur le collège je plaide pour deux à trois semaines de calcul algébrique (littéral pardon j'ai dit un gros mot) en seconde dès septembre.

Est-ce que si en 3e on a v^2 = 2E/m, ils sont censés savoir qu'il faut extraire la racine carrée (vu ce que ça donne en cours, j'en ai maxi 3-4 qui le trouvent spontanément) ?

Sinon, en 4e, en élec, I1=I2 + I3, on cherche I2, ils ont beaucoup de mal à écrire l'expression littérale de I2. J'essaie de leur expliquer que l'égalité se conserve si on retire le même terme de chaque côté (je leur fait une comparaison avec une balance Roberval), mais j'ai l'impression de parler une langue étrangère. En revanche, si on remplace les terme de l'équation par les valeurs, ils trouvent plutôt facilement l'opération à faire.

freche a écrit:Est-ce que si en 3e on a v^2 = 2E/m, ils sont censés savoir qu'il faut extraire la racine carrée (vu ce que ça donne en cours, j'en ai maxi 3-4 qui le trouvent spontanément) ?

Sinon, en 4e, en élec, I1=I2 + I3, on cherche I2, ils ont beaucoup de mal à écrire l'expression littérale de I2. J'essaie de leur expliquer que l'égalité se conserve si on retire le même terme de chaque côté (je leur fait une comparaison avec une balance Roberval), mais j'ai l'impression de parler une langue étrangère. En revanche, si on remplace les terme de l'équation par les valeurs, ils trouvent plutôt facilement l'opération à faire.

Tu ne peux pas écrire E = 1/2 m v², comme tout le monde? J'ai failli ne pas reconnaître la formule…

Isoler v en gardant l'expression littérale? On ne le fait pas vraiment en math au collège, ce genre de chose.