l'incroyable addition 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = - 1/12

HS : j'avais bien compris.

Bolzano a écrit:est-ce qu'après avoir trouvé 12 points dans une copie, et puis 13 au second décompte, on mettrait 12,5 à la copie ou on recompterait une troisième fois ?

C'est la méthode du savant Cosinus pour faire ses comptes:
http://aulas.pierre.free.fr/chr_cos_app.html

Dalathée2 a écrit:Je comprends, merci d'avoir pris le temps de m'expliquer cela.

Tu auras remarqué que, même si le cercle est de longueur finie, et la droite non (et que donc je peux mettre sur la droite une infinité de segments disjoints de même longueur que le cercle), envoyer la droite sur le cercle semble ne pas "couvrir" tout le cercle, j'ai besoin d'ajouter un point.

:lol!:

Ce mec est super !
Excellente vidéo !

Derrière ces calculs farfelus se cache la fonction zeta de Riemann, étudié à la façon d'Euler. Faisons la courte : zeta(n) est la somme des inverses des puissances n-ièmes des entiers. Par exemple zeta(2)=1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+...

Mathématiquement, zeta(n) est une série, qui converge pour tout entier n>=2. zeta(x) converge pour tout réel x>1 (c'est le fameux critère de Riemann), et on peut définir zeta(s) lorsque s est un nombre complexe en posant 1/k^s=exp(-s.ln(k)) où exp est la fonction exponentielle complexe : exp(x+iy)=exp(x)[cos(y)+i.sin(y)]. zeta(s) converge alors pour tout nombre complexe s de partie réelle x>1.

Riemann a démontré que la fonction zéta s'étend à l'ensemble des nombres complexes privé de 1 de façon unique en une fonction holomorphe (c'est à dire une fonction de la variable complexe dérivable au sens de la variable complexe).

Dans sa vidéo, Michaël Launay calcule la valeur de zeta(-1) (mais aussi zeta(-2)...) en suivant les méthodes de calcul d'Euler; qui n'ont absolument aucune justification rigoureuse au sens usuel des mathématiciens; mais qui peuvent se justifier si, au lieu de considérer la définition de zeta(-1) comme une série divergente, on considère la fonction zeta prolongée sur C\{-1} au sens de Riemann.

Dans sa vidéo, Michaël Launay fait allusion à la conjecture de Riemann. La fonction zeta de Riemann s'annule aux points s=-2n qui sont les zéros triviaux de la fonction. Riemann a conjecturé que les zéros non triviaux s=x+iy vérifient toujours x=1/2.

Cette conjecture a des applications à la théorie des nombres car la fonction zeta est liée intimement aux nombres premiers : lorsque s>1, zeta(s) est le produit lorsque p décrit l'ensemble des nombres premiers des 1/(1-1/p^s)).

je ne comprends pas comment on peut parvenir à additionner des chiffres à l'infini.

J'ai regardé les 5 premières minutes le coup du A.

Bref, je ne suis pas sortie de ma hantise des mathématiques.

Comment additionner des chiffres à l'infini ?

En notant S_n la somme des n+1 premiers chiffres, si la suite S_n converge vers une limite l, on pose par convention que la somme à l'infini est égale à l.

Dans la vidéo, Michaël Launay fait des calculs comme les pratiquait Euler : si S_n=1-1+1-1+... (avec n+1 termes), il remarque que S_(n+1)=1-S_n, donc si la suite converge vers une limite l, il en déduit que l=1-l donc l=1/2

Dans cet exemple, la suite ne converge pas, donc le calcul d'Euler n'est absolument pas justifié (Euler lui même était conscient que son calcul n'avait aucune justification rigoureuse). Ce qui est remarquable, pourtant, c'est que les calculs (faux) d'Euler donnent un résultat correct dans le cadre de l'étude de la fonction zeta de Riemann, qui est naturellement associé au problème posé.

Euler et Riemann ont tous les deux eu une contribution fondamentale pour l'étude de cette fonction : Euler a réussi le tour de force de calculer les valeurs de zeta(n) pour tous les entiers pairs (par exemple zeta(2)=1/6*pi^2 ) mais aussi zeta(-1) (le calcul de Michaël Launay) avec des méthodes dont l'inventivité n'a d'égale que le manque de rigueur suivant les standards actuels. A posteriori, on ne peut que s'émerveiller devant les tours de force d'Euler : il a laissé le soin à d'autres de donner une justification rigoureuse à ses calculs, ce qui a été particulièrement fructueux d'un point de vue scientifique.

Quand à Riemann, il a fondé l'étude rigoureuse de la fonction zeta, en étendant la fonction zeta sur C\{1} et en énonçant l'équation fonctionnelle de la fonction zeta; ce qui a permis à posteriori de confirmer de façon rigoureuse les intuitions d'Euler... tout en ouvrant de nouvelles perspectives fascinantes sur l'étude des nombres premiers.

Ref : L'histoire de la fonction zeta sur wikipedia