l'incroyable addition 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = - 1/12

Le dernière vidéo de Michael Launay :

Merci!
Voilà pourquoi, bien que prof de français, j'adore les mathématiques. Parce que les maths, c'est comme la poésie, un univers parallèle avec sa cohérence et sa beauté...
(Et puis ces calculs sont d'une telle simplicité et limpidité que c'en n'est que plus déroutant...)

Merci Will ! C'était vachement bien !  (même si je connaissais déjà le résultat et le calcul).

https://www.yumpu.com/fr/document/view/17233498/les-series-divergentes-chez-euler
http://www.math.polytechnique.fr/xups/xups91.pdf

Je trouve cette vidéo extraordinaire. Le mec est d'une clarté halogénique, et le problème posé est juste fascinant.

Je pense qu'il s'est inspiré de Numberphile.

http://www.numberphile.com/
https://www.youtube.com/user/numberphile/videos

Rendash a écrit:Je trouve cette vidéo extraordinaire. Le mec est d'une clarté halogénique, et le problème posé est juste fascinant.

Il existe une illustration graphique du résultat, mais je me sens trop fatigué pour l'expliquer.
Demain peut-être.

JPhMM a écrit:

Rendash a écrit:Je trouve cette vidéo extraordinaire. Le mec est d'une clarté halogénique, et le problème posé est juste fascinant.

Il existe une illustration graphique du résultat, mais je me sens trop fatigué pour l'expliquer.
Demain peut-être.

ça intéresserait car je n'ai pas du tout compris le résultat de ce problème... Pourtant, le mathématicien est clair dans ses explications.

Merci ! La vidéo me rappelle des conversations complètement délirantes (et qui me manquent, d'ailleurs), quand les amis physiciens des particules essaient de vulgariser deux ou trois concepts à mon intention.
Habituée que je suis avec eux à "admettre", je me demande finalement simplement comment quelqu'un a eu l'idée de passer par les calculs de A ou B pour résoudre l'équation : en béotienne, je ne vois pas le rapport entre 1-1+1-1... et le schmilblick...

Pour troubler (et émerveiller aussi je l'espère) encore un peu plus les non matheux du forum, je voudrais ajouter ceci :

La vidéo dit que
A = 1-1+1-1+... = 0,5.
Mais on peut aussi faire le calcul en groupant les termes deux par deux.
A = 1-1+1-1+...
A = (1-1)+(1-1)+...
A = 0+0+...
A = 0.
Bizarre... Quelle est la bonne valeur pour A ? D'ailleurs, en groupant autrement on pourrait aboutir à A = 1. Evidemment, ces nouvelles valeurs pour A changent celles qu'on obtient pour B et C, qui en dépendent.

Dans le même genre :

Savez-vous qui est le plus grand entre A=2 et B=1,9999... (avec une infinité de 9 après la virgule) ?

barèges a écrit: je me demande finalement simplement comment quelqu'un a eu l'idée de passer par les calculs de A ou B pour résoudre l'équation

Question à ceux qui savent : c'est Ramanujan ? ou quelqu'un d'autre ?

Bolzano a écrit: La vidéo dit que
A = 1-1+1-1+... = 0,5.
Mais on peut aussi faire le calcul en groupant les termes deux par deux.
A = 1-1+1-1+...
A = (1-1)+(1-1)+...
A = 0+0+...
A = 0.
Bizarre... Quelle est la bonne valeur pour A ? D'ailleurs, en groupant autrement on pourrait aboutir à A = 1.

Intuitivement, le problème avec ces deux nouveaux calculs, c'est que le « nombre » de termes à grouper n'est ni pair ni impair, non ?

"Intuitivement, le problème avec ces deux nouveaux calculs, c'est que le « nombre » de termes à grouper n'est ni pair ni impair, non ?"

c'est un peu la confusion entre cardinaux et ordinaux...qui coïncident pour des ensembles finis, mais ça ce gâte un peu dés que l'on va plus loin

PauvreYorick a écrit:

Bolzano a écrit: La vidéo dit que
A = 1-1+1-1+... = 0,5.
Mais on peut aussi faire le calcul en groupant les termes deux par deux.
A = 1-1+1-1+...
A = (1-1)+(1-1)+...
A = 0+0+...
A = 0.
Bizarre... Quelle est la bonne valeur pour A ? D'ailleurs, en groupant autrement on pourrait aboutir à A = 1.

Intuitivement, le problème avec ces deux nouveaux calculs, c'est que le « nombre » de termes à grouper n'est ni pair ni impair, non ?

Le problème est (serait, dirait sans doute un spécialiste de théories de la série divergente) de poser sans l'avoir démontré au préalable que ce calcul admettrait un résultat qui est un nombre, la série n'étant pas convergente.
Très humblement, et sans être capable de vraiment le formaliser strictement, mais en me souvenant de mes anciens acquis en théorie des ensembles flous et en analyse non standard, j'ai toujours eu l'impression que le cœur du problème pourrait venir du sens du symbole égalité ici. Je pourrais développer mon propos, mais j'ai peur de raconter des âneries.

En tout cas, toute explication sera lue avec avidité.

For your eyes only

Je vais essayer de le dire en quelques mots.
Posons que d soit une valuation de proposition logique, telle que :

d(P)=1 <=> (P est vraie)
et
d(P)=0 <=> (P est fausse)

En somme, au lieu d'utiliser les mots "vrai" et "faux", on utilise les nombres "1" et "0", selon le principe des logiques multivalentes.

Spoiler:

A = 1-1+1-1+...

J'ai jadis couru l'espoir qu'il serait peut-être capable de démontrer, par exemple (je ne connais pas les valeurs exactes, ces dernières sont données à titre d'exemple)

d(A=0)=1/3
d(A=1)=1/3
et d(A=1/2)=1/3

afin de pouvoir en déduire des choses en analyse non standard robinsonnienne. Mais faire cela demande de replonger dans la définition ensembliste de l'égalité avec une profondeur qui me dépasse, car, pour le dire vite, quand j'écris " d(A=1/2)=1/3 ", les deux signes = n'ont pas la même statut.

Merci. Je vais mouliner un peu

Je n'ai rien dit sur l'analyse non standard, mais je pense qu'elle n'était pas l'objet de ta demande.

On pose u_n=(-1)^n.
La série de terme u_n diverge car u_n ne tend pas vers 0.

Par conséquent la notation 1-1+1-1+1... qui aurait pu être égale à la limite de la somme des u_n n'a aucun sens mathématique.

Game over.

Jean-charles a écrit:On pose u_n=(-1)^n.
La série de terme u_n diverge car u_n ne tend pas vers 0.

Par conséquent la notation 1-1+1-1+1... qui aurait pu être égale  à la limite de la somme des u_n n'a aucun sens mathématique.

Game over.

C'est balayer les arguments de Hardy, Ramanujan, Euler... un peu vite. En la matière, la prudence me semble de mise. Quand quelqu'un que je connais désespérément (pour moi) supérieur à moi dans un certain domaine me dit un chose que je pense absurde, je me garderais bien de dire en trois lignes qu'il a tort sans me pencher sur les arguments qu'il propose.

Après, chacun fait comme il veut.

PS : je rappelle que l'équation x + 5 = 2 a provoqué des réactions du type Game Over pendant des siècles (et plus encore).

@PauvreYorick : Toutes ces manipulations sur une infinité de termes sont difficiles à admettre, aussi bien les groupements de termes que les sommations du genre A=1-A comme dans la vidéo. Il s'agit donc de savoir dans quelle mesure on peut leur donner un sens. Lorsque, comme ici, on obtient des valeurs qui se contredisent, le mathématicien a tendance à dire qu'elles n'ont pas de sens, afin de protéger l'édifice logique.

Pour entrer dans les détails :
La théorie des séries convergentes donne un sens aux sommes infinies sous certaines conditions. Dans le cas des sommes 1^x+2^x+3^x+..., cette condition est x<-1. Dans la vidéo, l'exposant x vaut 1 et nous sortons du domaine de validité.
Donc,
1) Pour tout x<-1, 1^x+2^x+3^x+... représente un nombre [appelons-le S(x)]. Pour les autres valeurs de x, S(x) se signifie rien d'intelligible.
2) Il existe cependant une fonction qui, pour tout x différent de -1, définit un nombre zeta(x) (on l'appelle comme ça, je n'écris pas sa définition).
3) Certes, zeta(1) = -1/12.
4) Certes, lorsque x<-1, on a bien l'égalité zeta(x) = 1^x+2^x+3^x+... = S(x).
Autrement dit, zeta prolonge S pour les valeurs où S n'a pas de sens (sauf -1).

La fin de la vidéo, qui affirme que c'est S(1) et pas zeta(1) qui vaut -1/12 me paraît un peu malhonnête, mathématiquement parlant. Je ne crois pas que quiconque ait réussi à donner un sens à S(1). Mais le fait que Casimir tombant sur S(1) dans son calcul, le remplaçant par zeta(1)=-1/12, et aboutissant à des résultats confirmés par l'expérience, est vraiment troublant et laisse penser qu'il n'est pas absurde de vouloir interpréter S(1). C'est bien plus la conformité avec le phénomène naturel mesuré que le petit calcul de la vidéo qui donne envie de considérer que 1+2+3+...=-1/12. Mais il s'agit de physique quantique... où une particule peut être en deux endroits en même temps. En mathématique classique, on dit plutôt que 1+2+3+...=infini (le grand Euler, qui se permettait d'écrire ce genre d'égalités, aurait sans doute plutôt dit 1+2+3+...=infini²/2 exprimant par là l'équivalent des sommes partielles 1+2+3+...+n quand n tend vers l'infini)

Je précise que je ne suis en rien spécialiste de théorie des nombres, et que je me ferai peut-être corriger.

Edit : Ce que j'appelle ici zeta(x) est plutôt noté zeta(-x) "en vrai".

JPhMM a écrit:
C'est balayer les arguments de Hardy, Ramanujan, Euler... un peu vite. En la matière, la prudence me semble de mise. Quand quelqu'un que je connais désespérément (pour moi) supérieur à moi dans un certain domaine me dit ce que je pense absurde, je me garderais bien de dire en trois lignes qu'il a tort sans me pencher sur les arguments qu'il propose.

Après, chacun fait comme il veut.

PS : je rappelle que l'équation x + 5 = 2 a provoqué des réactions du type Game Over pendant des siècles (et plus encore).

Je te rassure ces génies me sont infiniment supérieurs aussi.
Je me rappelle d'une égalité, il me semble la somme "infinie" des 1/k^2 égale pi^2/6, trouvée par Euler d'une façon absolument géniale et manquant totalement de rigueur.

Je dis simplement que faire des mathématiques c'est manipuler des objets clairement définis et la somme infinie 1-1+1-1..... n'a aucune définition et du coup on peut faire tout et n'importe quoi.

D'ailleurs comme tu le fais remarquer en regroupant les termes d'une autre façon, on peut justifier que la somme vaut 0 et probablement beaucoup d'autres valeurs en modifiant les groupements...

Après la vidéo est amusante et intéressante...

Et rappelons que l'un des principaux moteurs (sinon le principal) de révolution dans l'histoire des mathématiques est la posture "et si en fait s'était possible ?" : nombres relatifs, réels, complexes, géométries non-euclidiennes, distributions, etc etc.

J'ai envoyé le lien vidéo à mon aîné et sa réponse a été "trop drôles les trucs sur ses étagères, c'est un pote à toi? "