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jonjon71Fidèle du forum
Bonjour,
Je mets ce sujet dans "secondaire" mais les collègues de primaires sont invités à répondre.
J'ai appris un truc cette semaine avec mes 6e quand on a revu les additions.
Un élève me demande s'il faut faire la preuve.
Moi : ????
Il me montre au tableau :
J'essaye avec d'autres nombres :
Avec des retenues, c'est plus complexe :
Je n'ai pas testé les nombres décimaux.
Est-ce que cette méthode fonctionne toujours ?
Je mets ce sujet dans "secondaire" mais les collègues de primaires sont invités à répondre.
J'ai appris un truc cette semaine avec mes 6e quand on a revu les additions.
Un élève me demande s'il faut faire la preuve.
Moi : ????
Il me montre au tableau :
J'essaye avec d'autres nombres :
Avec des retenues, c'est plus complexe :
Je n'ai pas testé les nombres décimaux.
Est-ce que cette méthode fonctionne toujours ?
PrezboGrand Maître
jonjon71 a écrit:Bonjour,
Je mets ce sujet dans "secondaire" mais les collègues de primaires sont invités à répondre.
J'ai appris un truc cette semaine avec mes 6e quand on a revu les additions.
Un élève me demande s'il faut faire la preuve.
Moi : ????
Il me montre au tableau :
J'essaye avec d'autres nombres :
Avec des retenues, c'est plus complexe :
Je n'ai pas testé les nombres décimaux.
Est-ce que cette méthode fonctionne toujours ?
C'est une simple preuve par neuf, non ?
Chacun des deux nombres a et b est congru à la somme de ses chiffres modulo 9.
Et si a congruu à a' modulo 9 et b congru à b' modulo 9, a+b doit être congru à a'+b' modulo 9.
Pour ton dernier exemple, il me semble que le problème ne vient pas tant des retenues que du fait la somme des deux chiffres de la colonne de droite n'est pas forcément égale au chiffre en bas à droite, mais égale au chiffre en bas à droite modulo 9. Dans ton exemple, tu as bien 12=30-2*9.
Manu7Expert spécialisé
C'est la preuve par 9. Oui bien sûr qu'elle fonctionne. Elle est basée sur le principe du modulo 9. Et le modulo 9 s'obtient facilement en additionnant les chiffres.
Sauf erreur la règle générale est :
A modulo n + B modulo n = (A+B) modulo n.
C'est une belle madeleine de mon école primaire et de mon maître des années 70... qui aurait répondu OUI c'est obligatoire sauf quand le calcul est juste !
Sauf erreur la règle générale est :
A modulo n + B modulo n = (A+B) modulo n.
C'est une belle madeleine de mon école primaire et de mon maître des années 70... qui aurait répondu OUI c'est obligatoire sauf quand le calcul est juste !
- jonjon71Fidèle du forum
Eh bien je ne connaissais pas la preuve par 9... 
Merci à vous deux
Merci à vous deux
- Manu7Expert spécialisé
Dans mes souvenirs on utilisait cette règle dans une croix en X pour les multiplications.
Notre maître d'école nous avait aussi expliqué le principe du critère de divisibilité par 9. Ce que nous pouvons aborder en 3ème de temps en temps actuellement...
Notre maître d'école nous avait aussi expliqué le principe du critère de divisibilité par 9. Ce que nous pouvons aborder en 3ème de temps en temps actuellement...
- PrezboGrand Maître
Manu7 a écrit:Dans mes souvenirs on utilisait cette règle dans une croix en X pour les multiplications.
Oui, j'ai connu ça aussi en CM2.
A posteriori, ce qui me gène dans ce terme de preuve par 9 et que ce n'est pas une preuve au sens logique du terme. Un calcul peut être faux et sa "preuve" juste. Par exemple, 24+12=81 est faux, mais j'ai bien
2+4=6
1+3=3
8+1=9
et 6+3=9.
Plus qu'une preuve, il s'agit d'un critère de vérification, qui n'est pas fiable à 100%, mais très efficace pour les erreurs usuelles. (Ecrire 24+12=81 n'étant pas vraiment une erreur usuelle.)
CaroNiveau 10
Belle madeleine aussi pour moi au début des années 80. Je me souviens du regard de ma maîtresse lorsqu'elle nous disait : "Maintenant, je vous demande de vérifier votre calcul, faîtes la preuve." A la maison aussi, beau papa exigeait cette preuve. Que de souvenirs !!! Merci Jonjon71.
pirouetteNiveau 5
Oui Prezbo, c'est la preuve que la calcul peut être exact 
.
.- Manu7Expert spécialisé
Oui merci Prezbo pour cette précision importante, et cela aussi notre instit' nous l'avait expliqué bien entendu et il disait aussi que ce n'était pas encore arrivé à ses élèves. Et on pouvait toujours inventer une réponse fausse avec la preuve par 9 qui marche mais cela coutait 1 point sur 10 en contrôle...
Finalement c'était une règle qui disait : si la vérification est fausse alors le calcul est faux. Ce qui ne veut pas dire que si la vérification est vraie alors le calcul est juste. Cela donnait un bon exemple de logique pour des CM2.
Finalement c'était une règle qui disait : si la vérification est fausse alors le calcul est faux. Ce qui ne veut pas dire que si la vérification est vraie alors le calcul est juste. Cela donnait un bon exemple de logique pour des CM2.
- PrezboGrand Maître
SI l'on formalise tout ça en termes de logique propositionnelle...
Si on note A la propriété "la calcul est vrai" et B la propriété "la preuve par 9 est vraie", on a A=>B (si le calcul est vrai, la preuve et vraie).
Concrètement, on utilise surtout la contraposée de cette proposition : (non B)=> (non A) (si la preuve est fausse, le calcul est faux).
En revanche, la réciproque B=>A (si la preuve est juste, le calcul est juste) est fausse en général. Souvent vraie, mais la logique ce n'est pas les probabilités.
Il y a des développements sur Wikipedia.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Preuve_par_neuf
Si on note A la propriété "la calcul est vrai" et B la propriété "la preuve par 9 est vraie", on a A=>B (si le calcul est vrai, la preuve et vraie).
Concrètement, on utilise surtout la contraposée de cette proposition : (non B)=> (non A) (si la preuve est fausse, le calcul est faux).
En revanche, la réciproque B=>A (si la preuve est juste, le calcul est juste) est fausse en général. Souvent vraie, mais la logique ce n'est pas les probabilités.
Il y a des développements sur Wikipedia.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Preuve_par_neuf
La preuve par neuf est mise en défaut :
si des chiffres sont permutés, ou l'objet d'erreurs qui se compensent (par exemple, d'une unité en plus sur un chiffre et d'une en moins sur un autre), car leur somme est inchangée ;
si une virgule est mal placée ;
si un zéro est oublié ou ajouté ;
plus généralement, si l'écart entre le nombre trouvé après le calcul et le résultat est un multiple de 9, autrement dit si les deux nombres sont congrus modulo 9. Par exemple, si le résultat est 1992 et qu'on trouve 1092, l'erreur ne sera pas détectée : pour ces deux nombres, l'algorithme sur la somme des chiffres donne 3. Donc la preuve par neuf est sujette aux faux positifs.
La preuve par neuf est donc une condition nécessaire, mais non suffisante.
[...]
Une estimation simpliste est de considérer que la preuve par neuf permet de détecter les erreurs avec une probabilité de 89 % ( 8 / 9 ). Cependant, la probabilité réelle semble inférieure, mais cela n'a pas été démontré.
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