Soustractions de nombres relatifs en 5e

Je prépare mes cours de la rentrée et j'aurai pour la première fois des 5e.
J'ai besoin d'avis :

J'admet la propriété suivante :
On ne modifie pas une différence en ajoutant ou en soustrayant ou ajoutant un même nombre à chacun de ses termes.

Ensuite, j'utilise cette propriété pour faire les soustractions

Exemples:
(-5)-(-3)=(-5)+3-((-3)+3)=(-5)+3= (-2)
(-12)-(-23)=(-12)+23-((-23)+23)=(-12)+(-23) = (-35)
8-(-2)=8+2-((-2)+2)=8+2=10
9-(-17)=9+17-((-17)+17)=9+17=26

Qu'est ce que vous en pensez?

J'en pense que la 2ème étape du calcul est fausse. Pour ma part, je pense utiliser les cartes de Marie.

Ok, je vais surement aller me cacher quelque part après ta réponse mais pourquoi est-ce faux?

Ça manque de parenthèses...
(-5)-(-3)=(-5)+3-[(-3)+3]=(-5)+3= (-2)

Ombredeloup a écrit:
J'admet la propriété suivante :
On ne modifie pas une différence en ajoutant ou en soustrayant ou ajoutant un même nombre à chacun de ses termes.

C'est juste. Il faut l'illustrer par des exemples simples: 22-17 = 20 - 15 = 5.

Ensuite, j'utilise cette propriété pour faire les soustractions

Tu admets que ça reste vrai avec les relatifs. Dis-le ou explique-le.

Exemples:
(-5)-(-3)=(-5)+3-(-3)+3=(-5)+3= (-2)
(-12)-(-23)=(-12)+23-(-23)+23=(-12)+(-23) = (-35)
8-(-2)=8+2-(-2)+2=8+2=10
9-(-17)=9+17-(-17)+17=9+17=26

Qu'est ce que vous en pensez?

Que c'est faux parce que c'est très mal écrit.
(-5)-(-3)=((-5)+3)-((-3)+3)=(-5)+3= (-2)

Ok, si je mets des parenthèses, c'est mieux en effet. J'édite.

Merci à tous les deux. Qu'est-ce-que vous pensez de cette manière de calculer les soustractions?

c'est difficile à faire passer ..... les élèves ont du mal avec ça même si c'est le plus mathématiques possible
ça passe mieux avec ce genre de jeu :
http://mathix.org/linux/archives/4486 ( voir addition et soustraction )
Sinon j'ai aussi utilisé cette année le système des cartes qui a bien fonctionné avec des élèves en difficultés

Moi j'accroche pas trop. J'ai peur que ça paraisse trop compliqué aux élèves.
Le passage de (-5)-(-3)=(-5)+3-[(-3)+3]=(-5)+3= (-2) à (-5)-(-3)=(-5)+3= (-2) ne me semble pas aller de soi.
Mais ça a le mérite de démontrer les choses.
Comme dit dans mon premier message, je préfère cette idée : voir ce message.

Et pour l'addition, je pensais aussi à la vidéo n°1 donnée par Marlène (j'accroche moins pour la vidéo n°2)

J'avais vu les cartes de Marie et je trouvais ça intéressant, je pensais aussi utiliser cela en introduction pour qu'ils acquièrent la technique. Cependant j'aimerais aussi leur démontrer pourquoi.

C'est quelle égalité exactement qui ne te semble pas aller de soi?

j'accroche moins aussi  ( je pense que c'est un peu trop rapide... )  mais elle rejoins un peu le système des cartes : tu enlèves des négatifs cela revient à rajouter des positifs, tu enlèves des positifs cela revient à rajouter des négatifs... ( j'aime bien le "wanted" ... )
autre idée, toujours en gardant bien en tete que 1 blanc et 1 noir se "neutralisent" grâce à la somme de deux opposés établie en début de cours ou presque.
j'ai +4 ( soit 4 jetons blancs ) et je dois enlever +3  ( soit 3 blancs ) : c'est possible, je fais.
j'ai +4 ( soit 4 jetons blancs ) et je dois enlever +5  ( soit 5 blancs ) : c'est impossible il en manque 1... alors sans changer la situation de base (+4) je rajoute +1 dont j'ai besoin et -1.
j'ai +4 ( soit 4 jetons blancs )  et je dois enlever -5  ( soit 5 noirs ) : impossible, il me les manque . alors sans changer la situation de base je remets des (-5) avec des (+5 ) et j'enlève mes -5 ,
ce qui revient à (+4) -(-5) = (+4) + (+5)+ (-5) - (-5) ( sachant que +(-5) et -(-5) font zéro qu'il faudra aussi rétablir avant chose que tu as énoncé au début )  

je sais pas si je suis claire, c'est les vacances

Pour les additions, un collègue utilisait la bataille des + et des -
Par exemple:
(-5) + (+3)
-
- +
- +
- +
-
Sachant qu'un + neutralise un -, il reste 2 - c'est à dire -2.
Marlène, cela fonctionne bien les jetons blancs et noirs? Est-ce que tu peux me donner un lien pour les vidéos dont parle Sandy?

voir mon message avant Sandy il y est
les jetons c'est un travail de groupe, ça marche pas mal aussi mais c'est plus long, l'avantage est que ça permet une transition entre le visuel et les mathématiques.

Ah je ne l'avais pas vu !!Merci Marlène.   

Activité du genre : poursuivre la suite logique :
20-5 = 15
20-4 = 16
20-3 = 17
20-2 = 18
20-1 = 19
20-0 = 20
20-...=...
Deux trois exemples du même type, ensuite on établit la règle.Très efficace de mon point de vue.

Mais j'aime aussi beaucoup l'activité de Marie91270, je pense que je la testerai l'an prochain.

Plus globalement sur les relatifs en 5ème si je peux te donner un conseil de mon point de vue important, c'est de ne pas abuser des parenthèses dans tes notations. Tu verras vite qu'on trouve bien moins d'erreurs dans un calcul (-3)+(+7) que dans un calcul -3+7, qu' ils doivent pourtant absolument bien maîtriser. Ils doivent comprendre que dans -3+7, tu as deux relatifs qui se font la guerre.

En passant la propriété a=b <==> a-c=b-c <==> a+c=b+c que tu donnes à ton premier post est une propriété qui sera plutôt utilisée à partir de la 4ème, de mon point de vue il n'est pas forcément pertinent de l'utiliser ici. Quitte à admettre une propriété, autant admettre -(-a)=+(+a) et -(+a)=+(-a)

Comme marlène.N j'ai utilisé aussi les deux vidéos. Celle de l'addition passe super bien (http://mathix.org/linux/archives/4469).
Je suis moi aussi moins fan que la deuxième (http://mathix.org/linux/archives/4486)mais ça parle bien aux élèves, c'est dans la continuité puis ça à l'avantage une fois que l'addition est bien maitrisée la soustraction passe super bien.
Je l'ai utilisé en remédiation pour des 4èmes et un bon retour aussi avec eux.

Sur la question il y a la video de Jean-Jacques Dhénin aussi, que je trouve plutôt bien faite.

Merci Ycombe ! Là j'ai le choix dans les introductions possibles.

Pour le cours, vous parlez aussi des cartes ou des pions?

Pas pour le cours. A l'issue des cartes et des pions il faut que tu écrives sous forme mathématiques et adopte le vocabulaire adéquat.

Merci Marlène.
En fait, je crois que c'est ça qui me gène un peu. On introduit avec les pions ou les cartes, on peut introduire la notation (+5)-(-7) aussi à ce moment là, et après dans le cours on énonce des règles mathématiques du type :
"Soustraire un nombre relatif, c'est ajouter son opposé". Quand ils font les calculs ensuite, ils ne se disent pas qu'ils ajoutent l'opposé...ils appliquent ce qu'ils ont compris dans l'activité d'introduction. Dans ce cas, à quoi leur sert le cours? Je ne sais pas si je suis claire...
Merci de votre patience !

Pour moi c'est pas grave. Eux parlent de pions, de cartes, au début, puis ensuite adopte le vocabulaire. Cela se fait à la longue, tu parles en termes mathématiques, si ça suit pas tu reviens au vocabulaire "du jeu" , puis tu ré-embrayes sur les maths.
Puis tu leur expliques au début : "on va faire un jeu..." ( ils sont contents en général ... )
Puis tu leur dis  "Ici, nous sommes des mathématiciens, donc on adopte ce vocabulaire... "
en activité en synthèse  tu peux aussi leur faire répéter le vocabulaire avant de faire le cours.
je me sers du vocabulaire "jeu"  de ces activités pour en remettre une couche pour ceux qui n' auraient pas intégré en 4eme et en 3eme.
( de toute façon, une fois le passage de la règle des signes acquis, la règle de la soustraction ne sert plus à grand chose quand on passe aux écritures sans parenthèses..... )

J'ai essayé de l'utiliser en 4ème pour la suppression des parenthèses dans les expressions littérales et cela n'a pas bien marché.
4+ x - (-9+x)
On soustrait (-9+x) donc je vais ajouter l'opposé de (-9+x)
4+x+(+9-x)
Je tenterai autre chose l'an prochain !

Pour le cas +/- devant une parenthèse en 4ème, le plus simple pour le faire passer à mon avis est de considérer que c'est une simple distributivité, et que l'on multiplie la parenthèse soit par -1 soit par +1. C'est de toute façon une des grosses difficulté des élèves, dans une expression du type :(3+x)-(2-x)*5, tu peux être sûr qu'une bonne partie de la classe va avoir du mal.

frand a écrit:Pour le cas +/- devant une parenthèse en 4ème, le plus simple pour le faire passer à mon avis est de considérer que c'est une simple distributivité, et que l'on multiplie la parenthèse soit par -1 soit par +1. C'est de toute façon une des grosses difficulté des élèves, dans une expression du type :(3+x)-(2-x)*5, tu peux être sûr qu'une bonne partie de la classe va avoir du mal.

Trop compliqué à mon avis. Et il n'y a aucune raison de le lier aux relatifs

Après l'étude de quelques exemples simples, on peut énoncer directement les règles:
- on soustrait une somme en ôtant successivement chacun de ses termes:
     100 - (23 + 17 + 10 )  = 100 - 23 - 17 - 10
- on soustrait une somme algébrique en inversant les opérations qui étaient à l'intérieur de la parenthèse:
     100 - (27 - 17 + 10) = 100 - 27 + 17 - 10.

Pour moi en cinquième il faut faire ça très tôt, dès le chapitre sur la priorité des opérations. On en remet une couche plus tard, dans le chapitre des relatifs, mais ces règles de suppression de parenthèses dans une somme ne sont pas liées aux relatifs ni à la distributivité. Il n'y a pas de raison de les placer dans l'étude des relatifs ou après.