L'imposture de l'enseignement scientifique dans les lycées français, par Bertrand Rungaldier

Je ne suis pas d'accord avec ta preuve Bolzano.

a n'appartient par à U inter A puisque a est un élément adhérent à A, il n'en fait pas forcément parti et donc f(a) n'appartient pas forcément à V.

Je ne comprend pas où est le problème en fait : pour la fonction constante égale à 0 partout et égale à 1 en 0. On prend A=R-{0} alors d'après cette définition on a bien que tout voisinage de 0 contient l'image d'un ouvert de R-{0} par la fonction, puisque l'image d'un tel ouvert est le singleton {0}. La limite est donc 0 en 0. Et cela n'a rien d'illogique puisque la fonction n'est pas continue, sa limite en 0 peut donc être différente de sa valeur en 0 qui est 1.

Disons que ce que je trouve important, au moins dans le contexte actuel où l'on conserve la limite qui recouvre la notion de continuité dans le cas où a appartient à l'ensemble de définition, c'est de ne pas cacher l’intérêt qu'il peut y avoir à considérer la limite épointée. En effet, cela existe déjà dans le supérieur.

Mais la question de la pertinence des choix qui ont été faits (y compris dans les traités de topologie) peut être posée quand même, Rudolf Bkouche a déjà écrit sur le sujet mais je n'ai pas lu ce qu'il en disait.

D'ailleurs Condamine et Vissio avaient pris un autre parti dans les années 60 (en lycée justement) et avaient donné une définition topologique mais avec des voisinages épointés (ils disaient "pointés" en fait) ce qui permettait de bien dégager la notion de continuité tout en modernisant le cours.

Finrod a écrit:Je ne suis pas d'accord avec ta preuve Bolzano.

a n'appartient par à U inter A puisque a est un élément adhérent à A, il n'en fait pas forcément parti et donc f(a) n'appartient pas forcément à V.

Je ne comprend pas où est le problème en fait : pour la fonction constante égale à 0 partout et égale à 1 en 0. On prend A=R-{0} alors d'après cette définition on a bien que tout voisinage de 0 contient l'image d'un ouvert de R-{0} par la fonction, puisque l'image d'un tel ouvert est le singleton {0}. La limite est donc 0 en 0.  Et cela n'a rien d'illogique puisque la fonction n'est pas continue, sa limite en 0 peut donc être différente de sa valeur en 0 qui est 1.  

Le cas qui nous intéresse concerne le cas où a appartient à A.

Pour info, le Stewart (avec ses défauts, mais aussi avec ses qualités) dit :

... et nous énonçons « la limite de f(x), quand x tend vers a, est égale à L » si nous pouvons rendre les valeurs de f(x) arbitrairement proches de L (aussi proches que nous voulons) en prenant x suffisamment proche de a (à gauche ou à droite), mais non égal à a.

Et d'ajouter même plus loin :

Arrêtons-nous un moment à la proposition « mais x ≠ a » dans la définition de la limite. Elle signifie que dans la recherche de la limite de f(x) quand x est proche de a, nous n'envisageons jamais x = a. En fait, f(x) ne doit même pas être définie en x = a. La seule chose qui importe est que f soit définie tout à côté de a.

Ceci dit, les luttes de définitions en topologie générale c'est mon quotidien. Je suis obligé de séparer les belligérants. :lol:

Avec tout ça on ne sait toujours pas si, à la fin, Achille a rattrapé la Tortue.

:lol:

Dans l'exemple de la fonction constante égale à 0 partout et égale à 1 en 0, si on prend A = R alors on obtient que l'image de U inter A pour tout ouvert U contenant a=0 est  {0} U {1}  donc la limite n'existera pas et elle n'est pour moi certainement pas égale à 1 ou même 0.

C'est pour cela que je ne vois pas l'intérêt de prendre un point adhérent à A qui soit dans A...

Pour moi la preuve de Bolzano reste fausse puisque {f(a)} a deux points adhérents dans cet exemple, on ne peut donc pas conclure que L=f(a).

Finrod a écrit:Dans l'exemple de la fonction constante égale à 0 partout et égale à 1 en 0, si on prend A = R alors on obtient que l'image de U inter A pour tout ouvert U contenant a=0 est  {0} U {1}  donc la limite n'existera pas et elle n'est pour moi certainement pas égale à 1 ou même 0.

C'est pour cela que je ne vois pas l'intérêt de prendre un point adhérent à A qui soit dans A...

N'est-ce pas?

La question porte sur le concept que l'on veut retenir.

Finrod a écrit:Pour moi la preuve de Bolzano reste fausse puisque {f(a)} a deux points adhérents dans cet exemple, on ne peut donc pas conclure que L=f(a).

Bolzano suppose que la limite existe en a et on suppose que a appartient à A pour la question qui nous concerne.

Anaxagore a répondu pendant que je rédigeais, mais je poste quand même, l'important est que nous tombions d'accord.

Finrod a écrit:a n'appartient par à U inter A puisque a est un élément adhérent à A, il n'en fait pas forcément parti et donc f(a) n'appartient pas forcément à V.

Certes il n'est pas nécessaire que a soit élément de A pour considérer la limite en a, mais j'examinais ce qui se passe précisément quand a est élément de A (et dans ce cas, a appartient à U inter A : a appartient à A par hypothèse et a appartient à U pour tout vs U de a dans X par définition d'un voisinage de a). J'ai fait la démonstration dans ce cas particulier où a est adhérent à A en étant élément de A (je dis « si jamais f est définie en a »).

Finrod a écrit:pour la fonction constante égale à 0 partout et égale à 1 en 0. On prend A=R-{0} alors d'après cette définition on a bien que tout voisinage de 0 contient l'image d'un ouvert de R-{0} par la fonction, puisque l'image d'un tel ouvert est le singleton {0}. La limite est donc 0 en 0. Et cela n'a rien d'illogique puisque la fonction n'est pas continue, sa limite en 0 peut donc être différente de sa valeur en 0 qui est 1.

Quand on prend A=R-{0}, on considère une limite épointée, c'est à dire qu'on regarde une fonction restreinte. Mais la définition ne laisse pas choisir A, qui est donné avec la fonction. Je considérais la limite en 0 de la fonction f:A -> R (avec A=R tout entier) définie par f(x)=1 si x=0 et f(x)=0 sinon. Pour cette fonction, l'image d'un ouvert centré en 0 contient forcément 1.

Finrod a écrit:Dans l'exemple de la fonction constante égale à 0 partout et égale à 1 en 0, si on prend A = R alors on obtient que l'image de U inter A pour tout ouvert U contenant a=0 est  {0} U {1}  donc la limite n'existera pas et elle n'est pour moi certainement pas égale à 1 ou même 0.

Conclusion, pour cette fonction définie sur R entier, la limite en 0 par valeurs distinctes de 0 est bien 0, mais cette fonction n'a pas de limite (tout court) en 0.

Finrod a écrit:C'est pour cela que je ne vois pas l'intérêt de prendre un point adhérent à A qui soit dans A...

Dans ce cas, tu te ranges du côté de Stewart. C'est  un choix, mais que devient alors la définition topologique de la limite ?

Finrod a écrit:Pour moi la preuve de Bolzano reste fausse puisque {f(a)} a deux points adhérents dans cet exemple, on ne peut donc pas conclure que L=f(a).

Je ne comprends pas. Si les deux points adhérents sont f(a) et L, eh bien ces deux points sont égaux (du moins si Y est séparé).

On peut très bien vouloir prendre la limite sur une partie A différente de l'ensemble de définition. Mais la pertinence de regarder ce qui se passe sur le point a si jamais il est dans A reste à voir.

Pour ce qu'il pourrait advenir de la définition topologique, Condamine et Vissio ont répondu (mais il ne doivent pas être les seuls).

Excusez-moi, je dois aller me faire beau, et cela va prendre du temps aujourd'hui. :lol:

Je ne comprends pas. Si les deux points adhérents sont f(a) et L, eh bien ces deux points sont égaux (du moins si Y est séparé).

Effectivement je me suis mal exprimé, ce n'est pas des points adhérents à {f(a)} que je parle.  

Dans l'exemple cité plus haut il est clair que l'image de tout voisinage de a est {0} U {1}, autrement dit selon la définition topologique, il n'existe pas de limite.

A priori je suis pour la définition topologique, car elle ne fait qu'ajouter à la diversité des points de vue. Trouver une limite différente de f(a) lorsqu'un fonction est discontinue est cohérent et a un sens (cas a n'appartient pas à A) et de même trouver que "l'image" (en fait une limite projective sur la catégorie des voisinages des images de ces voisinages) contient plusieurs points est cohérent car il y a effectivement plusieurs points : la valeur en a, la limite à droite et la limite à gauche par ex pour une fonction réelle)

Le fait de prendre a dans A permet de mettre en évidence un ensemble de points qui peut avoir un certain rôle.

J'aimerais aussi lever un malentendu :  il n'y a qu'une seule définition qui ne précise pas où est a.  A nous après de le choisir dans A ou en dehors quand on applique la définition.
Autrement dit on prend une limite d'une fonction relativement à un ensemble.

D'ailleurs on commence en général pour le cas réel par les limites à droite et à gauche et on ne définit la limite que si les deux précédentes sont égales (ce qui permet de ne la définir que quant elle existe)

Enfin pour être bien sûr que l'on a fait le tour :

Pour moi si L est différent de f(a) dans le cas épointé alors forcément la limite n'existe pas dans le cas où on remet a dans A puisque la limite projective sur les voisinage contiendra au moins le L du cas épointé et f(a) qui sont différent par hypothèse.




EDIT : Oh et finalement la preuve de Bolzano est juste puisqu'il suppose que la limite existe. Les problèmes que je cite n'interviennent que si elle n'existe pas dans le cas général ce qui équivalent à dire qu'elle est différente de f(a) dans le cas épointé.

Choquet n'épointait pas.
Dans un cours de début de formation (L1-MPSI...), il n'y a que pour la définition du nombre dérivé via le taux d'accroissement que cela impose quelques précautions.
Et encore, j'ai toujours fait le cours en me ramenant le plus vite possible à la notion de développement limité d'odre 1, qui rend les preuves beaucoup plus naturelles.

Certains auteurs/pays épointent, d'autres non. Il me semble que dans une lettre à Fermat, Pascal se félicitait que « la vérité soit la même à Paris et à Toulouse. »

Je trouve dommage que la communauté mathématique ne se mette pas d'accord sur les définitions, cela ne simplifie pas les choses. Déjà qu'un compact français est plus compact qu'un américain...

Pour info, un texte vieux de 10 ans et qui n'a pas pris une ride :
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/prerequis.pdf

JPhMM a écrit:Avec tout ça on ne sait toujours pas si, à la fin, Achille a rattrapé la Tortue.

Zénon! Cruel Zénon! Zénon d’Élée!
M'as-tu percé de cette flèche ailée
Qui vibre, vole, et qui ne vole pas!
Le son m'enfante et la flèche me tue!
Ah! le soleil . . . Quelle ombre de tortue
Pour l'âme, Achille immobile à grands pas!

Palombella Rossa a écrit:

JPhMM a écrit:Avec tout ça on ne sait toujours pas si, à la fin, Achille a rattrapé la Tortue.

Zénon! Cruel Zénon! Zénon d’Élée!
M'as-tu percé de cette flèche ailée
Qui vibre, vole, et qui ne vole pas!
Le son m'enfante et la flèche me tue!
Ah! le soleil . . . Quelle ombre de tortue
Pour l'âme, Achille immobile à grands pas!

Oui, le problème de définition de limite est d'abord un problème épistémologique de compréhension de l'infini, le même problème que celui que rencontra Zénon. Pour un Anglo-saxon, le à la fin de la phrase n'a pas de sens. Pour un Français...

Mareuil a écrit:Pour info, un texte vieux de 10 ans et qui n'a pas pris une ride :
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/prerequis.pdf

Pour moi, le vrai problème n'est pas de se déchirer pour savoir si la définition que l'on donne est compatible avec celle du supérieur; l'unique problème est de savoir si elle est compréhensible par un élève de première. Quand on travaillait avec des "intervalles pointés", ce cours ne posait aucune difficulté: ni en série C ni en série B ni même en série A (je sais, ça fait un peu dinosaure). Il est devenu incompréhensible avec la "réforme". Ca, c'est un constat que j'ai fait et je ne dois pas être le seul.

Une fos ce constat fait, on peut discuter sur l'interet d'une différenciation du vocabulaire si cela peut éviter les guerres de tranchées