Le mot unité a-t-il deux sens ?

Bonjour
On avait parlé de la nature de "un" et je vais y revenir.

En attendant, des extraits de ce qui est à mon sens le meilleur article sur la question, "Un" est-il un nombre ? de Maryvonne Hallez et Nicole Nordon, ( In Si le nombre m'était conté, Elipses , 2000)

http://michel.delord.free.fr/un-est-il-un-nombre.pdf

MD

Michel Delord a écrit:Pour montrer ce qu’est l’aspect logique des mathématiques, prenons pour exemple les axiomes
de la numération, c’est-à-dire ceux qui permettent de définir la suite des nombres entiers :
Axiome 1 : A chaque nombre a succède un nombre entier a’ différent de a
Axiome 2 : Seul le nombre 1 ne succède à aucun nombre
Axiome 3 : Tout nombre succède, directement ou par intermédiaire, à 1
Mais ceci ne suffit pas, car , si la suite 1,2,3,4,5,6..... convient bien, la suite 1,2,3,4,2,3,4,2,3,4...
conviendrait aussi .
On ajoute donc :
Axiome 4 : La suite des nombres qui, de proche en proche succèdent à un nombre a
quelconque est isomorphe à la suite construite à partir de 1.
Et effectivement, toute suite qui satisfait à ces quatre axiomes est isomorphe à la suite des
entiers naturels 1,2,3,4,5,6,7.....
Mais justement si l’on s’intéresse aux suites ci-dessous : S2 : 2,4,6,8,10,12.... S10 :
10,20,30,40,50,60.... S100 : 100,200,300,400,500,600... elles possèdent toutes la même structure
logique qui est celle de la suite des entiers naturels et sont donc des modèles de cette suite et pourtant
l’on sent bien, intuitivement, que 1 n’est égal ni à 2, ni à 10 ni à 100.

verdurin a écrit:Je ne prétend pas avoir le niveau mathématique de M. Michel Delord.
Je ne suis certainement pas un bon prof.
Mais j'aurai honte d'écrire des choses comme ça :

Michel Delord a écrit:Pour montrer ce qu’est l’aspect logique des mathématiques, prenons pour exemple les axiomes
de la numération, c’est-à-dire ceux qui permettent de définir la suite des nombres entiers :
Axiome 1 : A chaque nombre a succède un nombre entier a’ différent de a
Axiome 2 : Seul le nombre 1 ne succède à aucun nombre
Axiome 3 : Tout nombre succède, directement ou par intermédiaire, à 1
Mais ceci ne suffit pas, car , si la suite 1,2,3,4,5,6..... convient bien, la suite 1,2,3,4,2,3,4,2,3,4...
conviendrait aussi .
On ajoute donc :
Axiome 4 : La suite des nombres qui, de proche en proche succèdent à un nombre a
quelconque est isomorphe à la suite construite à partir de 1.
Et effectivement, toute suite qui satisfait à ces quatre axiomes est isomorphe à la suite des
entiers naturels 1,2,3,4,5,6,7.....
Mais justement si l’on s’intéresse aux suites ci-dessous : S2 : 2,4,6,8,10,12.... S10 :
10,20,30,40,50,60.... S100 : 100,200,300,400,500,600... elles possèdent toutes la même structure
logique qui est celle de la suite des entiers naturels et sont donc des modèles de cette suite et pourtant
l’on sent bien, intuitivement, que 1 n’est égal ni à 2, ni à 10 ni à 100.

voir ici si vous ne me croyez pas
Je trouve qu'il s'agit d'une pseudo vulgarisation qui méprise son public.

[...]Dans l'attente d'une réponse éclairée, j'arrête ici ma participation.

Bonjour

Je ne voudrais surtout pas vous empêcher de participer et je vais donc essayer de vous répondre de manière éclairée, si j’en ai les moyens.

Allons tout de suite à « l’objet du délit » qui est le passage que vous citez et qui, rappelons-le est précédé dans le texte original - http://michel.delord.free.fr/milan+.pdf - de : « Je m’inspire ici assez librement du livre de Ferdinand Gonseth paru en 1936, «Les mathématiques et la réalité : essai sur la méthode axiomatique» (Paris, Librairie Scientifique et Technique Albert Blanchard, 1974 ) »

Je vous demande donc de comparer ce passage avec le suivant :

44. Les axiomes de la suite des entiers.

On passe au stade arithmétique par une abstraction portant surtout sur la notion d'objet. Ainsi le nombre cinq, par exemple, est un caractère qui appartient, que nous savons attribuer, à tous les groupes de cinq objets. Dans cette phrase, l'explication du concept cinq à l'aide des mots « cinq objets » ne représente pas du tout un cercle vicieux ! Au contraire, le double emploi du mot cinq marque le passage de la représentation intuitive au concept abstrait. Ce n'est que si l'on prétendait faire de cette « description suggérante » une définition fournissant la construction logique du concept cinq, qu'il faudrait lui opposer les plus expresses réserves.

Le concept de nombre une fois dégagé, on peut lui imprimer le sceau de l'axiomatisation. Il ne faut pas chercher avoir dans cette première axiomatisation une tentative de créer de toutes pièces les bases de l'arithmétique. Au contraire, il faut admettre qu'un certain nombre de notions fondamentales sont claires par elles-mêmes et données avec toute la précision désirable. Les axiomes sont alors des énoncés dont le but est d'évoquer et de suggérer certaines opérations mentales par lesquelles nous mettons les concepts fondamentaux en relations les uns avec les autres. Ils forment un système complet si les opérations évoquées suffisent pour reconstruire à elles seules tout l'édifice arithmétique. Celui-ci est, dès lors, une construction mentale rationnelle et, axiomatiquement fondée. A cet endroit - et bien que ce soit une répétition - nous insistons encore sur le fait que, dans la phrase qui précède, le mot rationnel n'intervient pas avec une signification déjà parfaite, et constituée par avance. Ce qui précède, tout au contraire, lui confère une partie de son sens, le sens maximal et optimal n'étant jamais définitivement acquis.

Voici comment peut se présenter la schématisation axiomatique : Exigeons tout d'abord que l'acte de compter (de numéroter) soit possible indéfiniment. Ceci s'exprime par les axiomes suivants :

Axiome 1 : A chaque nombre a succède un nombre a' différent de a.
Axiome 2 : Seul le nombre 1 ne succède à aucun nombre.

D'autre part, le passage d'un nombre au successif les engendre tous de proche en proche. D'où le troisième axiome

Axiome 3 : Tout nombre succède, directement ou par intermédiaire, au nombre 1.

Ces trois axiomes ne suffisent pas encore. Aussi bien que pour la suite des nombres entiers, 1 2 3 4 5... ils sont aussi vérifiés par la suite 1 2 3 4 2 3 4... formée à l'aide de quatre nombres seulement. On peut appeler isomorphes deux suites satisfaisant à ces trois axiomes et telles que, si l'on descend parallèlement dans l'une et dans l'autre de successif en successif, on ne puisse retomber dans l'une sur un nombre déjà connu sans que ce soit aussi le cas pour les nombres correspondants de l'autre suite. On peut alors énoncer encore l'axiome suivant, qui exprime le fait que l'acte de compter reste constamment identique à lui-même.

Axiome 4 : La suite des nombres qui de proche en proche succèdent à un nombre a quelconque est isomorphe la suite prise à partir de 1.

On peut reconnaître (Ces mots étant pris au sens ordinaire de la déduction mathématique) que toute suite qui satisfait à ces quatre axiomes est isomorphe à la suite des entiers 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...

Nous renonçons à énoncer les axiomes relatifs à l'addition et à la multiplication.

Ici, il ne s’agit pas d’un texte de Michel Delord, mais de Ferdinand Gonseth, Les mathématiques et la réalité : Essai sur la méthode axiomatique, 1936 et pour être très précis du paragraphe 44 du chapitre VII « La nature du nombre entier ». Vous voudrez bien reconnaitre, peut-être, qu’il n’y a pas de différences majeures entre ce que j’ai écrit et le texte de Gonseth.

Ceci dit, vous avez affirmé, SANS DONNER UN SEUL ARGUMENT, que « vous auriez eu honte de l’écrire » et qu’il s’agit « d'une pseudo vulgarisation qui méprise son public ». Vous avez tout à fait le droit de qualifier ainsi ce que j’écris, mais, pour que ce ne soit pas une insulte caractérisée, à une condition qui est d’argumenter vos assertions. Je vous invite donc à le faire ou à retirer vos affirmations.

Je vous fait remarquer, pour que vous ne commettiez pas d’erreur d’appréciation que, si Michel Delord est un inconnu, Ferdinand Gonseth est un mathématicien qui a une certaine envergure, qui est un spécialiste de l’axiomatique et qui a en particulier travaillé sur ce sujet avec Paul Bernays « mathématicien qui a joué un rôle crucial dans le développement de la logique mathématique du XXème siècle » [1] - et qui a notamment partagé avec Hilbert l’écriture des Grundlagen.
C’est-à-dire qu’en vous attaquant à ce que j’ai écrit sur l’axiomatique et qui est repris de Gonseth, vous critiquez en gros un des auteurs qui a conception la plus aboutie de l’axiomatique au XXème siècle. Je n’ai pas dit que ce n’était pas faisable mais je demande à voir le résultat car je ne suis pas personnellement capable de le faire.

MD

[1] http://fr.wikipedia.org/wiki/Paul_Bernays

verdurin a écrit:Je ne prétend pas avoir le niveau mathématique de M. Michel Delord.
Je ne suis certainement pas un bon prof.
Mais j'aurai honte d'écrire des choses comme ça :

Michel Delord a écrit:Pour montrer ce qu’est l’aspect logique des mathématiques, prenons pour exemple les axiomes
de la numération, c’est-à-dire ceux qui permettent de définir la suite des nombres entiers :
Axiome 1 : A chaque nombre a succède un nombre entier a’ différent de a
Axiome 2 : Seul le nombre 1 ne succède à aucun nombre
Axiome 3 : Tout nombre succède, directement ou par intermédiaire, à 1
Mais ceci ne suffit pas, car , si la suite 1,2,3,4,5,6..... convient bien, la suite 1,2,3,4,2,3,4,2,3,4...
conviendrait aussi .
On ajoute donc :
Axiome 4 : La suite des nombres qui, de proche en proche succèdent à un nombre a
quelconque est isomorphe à la suite construite à partir de 1.
Et effectivement, toute suite qui satisfait à ces quatre axiomes est isomorphe à la suite des
entiers naturels 1,2,3,4,5,6,7.....
Mais justement si l’on s’intéresse aux suites ci-dessous : S2 : 2,4,6,8,10,12.... S10 :
10,20,30,40,50,60.... S100 : 100,200,300,400,500,600... elles possèdent toutes la même structure
logique qui est celle de la suite des entiers naturels et sont donc des modèles de cette suite et pourtant
l’on sent bien, intuitivement, que 1 n’est égal ni à 2, ni à 10 ni à 100.

voir ici si vous ne me croyez pas
Je trouve qu'il s'agit d'une pseudo vulgarisation qui méprise son public.

Puisque l'on parle ici du primaire et du collège, j'aimerais savoir quelle est l'expérience personnelle de M. Delord dans ce domaine.
Il a été longtemps instituteur ?
Il a enseigné pendant 10 ans dans un collège de banlieue ?

Les conseilleurs ne sont pas les payeurs.

Et puisque je parle de l'expérience des autres, je dirais un mot de la mienne :
Mon premier contact avec la pédagogie telle que la conçoit un certain Delord a eu lieu en licence (L3 pour les nouveaux).
On avait un prof de math, très compétant comme mathématicien, qui avait décidé de se reconvertir dans la pédagogie. Domaine dans le quel il était d'une incompétence abyssale, et j'ai fait parti des gens qui ont payé cette incompétence : je l'avais bêtement écouté.
J'ai ensuite fréquenté les IREM, j'y ai rencontré, entre autre, des universitaires mathématiquement médiocres, même si il étaient bien meilleurs que moi. Ces gens ne reculaient devant aucun effort, pourvu que d'autres les fassent. Ce qui leur permettait de publier.
Et de mépriser notre inculture : «Comment ? Vous n'avez pas lu toute la bibliographie ?». Sans penser un seul instant que nous avions un peu de travail à faire de temps en temps.

D'où ma méfiance envers un certain Delord.
Dont le style et la pensée me semble relever respectivement du vide et de la tétracapilectomie.

Sinon je n'ai rien contre le fait que 1 ou 2 soient considérés comme le premier nombre.
Mais je me demande 1,5 c'est le combien d'ième ?
Dans l'attente d'une réponse éclairée, j'arrête ici ma participation.

Anaxagore a écrit:Ceci dit je trouve qu'on peut faire des constructions plus générales que ce que propose Bourbaki.
Êtes-vous contre les semi-groupes?

JPhMM a écrit:

Anaxagore a écrit:Ceci dit je trouve qu'on peut faire des constructions plus générales que ce que propose Bourbaki.
Êtes-vous contre les semi-groupes?

Y a-t-il un lien entre les deux phrases ? C'est que Bourbaki utilise (et a inventé) les magmas, plus généraux que les demi-groupes...

verdurin le Mar 23 Oct 2012 a écrit:Il semble difficile de se connecter aux endroits où répond Michel Delord.
Voici donc la réponse, un peu légère , d'un certain verdurin à quelqu'un qui a poussé la lâcheté assez loin.

Mais c'est un pédagogue, et un spécialiste des «sciences de l'éducation».
Après 40 ans d'expériences, je ne pense guère de bien des gens de cette sorte.

..............

Ps : Il y a une chose qui m'a toujours étonné : on peut reconnaitre les spécialistes des sciences de l'éducation au style d'argumentation.
Deux citations, un mépris total pour qui ne pense pas comme eux, et une totale incompétence.

verdurin le Ven 09 Nov 2012 a écrit:
Puisque l'on parle ici du primaire et du collège, j'aimerais savoir quelle est l'expérience personnelle de M. Delord dans ce domaine.
Il a été longtemps instituteur ?
Il a enseigné pendant 10 ans dans un collège de banlieue ?

Les conseilleurs ne sont pas les payeurs.

Et puisque je parle de l'expérience des autres, je dirais un mot de la mienne :
Mon premier contact avec la pédagogie telle que la conçoit un certain Delord a eu lieu en licence (L3 pour les nouveaux).
On avait un prof de math, très compétant comme mathématicien, qui avait décidé de se reconvertir dans la pédagogie. Domaine dans le quel il était d'une incompétence abyssale, et j'ai fait parti des gens qui ont payé cette incompétence : je l'avais bêtement écouté.
J'ai ensuite fréquenté les IREM, j'y ai rencontré, entre autre, des universitaires mathématiquement médiocres, même si il étaient bien meilleurs que moi. Ces gens ne reculaient devant aucun effort, pourvu que d'autres les fassent. Ce qui leur permettait de publier.
Et de mépriser notre inculture : «Comment ? Vous n'avez pas lu toute la bibliographie ?». Sans penser un seul instant que nous avions un peu de travail à faire de temps en temps.

D'où ma méfiance envers un certain Delord.
Dont le style et la pensée me semble relever respectivement du vide et de la tétracapilectomie.