Les probabilités conditionnelles (pour les nuls)

Vous venez de passer un test pour le dépistage du cancer. Le médecin vous convoque pour vous annoncer le résultat : mauvaise nouvelle, il est positif. Pas de chance, alors que ce type de cancer ne touche que 0.1% de la population.
Vous demandez alors au praticien si le test est fiable. Sa réponse est sans appel : « Si vous avez le cancer, le test sera positif dans 90% des cas ; alors que si vous ne l’avez pas, il sera négatif dans 97% des cas ». L’affaire paraît entendue…

Et pourtant, à votre avis, après le résultat d’un tel test, quelle est la probabilité que vous ayez le cancer ? 90% ? 87% ? Moins que ça ?

Pour répondre à cette question, il va falloir faire un tout petit peu de probabilités…mais ça en vaut la peine, vous allez découvrir que malgré votre test positif, la probabilité d’être malade n’est que de 2.9% !
Creusons un peu ce petit paradoxe, et partons à la découverte de la formule de Bayes, l’une des plus importantes de toute l’histoire des sciences !

L'explication ici

Merci pour cet article intéressant !
Juste une question, dans la dernière formule, comment calculer "P(+)" (probabilité d'avoir un résultat positif sans rien savoir d'autre, égale à 309/10000) ? Il me semble que pour ça, il faut faire le graphe des possibilités, qui figure au début de l'article, donc en gros résoudre le problème, non ?
Marc

marc38 a écrit:Merci pour cet article intéressant !
Juste une question, dans la dernière formule, comment calculer "P(+)" (probabilité d'avoir un résultat positif sans rien savoir d'autre, égale à 309/10000) ? Il me semble que pour ça, il faut faire le graphe des possibilités, qui figure au début de l'article, donc en gros résoudre le problème, non ?
Marc

Oui, ce sont des exercices théoriques.
Et ce type de raisonnement tombe au bac (ES avant et S maintenant).

Entre le problème résolu par JphMM et celui proposé ici, j'ai appris que

Spoiler:

Autre domaine sur le même sujet.

Spécificité du test: plus un test ne dépistera que les malades, plus il sera spécifique. donc ici, 97 %, puisque 97 % des non-malades auront un test négatif.

Sensibilité du test: plus un test dépistera de malades, plus il sera sensible. Ici, sensibilité de 90 %. 10% des malades seront non dépistés.



L'enjeu est difficile car, souvent, plus le test est sensible, plus sa spécificité baisse.



DC véto

La démonstration donnée est évidente et indiscutable, à condition que le test soit appliqué de façon systématique sur un grand échantillonage de population prise au hasard.

Mais, dès que le dépistage est appliqué avec discernement à une population définie à risque, un test positif aura une valeur prédictive qui augmentera.

et si, comme c'est le cas pour une maladie infectieuse, on ne dépiste que ceux qui présentent des signes cliniques d'appel, la valeur prédictive du test sera très convenable, avec sa spécificité à 97 % et sa sensibilité à 90 % (un peu faible, ce pourcentage: il nous fait faire la moue quand on essaie de nous vendre le test).



Si je fais mon test sérologique rapide leishmaniose sur un chien galeux, le test est en général positif par manque de spécificité, mais comme je connais ce défaut, je commence par soigner ma gale. C'est vrai que ça peut être trompeur, dans une région où les deux pathologies coexistent.



DC véto

doublecasquette a écrit: et sa sensibilité à 90 % (un peu faible, ce pourcentage: il nous fait faire la moue quand on essaie de nous vendre le test).

Oui, c'est pour ça que le résultat dans l'article est spectaculaire...

et c'est ce que les gynécologues reprochaient au test de dépistage de la trisomie par dosage d'HCG appliqué systématiquement. Très sensible mais pas assez spécifique: du coup, trop de faux positifs= mères totalement paniquées et trop d'amniocentèses inutiles.

Pierre_au_carré a écrit:

doublecasquette a écrit: et sa sensibilité à 90 % (un peu faible, ce pourcentage: il nous fait faire la moue quand on essaie de nous vendre le test).

Oui, c'est pour ça que le résultat dans l'article est spectaculaire...

et ce d'autant plus qu'on travaille sur un échantillon non préalablement filtré par facteurs de risques.

Donc, en résumé, que ceux qui s'amuseraient avec ce petit problème n'en concluent pas hâtivement que les tests de dépistage, c'est de la daube et que c'est de l'argent gaspillé pour rien.