[maths] Exercice concours administratif

Je travaille sur un livre de préparation à un concours administratif et je ne comprends pas (exactement) un énoncé pour pouvoir y répondre :

Trois automobilistes partent en même temps de Rouen vers Paris et prennent la même route.
Alain effectue le trajet en roulant durant la première moitié de la distance à la vitesse moyenne de 80 km/h, et durant la seconde moitié à 100 km/h.
Pierre roule la moitié du trajet à la vitesse moyenne de 80 km/h, et la seconde moitié à 100 km/h.
Jean effectue le trajet en roulant à la vitesse moyenne de 90 km/h.
Qui arrivera le premier à Paris ?
a. Les trois arrivent en même temps
b. Pierre et Jean
c. Alain
d. Alain

Pour "la première moitié de la distance", OK, t = t1 + t2 = (d/2) / 80 + (d/2) / 100 = ... = 9 d / 100.
Mais pour "la moitié du trajet", si je raisonne de la même façon sur le temps, je n'arrive à rien de simple... Ce qui ne correspond pas exactement au niveau demandé.

De façon générale, les énoncés sont plus compliqués que la résolution des exercices...

Un avis ?

L'ordre d'arrivée ne dépend pas de la distance Rouen-Paris, je prends donc une valeur (en somme, une méthode proche de la méthode égyptienne de la fausse position). Pour simplifier : d = 180 km.
*) T_1 = 90/80 + 90/100 = 2,025
**) et ***) T_2 = T_3 = 180/90 = 2

Note : T_2 = T_3 par égalité des aires sous les courbes des vitesses fonction de t.

La bonne réponse est b) (mais on s'en doutait).

On note t la durée totale du trajet.

sur la première partie : v_1=d_1 / t_1=2d_1/ t donc d_1 = v_1 t /2


sur la seconde partie : v_2=d_2 / t_2=2d_2/ t donc d_2 = v_2 t /2

Donc d = d_1 + d_2 = t(v_1+v_2)/2. Sa vitesse moyenne est donc la moyenne arithmétique de 80 et 100 i.e. 90. Pierre et Jean arrivent en même temps.

La vitesse moyenne d'Alain est 800/9 i.e. 88,9 km/h à 0,1 km/h près. Il arrive donc après les deux autres.

Merci !

J'avais ce qu'il fallait mais j'avais oublié (tard hier soir) d'exploiter une égalité et, du coup, je cherchais une inégalité...
Je ne suis pas sûr qu'ils arrivent à s'en sortir correctement (par rapport au niveau des autres QCM).

C'est un QCM de pré-admissibilité aux concours de contrôleur des impôts/trésor/douanes (niveau bac).

Plus simplement encore.
Passons rapidement sur le fait que Pierre et Jean auront même temps de parcours (moyenne arithmétique des vitesses).
Pierre roule la moitié du trajet à 80 km/h et l'autre moitié à 100 km/h. Donc cette première moitié de durée totale correspond à une distance plus courte que la moitié de la distance totale parcourue. Ainsi la durée totale du parcours d'Alain sera plus longue que celle de Pierre car il roule à moindre vitesse sur une distance plus longue que celle de moindre vitesse de Pierre.

JPhMM a écrit:L'ordre d'arrivée ne dépend pas de la distance Rouen-Paris, je prends donc une valeur (en somme, une méthode proche de la méthode égyptienne de la fausse position). Pour simplifier : d = 180 km.
*) T_1 = 90/80 + 90/100 = 2,025
**) et ***) T_2 = T_3 = 180/90 = 2

Note : T_2 = T_3 par égalité des aires sous les courbes des vitesses fonction de t.

La bonne réponse est b) (mais on s'en doutait).

Je voulais conclure mon message par : "Merci d'avance JPhMM"