Remarques pour enseigner la multiplication et la division

Clarinette a écrit:

JPhMM a écrit:

Clarinette a écrit:j'ai peur qu'il soit prématuré d'expliquer à un élève de 10 ans que les nombres n'ont pas de signification.

Si le nombre 3 a un sens, quel sens précis lui donner qui serait identique dans les phrases "je vois 3 tables" et "dehors, il fait 3°" ???

Oui, je vois ce que tu veux dire, mais penses-tu que passer cela sous silence, pour ne s'occuper que de problèmes concrets, nuise au développement du raisonnement mathématique chez les écoliers ? je ne voudrais pas faire de bêtises, moi, enfin, pas trop...

Clarinette a écrit:Alors, que serait une vraie situation de multiplication ? Le calcul de l'aire d'un rectangle, par exemple ?

Clarinette a écrit:Merci pour cette intéressante conversation. Je vais aller rêver de tout cela !

JPhMM a écrit:

Clarinette a écrit:Merci pour cette intéressante conversation. Je vais aller rêver de tout cela !

Pour rêver : si j'ai un caillou et un caillou, j'ai des objets différents, qui sont Un chacun. Pourtant je dis que j'ai deux cailloux. Mais qu'est-ce qui fait qu'ils seraient deux ? cela signifie quoi ? C'est-à-dire : qu'est-ce que ce deux-là ? :lol:

Bonne nuit à toi.

Anaxagore a écrit:Dans ses réflexions sur les ouvrages anciens et sur les mathématiques pré-modernes à l'école, MD parle des unités et MD parle de la phase où l'on distinguait le multiplicateur et le multiplicande. Tout simplement parce que dans l'esprit des petits, qui partent de leurs intuitions, la souplesse formelle que nous nous plaisons à utiliser n'était installée que progressivement.

Ce n'est pas une question de formalisme mais une question de sens au contraire.

Le sens de l'addition et de la multiplication s'acquiert vite et facilement dès le Cours élémentaire; celui de la soustraction - dont les aspects sont plus divers - est connu complètement vers la fin de la neuvième année. Il n'en est pas de même pour la division. L'intuition ne se forme que lentement; elle demeure incertaine dans les cas délicats, par exemple lorsque dividende et diviseur sont des nombres voisins, ou lorsque le diviseur est plus grand que le dividende, ou encore lorsque le diviseur est inférieur à l'unité.
Posons la question :
- le filet de boeuf vaut 84o F le kg. Quel poids en aura-t-on pour 75o F?
Il y aura des divisions inversées : 84o F : 75o F.
etc.

Spinoza1670 a écrit:N'y a-t-il pas une faute de frappe ?

verdurin a écrit:Une remarque personnelle sur tout ça.

Cette année un de mes élèves, en terminale, a été classé au concours général de physique.
Je l'ai depuis deux ans et il tourne autour de 18 de moyenne en math.

Il m'a dit à la fin de cette année que c'était depuis la première qu'il dépassait 11 de moyenne en maths.

Pour médire des collègues, je dirais qu'ils appliquaient un peu trop des règles du genre de celles proposées par le lien de Spinoza1670.
Ou qui pensent que 4€ x 13 n'est pas la même chose que 13 x 4€.

Je crois que l'on confond trop souvent la présentation des résultats et la capacité à les obtenir, même si la méthode n'est pas celle prévue.

Ceci étant dit, je crois que c'est une bonne chose d'écrire les unités dans les calculs. Même si, instructions officielles oblige, je fais écrire :
soit v la vitesse en m/s et t le temps en s ; la distance d parcourue en m est d=vt.

Padre le 10 fév 2010 a écrit:l'ordre des facteurs a-t-il de l'importance ?
Pour un mathématicien, la commutativité de la multiplication étant acquise, il n'y a pas à se soucier de l'ordre, 2x5, 5x2, c'est du pareil au même. Pour un petit CP, c'est moins évident, 2+2+2+2+2, ça n'a, a priori, rien à voir avec 5+5, même si on constate avec la manipulation qu'on obtient bien le même résultat. Alors, 2 solutions :
- Celle retenue depuis les années 70 considère que cette abstraction de la commutativité ne peut être abordée au CP, donc pas possible d'aborder la multiplication. On voit ça en CE avec les tablettes de chocolat en expliquant que 3 lignes de 8 carrés, c'est comme 8 colonnes de 3 carrés et on écrit indifféremment 3x8 ou 8x3...etc
- Celle d'avant, remise à jour par SLECC, trouve que le travail sur les nombres avec les 4 opérations est important pour bien construire la numération et que la notion de multiplication comme addition répétée est tout à fait accessible à l'enfant de 5 ans qui sait utiliser le mot « fois » dans le langage oral. Mais si on veut s'assurer que la notion est bien comprise, pas question, dans un premier temps, de laisser écrire dans n'importe quel sens : l'enfant qui écrit 2x5 à la place de 5x2 a, soit très bien compris la commutativité, soit rien compris du tout à la multiplication.

padre le 10/02/2010 a écrit:Deuxième question : quel sens ?
« 2+2+2+2+2 = 5x2 » ou « 2+2+2+2+2 = 2x5 »

- Dans le premier cas, le signe « x » signifie « fois » (ou « multipliant »), ce qui traduit directement le langage oral « 5 fois 2 », donc assez pratique.

- Dans le second cas, « x » se lit « multiplier par ». Ce qui oblige à tordre l'oral en traduisant : c'est 2, 5 fois.

Alors, pourquoi l'école « à la papa », comme a écrit quelqu'un (je préfère l'école française – identité nationale oblige !), a-t-elle opté pour la deuxième solution ?

La seule bonne raison me semble être l'utilisation des unités dans les calculs.
Si vous avez 5 pièces de 2 €, vous écrirez 2€ x 5 = 10 € ; 2 billets de 5 euros : 5€ x 2 = 10 €.
Et alors ? Direz-vous, pourquoi pas 2 x 5€ ?
C'est avec la division que ça se complique. En mettant le multiplicande et le dividende en première place, on facilite le raisonnement : « Je cherche des euros, des pommes, des poires ou des scoubidous... je commence par écrire des euros, des pommes, des poires ou des scoubidous... ensuite, j'en ajoute, j'en retire ou je multiplie, je divise par un nombre de « fois » (c'est le multiplicateur ou le diviseur) et dans mon résultat, j'obtiens des euros, des pommes, des poires ou des scoubidous... »
Cette introduction des unités dans les calculs permet d'éviter des erreurs dans un bon nombre de problèmes élémentaires et constitue un point d'appui important pour les élèves qui ont des difficultés à passer à l'abstraction algébrique.

Spinoza1670 a écrit:
La question n'est pas a) 13 X 4 euros est-il pareil que 4 euros X 13 ; mais b) 13 euros X 4 est-il pareil que 4 X 13 euros.
Dans les 2 cas a et b, le résultat est le même.
Il est évident que dans le cas b, les deux multiplications ne représentent pas la même situation.
Dans le cas a, c'est la même situation. Il n'est pas faux d'écrire 13 X 4 euros, mais à partir du moment où conventionnellement on a précisé qu'il fallait inscrire le multiplicande en premier, cela peut être un indice que l'élève n'a pas bien compris la situation décrite dans le problème.

Spinoza1670 a écrit:
La question n'est pas a) 13 X 4 euros est-il pareil que 4 euros X 13 ; mais b) 13 euros X 4 est-il pareil que 4 X 13 euros.
Dans les 2 cas a et b, le résultat est le même.
Il est évident que dans le cas b, les deux multiplications ne représentent pas la même situation.
Dans le cas a, c'est la même situation. Il n'est pas faux d'écrire 13 X 4 euros, mais à partir du moment où conventionnellement on a précisé qu'il fallait inscrire le multiplicande en premier, cela peut être un indice que l'élève n'a pas bien compris la situation décrite dans le problème.

verdurin a écrit:Quand je fais mes comptes, que j'ai dépensé 13x4€ ou 4x13€, le résultat est le même.
Beaucoup d'arnaques reposent sur la croyance que ce n'est pas pareil.

verdurin a écrit:Par ailleurs il ne faut pas confondre «un indice que l'élève n'a pas bien compris la situation décrite dans le problème» et «l'élève n'a pas compris le problème».

Spinoza1670 a écrit:
Il y a un possible sophisme dans le passage de la proposition "le résultat est le même" à la proposition : "c'est pareil".
C'est pareil si on considère ces multiplications de manière abstraite. abc = bac
Mais si on pense que ces multiplications se réfèrent à une situation donnée, alors 13 paquets bonbons à 4 euros ou 4 paquets de bonbons à 13 euros, ce n'est pas pareil.

La scène se passe dans une école primaire à la fin des années 1970. Un inspecteur demande à un petit garçon combien font 2+5, à quoi le petit garçon répond que 2+5 font 5+2 parce que l’addition est commutative. Horreur de l’inspecteur qui déclare que les maths modernes font que les enfants ne savent plus compter [1] et arrêt de mort desdites maths. Cette réaction pose une question assez intéressante au niveau de la formation des enfants. Il est clair que si le but de ladite formation est un formatage uniforme, la seule réponse correcte à la question inquisitoriale est 7.

Note 1 : La scène prend une autre saveur si on sait que le petit garçon en question était fils de deux mathématiciens, n’avait pas la langue dans sa poche, et poursuit à l’heure actuelle une brillante carrière de mathématicien.

verdurin a écrit:

Spinoza1670 a écrit:
Il y a un possible sophisme dans le passage de la proposition "le résultat est le même" à la proposition : "c'est pareil".
C'est pareil si on considère ces multiplications de manière abstraite. abc = bac
Mais si on pense que ces multiplications se réfèrent à une situation donnée, alors 13 paquets bonbons à 4 euros ou 4 paquets de bonbons à 13 euros, ce n'est pas pareil.

Certes, mais si on demande le prix, c'est pareil.
Et si demander un raisonnement correct est indispensable, il ne faut pas croire en être le seul dépositaire.
Les implicites n'ont, en principe, pas cours en mathématiques.
Il ne faut jamais oublier que les élèves peuvent avoir un raisonnement correct en dehors des formes qu'on leur enseigne.

Ps : C'est sans doute pour ça que je mets si longtemps à corriger mes copies...
Mais je crois que ça en vaut la peine.

verdurin a écrit:
Il ne faut jamais oublier que les élèves peuvent avoir un raisonnement correct en dehors des formes qu'on leur enseigne.