Remarques pour enseigner la multiplication et la division

La notation concrète de la multiplication enrichit à coup sûr, par une pratique constante, la notion que nos élèves peuvent avoir du sens de cette opération; elle rend certaines erreurs - unités qui ne concordent pas, facteurs intervertis - à peu près impossibles; elle facilite l'enseignement de la division (voir 2e partie).
Les objections qui pourraient être faites d'un point de vue théorique sont sans valeur au niveau de compréhension de nos élèves d'école primaire. La seule difficulté réelle est de rompre avec une ancienne habitude et d'en acquérir une nouvelle.
Pour les enfants, cet argument n'existe pas. Quant aux maîtres, ils se rendraient vite compte que l'effort à faire est insignifiant, mieux vaudrait dire nul.

MD a écrit:Le point principal de rupture en 1970 : L’abandon des opérations sur les grandeurs
Il ne s'agit pas d'une analyse que je ferais a posteriori mais de l'affirmation, en 1972, de l'APMEP, principale association des professeurs de mathématiques cheville ouvrière de la réforme des mathématiques modernes qui est publiée dans le numéro spécial consacré au Bulletin Officiel paru en Janvier 1970 qui introduit les maths modernes en primaire. Il s'agit donc d'une affirmation centrale et réfléchie : L’abandon des " opérations sur les grandeurs " est bien la mutation fondamentale apportée par les programmes transitoires, c’est lui qui transforme profondément les démarches de la pensée dans l’enseignement élémentaire.
Cet abandon du calcul sur les grandeurs - et donc des nombres concrets - dans le BO n'est pas argumenté en tant que tel mais figure sous la forme suivante :
Les phrases telles que 8 pommes +7 pommes = 15 pommes n’appartiennent pas au langage mathématique.
Ceci est bien sûr une absurdité certes pédagogique mais surtout mathématique puisque dès 1968, soit deux ans avant la publication du B.O. et quatre ans avant le commentaire de l'APMEP, le grand géomètre Hassler Whitney publiait un article qui donne un cadre mathématique axiomatique, "moderne", au calcul sur les grandeurs. Il s'agit de The Mathematics of Physical Quantities. Il y déclare notamment – et démontre en donnant une structure mathématique sous-jacente (rays and birays) - qu'il est tout à fait "mathématique" d'écrire :
5 cakes + 2 cakes = (5+2) cakes = 7 cakes ou bien 2 yd = 2 ( 3 ft) = 6 ft
Le contexte de l'introduction montre même qu'il vise explicitement les maths modernes en dénonçant notamment l'absurdité des obligations langagières du type "Complétez : 2 cm ont même longueur que … mm ; 80 mm ont même longueur que … cm."xii puisqu'il y est dit explicitement :
The fact that "2 yd" and "6 ft" name the same element of the model enables us to say they are equal; there is no need for such mysterious phrases as "2 yd measures the same as 6 ft."
Ceci prouve entre autres que la pratique du calcul sur les grandeurs est bien plus "moderne" que la réduction du calcul au calcul sur les nombres purs.

Et trente après 1970, nous en sommes fondamentalement au même point puisqu'on lit dans le document officiel :
"Accompagnement des programmes de troisième de collège :
En effet, en mathématiques, on ne travaille pas sur les grandeurs (c’est l’objet d’autres disciplines, comme la physique, la technologie, les sciences de la vie et de la Terre ou la géographie et l’économie par exemple)"
A propos des nombres concrets et abstraits : Un témoignage historique sur l'école primaire française Michel Delord - Banff, 5 décembre 2004

2 cm ont même longueur que … mm

JPhMM a écrit:En effet.
D'ailleurs on pourrait aussi écrire
X(2m/s, 3s) = 6m
X(3s, 2m/s) = 6m

:lol:

Mais ça, c'est une autre histoire.
Quoique......................

Clarinette a écrit:
Mes astuces : exiger l'écriture 13 x 4 (prononcé 13 multiplié par 4 ou 4 fois 13) et non l'inverse, lorsqu'il s'agit de 13 objets coûtant 4 euros.
Je fais également des problèmes commentés : chaque nombre d'une ligne de calcul doit être expliqué dans un cadre à part (13 est le nombre d'objets ; 4 est le prix de chaque objet exprimé en euros).
En présentant correctement le calcul, on peut être sûr que l'unité de mesure du premier nombre sera l'unité de mesure du résultat.
.

Sapotille a écrit:Si 13 objets coûtent 4 euros chacun, j'écris
4euros X 13
Je cherche des euros, j'écris les euros d'abord.

Autrefois, tout le monde faisait ainsi...

Dhaiphi a écrit:

Sapotille a écrit:Si 13 objets coûtent 4 euros chacun, j'écris
4euros X 13
Je cherche des euros, j'écris les euros d'abord.

Autrefois, tout le monde faisait ainsi...

On peut très bien le penser et écrire l'inverse.

Sapotille a écrit:Si 13 objets coûtent 4 euros chacun, j'écris
4euros X 13
Je cherche des euros, j'écris les euros d'abord.

Autrefois, tout le monde faisait ainsi...

JPhMM a écrit:

Sapotille a écrit:Si 13 objets coûtent 4 euros chacun, j'écris
4euros X 13
Je cherche des euros, j'écris les euros d'abord.

Autrefois, tout le monde faisait ainsi...

Je ne trouve pas cela très cohérent, pour être honnête.

Ainsi :
Si chacun des 13 stylos coûte 4 euros :
13 "prix de stylo" = 13 x 4 euros
me semble plus... "naturel", disons.

En d'autres termes :
f(13) = f(13 X 1) = 13 X f(1) = 13 X 4 euros

Bien sûr, écrire f(1) X 13 est tout aussi correct, mais je ne l'écrirais pas ainsi, par habitude.

Clarinette a écrit:Cela permettra peut-être aussi de préparer le terrain pour km/h, par exemple : si tu veux des km/h, tu places les km en premier, et pas l'inverse.

Clarinette a écrit:Certes, mais le sens (la signification des nombres, je veux dire) compte beaucoup, même si la multiplication l'est.

Les mathématiques ne s'occupent pas du sens des nombres. Personne ne sait vraiment ce qu'est un nombre. Je peux t'expliquer quelques trucs marrants là-dessus, mais ce n'est peut-être pas le lieu ni le moment.

Clarinette a écrit:Non ?

Clarinette a écrit:j'ai peur qu'il soit prématuré d'expliquer à un élève de 10 ans que les nombres n'ont pas de signification.