Remarques pour enseigner la multiplication et la division

Spinoza1670 a écrit:
Il y a un possible sophisme dans le passage de la proposition "le résultat est le même" à la proposition : "c'est pareil".
C'est pareil si on considère ces multiplications de manière abstraite. abc = bac
Mais si on pense que ces multiplications se réfèrent à une situation donnée, alors 13 paquets bonbons à 4 euros ou 4 paquets de bonbons à 13 euros, ce n'est pas pareil.

Certes, mais si on demande le prix, c'est pareil.
Et si demander un raisonnement correct est indispensable, il ne faut pas croire en être le seul dépositaire.
Les implicites n'ont, en principe, pas cours en mathématiques.
Il ne faut jamais oublier que les élèves peuvent avoir un raisonnement correct en dehors des formes qu'on leur enseigne.

Ps : C'est sans doute pour ça que je met si longtemps à corriger mes copies...
Mais je crois que ça en vaux la peine.

Intéressant le lien que tu donnes ! http://images.math.cnrs.fr/A-mort-les-maths.html

La scène se passe dans une école primaire à la fin des années 1970. Un inspecteur demande à un petit garçon combien font 2+5, à quoi le petit garçon répond que 2+5 font 5+2 parce que l’addition est commutative. Horreur de l’inspecteur qui déclare que les maths modernes font que les enfants ne savent plus compter [1] et arrêt de mort desdites maths. Cette réaction pose une question assez intéressante au niveau de la formation des enfants. Il est clair que si le but de ladite formation est un formatage uniforme, la seule réponse correcte à la question inquisitoriale est 7.

Note 1 : La scène prend une autre saveur si on sait que le petit garçon en question était fils de deux mathématiciens, n’avait pas la langue dans sa poche, et poursuit à l’heure actuelle une brillante carrière de mathématicien.

verdurin a écrit:

Spinoza1670 a écrit:
Il y a un possible sophisme dans le passage de la proposition "le résultat est le même" à la proposition : "c'est pareil".
C'est pareil si on considère ces multiplications de manière abstraite. abc = bac
Mais si on pense que ces multiplications se réfèrent à une situation donnée, alors 13 paquets bonbons à 4 euros ou 4 paquets de bonbons à 13 euros, ce n'est pas pareil.

Certes, mais si on demande le prix, c'est pareil.
Et si demander un raisonnement correct est indispensable, il ne faut pas croire en être le seul dépositaire.
Les implicites n'ont, en principe, pas cours en mathématiques.
Il ne faut jamais oublier que les élèves peuvent avoir un raisonnement correct en dehors des formes qu'on leur enseigne.

Ps : C'est sans doute pour ça que je mets si longtemps à corriger mes copies...
Mais je crois que ça en vaut la peine.

D'accord avec la fin du message. Pour la phrase en gras au début je ne suis pas sûr de comprendre. Comme je n'ai pas un niveau élevé en maths, il faut être très explicite.

verdurin a écrit:
Il ne faut jamais oublier que les élèves peuvent avoir un raisonnement correct en dehors des formes qu'on leur enseigne.

Mais une fois admis le résultat, il ne faut pas non plus oublier de leur demander d'expliciter le raisonnement quand il n'est pas «standard».

13x4€=4x13€
Il ne me semble pas utile d'avoir de grandes connaissances en mathématiques pour voir ça.

[édition] mais j'ai peut-être tort...

Si le problème est :
Martine achète 13 paquets de bonbons à 4 euros,
la formulation mathématique correcte si on utilise les unités (euros, mètres, litres) ne sera pas a priori 4 X 13 euros, même si 13x4€=4x13€.

Si on n'utilise pas les unités, il est indifférent d'écrire 13 X 4 ou 4 X 13.

Oui, mais que penses tu de (4x13)€

verdurin a écrit:Oui, mais que penses-tu de "(4x13)€" ?

Dans l'absolu, ça ne me pose pas de problème. Et je ne vais pas dire à un élève qui écrit ceci qu'il raconte n'importe quoi.

Mais si on se place au point de vue d'une progression intelligible par des élèves de primaire lambda, je préfère passer par une écriture du style : 13 euros par sachet X 4 sachets = 52 euros. Et ceci pour les raisons données dans l'article du bouquin de Chatelet cité dans le premier message du topic.

Je suis d'accord avec toi, dans l'absolu.
Mais ce que je crois : il n'y a pas de méthodes universelles. Et l'implicite est à bannir.

Je serrais assez d'accord avec toi et Chatelet, si vous étiez un peu moins intégriste.

Une méthode c'est bien, la croire universelle relève du délire.

verdurin a écrit:Je suis d'accord avec toi, dans l'absolu.
Mais ce que je crois : il n'y a pas de méthodes universelles. Et l'implicite est à bannir.

Je serrais assez d'accord avec toi et Chatelet, si vous étiez un peu moins intégriste.

Une méthode c'est bien, la croire universelle relève du délire.

Je ne comprends pas :

- En quoi y a-t-il de l'implicite dans cette notation ?

- Il n'y a certes pas de méthode universelle, mais il y a peut-être des méthodes meilleures que d'autres pour traiter tel ou tel objet.
Je suis tout à fait disposé à écouter et à discuter des arguments montrant en quoi la progression de Chatelet n'est pas bonne ou n'est pas la meilleure ou est fausse.
Dans l'état actuel de mes connaissances, je trouve que ses idées sont très bonnes et susceptibles de fournir un très bon enseignement des maths au primaire permettant de passer progressivement du concret à l'abstrait en comprenant autant que faire se peut à ce niveau ce qu'on fait.

-

Je serais assez d'accord avec toi et Chatelet, si vous étiez un peu moins intégriste.

La qualité, l'aspect de celui qui énonce qqch n'augure pas trop, il me semble, de la vérité ou de la fausseté de son propos, sauf peut-être concernant des affaires morales ou esthétiques. "Je suis l'ami de Platon, mais plus encore de la vérité." (ou qqch dans le genre)

Je suis entièrement d'accord avec Spinoza sur le fait qu'il est important, du point de vue du sens, de préconiser 13 € x 4 sachets, dans le cas qui nous occupe, puisque nous cherchons un prix en euros.
Bien sûr, cette distinction est dans doute moins importante, voire insignifiante, pour un élève plus avancé, mais au primaire, les élèves doivent avancer en terrain sûr pour bâtir solidement leurs connaissances. Le sens de la multiplication dans un problème n'est pas indifférent, en tout cas dans la présentation des données, même si les élèves savent bien que 13 x 4 = 4 x 13 parce que la multiplication est commutative.

Clarinette a écrit:Je crois que je bute ici sur mes limites conceptuelles. Pour nous, au primaire, les nombres sont justement étroitement reliés à la réalité concrète qu'ils représentent.Les équations, c'est au collège, et j'ai peur qu'il soit prématuré d'expliquer à un élève de 10 ans que les nombres n'ont pas de signification.

Il nous arrive pourtant bien souvent (enfin à moi, du moins) de travailler uniquement sur les nombres, en dehors de toute unité concrète.
Ainsi quand on fait des exos de systématisation : 42 = (. x 5) + . par exemple. Ce sont des équations...

Très vite, je me détache des problèmes concrets pour créer de purs automatismes de calcul.
Pas bien ?

Si, bien sûr, cette manipulation systématique des nombres est primordiale, mais la question portait ici précisément sur la résolution de problèmes.

Clarinette a écrit:Je suis entièrement d'accord avec Spinoza sur le fait qu'il est important, du point de vue du sens, de préconiser 13 € x 4 sachets, dans le cas qui nous occupe, puisque nous cherchons un prix en euros.
Bien sûr, cette distinction est dans doute moins importante, voire insignifiante, pour un élève plus avancé, mais au primaire, les élèves doivent avancer en terrain sûr pour bâtir solidement leurs connaissances. Le sens de la multiplication dans un problème n'est pas indifférent, en tout cas dans la présentation des données, même si les élèves savent bien que 13 x 4 = 4 x 13 parce que la multiplication est commutative.

"13 € x 4 sachets" : je pense que ce n'est pas bon. "sachets" me paraît en trop.

Les possibilités, mais j'en ai peut-être oublié, me semblent être :

a) on prend le parti pris de ne pas mettre les "unités" dans les formules :
a1) écrire indifféremment 13 X 4 ou 4 X 13
a2) même cas de figure que pour b2 et c2 (voir ci-dessous). Les unités sont sous-entendues. L'élève doit les garder à l'esprit quand il écrit de telles formules.

b) on ne note dans le calcul que les unités du multiplicande (le multiplicateur est toujours compris seulement abstraitement comme un nombre de fois)
b1) soit indifféremment 13 euros X 4 ou 4 X 13 euros
b2) soit, si on précise que conventionnellement, dans la classe ou dans l'école, (mettant entre parenthèses la commutativité dans un but pédagogique) l'ordre des facteurs doit être noté d'une certaine façon : 2 cas de figure dans le cas d'une multiplication à deux facteurs :
i - le multiplicande doit être noté en premier : 13 euros X 4 --> se lit "13 euros multiplié par 4" ou "13 euros que multiplie 4"
ii - le multiplicande doit être noté en dernier (ou plutôt le multiplicateur, le nombre de fois doit être noté en premier) : 4 X 13 euros --> se lit "4 fois 13 euros"

c) on note les "unités" du multiplicande et du multiplicateur (cf. chapitre "L'enseignement du système métrique" http://michel.delord.free.fr/chatelet/chatelet-arithm.html le site ne marchait pas tout à l'heure ; je dupliquerai le fichier après ce post)
c1) soit indifféremment "13 euros par sachet X 4 sachet" ou "4 sachets X 13 euros par sachet"
c2) soit , si on précise que conventionnellement, dans la classe ou dans l'école, (mettant entre parenthèses la commutativité dans un but pédagogique) l'ordre des facteurs doit être noté d'une certaine façon : 2 cas de figure dans le cas d'une multiplication à deux facteurs :
i - le multiplicande doit être noté en premier : 13 euros par sachet X 4 sachets --> "X" se lit "multiplié par" ou "que multiplie"
ii - le multiplicande doit être noté en dernier (ou plutôt le multiplicateur, le nombre de fois doit être noté en premier) : 4 sachets X 13 euros par sachet --> "X" se lit "fois".

La possibilité c2ii est jugée supérieure pour l'enseignement en élémentaire par Chatelet. A-t-il raison ? A-t-il tort ? En tout cas, il a de solides raisons.

Clarinette a écrit:Si, bien sûr, cette manipulation systématique des nombres est primordiale, mais la question portait ici précisément sur la résolution de problèmes.

Ah OK, j'ai rien compris, alors. Je pensais que tu affirmais que l'équation pour l'équation ne concernait pas l'élémentaire.

Et pour être tout à fait sincère, je ne tiens aucun compte de l'ordre des nombres dans la multiplication : pour moi, 4X12 est exactement la même chose que 12X4, dans la mesure où je fais la distinction entre l'étape de calcul et la situation artificiellement concrète dans laquelle il est nécessaire.

Question subsidiaire : En quelle année est appris le mot "commutativité"? primaire ? collège ? lycée ? supérieur ?
Les élèves savent que 4x13 = 13x4 mais ne connaissent pas le nom de la propriété, quel dommage.

Spinoza1670 a écrit:

Clarinette a écrit:Je suis entièrement d'accord avec Spinoza sur le fait qu'il est important, du point de vue du sens, de préconiser 13 € x 4 sachets, dans le cas qui nous occupe, puisque nous cherchons un prix en euros.
Bien sûr, cette distinction est dans doute moins importante, voire insignifiante, pour un élève plus avancé, mais au primaire, les élèves doivent avancer en terrain sûr pour bâtir solidement leurs connaissances. Le sens de la multiplication dans un problème n'est pas indifférent, en tout cas dans la présentation des données, même si les élèves savent bien que 13 x 4 = 4 x 13 parce que la multiplication est commutative.

"13 € x 4 sachets" : je pense que ce n'est pas bon. "sachets" me paraît en trop.

Les possibilités, mais j'en ai peut-être oublié, me semblent être :

a) on prend le parti pris de ne pas mettre les "unités" dans les formules :
a1) écrire indifféremment 13 X 4 ou 4 X 13
a2) même cas de figure que pour b2 et c2 (voir ci-dessous). Les unités sont sous-entendues. L'élève doit les garder à l'esprit quand il écrit de telles formules.

b) on ne note dans le calcul que les unités du multiplicande (le multiplicateur est toujours compris seulement abstraitement comme un nombre de fois)
b1) soit indifféremment 13 euros X 4 ou 4 X 13 euros
b2) soit, si on précise que conventionnellement, dans la classe ou dans l'école, (mettant entre parenthèses la commutativité dans un but pédagogique) l'ordre des facteurs doit être noté d'une certaine façon : 2 cas de figure dans le cas d'une multiplication à deux facteurs :
i - le multiplicande doit être noté en premier : 13 euros X 4 --> se lit "13 euros multiplié par 4" ou "13 euros que multiplie 4"
ii - le multiplicande doit être noté en dernier (ou plutôt le multiplicateur, le nombre de fois doit être noté en premier) : 4 X 13 euros --> se lit "4 fois 13 euros"

c) on note les "unités" du multiplicande et du multiplicateur (cf. chapitre "L'enseignement du système métrique" http://michel.delord.free.fr/chatelet/chatelet-arithm.html le site ne marchait pas tout à l'heure ; je dupliquerai le fichier après ce post)
c1) soit indifféremment "13 euros par sachet X 4 sachet" ou "4 sachets X 13 euros par sachet"
c2) soit , si on précise que conventionnellement, dans la classe ou dans l'école, (mettant entre parenthèses la commutativité dans un but pédagogique) l'ordre des facteurs doit être noté d'une certaine façon : 2 cas de figure dans le cas d'une multiplication à deux facteurs :
i - le multiplicande doit être noté en premier : 13 euros par sachet X 4 sachets --> "X" se lit "multiplié par" ou "que multiplie"
ii - le multiplicande doit être noté en dernier (ou plutôt le multiplicateur, le nombre de fois doit être noté en premier) : 4 sachets X 13 euros par sachet --> "X" se lit "fois".

La possibilité c2ii est jugée supérieure pour l'enseignement en élémentaire par Chatelet. A-t-il raison ? A-t-il tort ? En tout cas, il a de solides raisons.

Je ne comprends pas comment on pourrait très concrètement (et pas simplement dans l'absolu) calculer si on mettait la commutativité de côté, comme l'a sous-entendu Verdurin.

En effet :
y € X N n'est pas calculable sans commutativité, car il faut passer (même implicitement) par : y € X n = y € n = yn € = (yn) €
Ainsi, 13 € X 4 n'est pas calculable sans passer par : 13 € X 4 = (13 X 4) € = 52 €. Sans cette étape intermédiaire de commutation, le résultat 52 n'est pas calculable.

Exact. Il faut reprendre tout le raisonnement.

Mais franchement, qu'importent les unités ?

La représentation des problèmes multiplicatifs se fait par le passage du cas particulier (le problème), à un schème (je ne sais pas si c'est le terme exact : une fonction ?) invariant : une même quantité est présente en plusieurs exemplaires.

Je pense au contraire qu'il est nécessaire de se détacher momentanément de cette situation - qui parle d'euros ou de mètres ou de cacahuètes- pour effectuer un calcul, et ne considérer que les nombres.

De même pour la division : si on arrive à mettre en équation un problème de type "Il y a 120 invités à répartir sur des tables de 8 : combien de tables ?" de la façon suivante : 120 = (. x 8) + ., on peut ensuite procéder à l'opération appropriée. La division ne vient pas spontanément à l'esprit, je trouve, quand il ne s'agit pas d'un partage équitable...

Pardonnez-moi si je m'éloigne.

mathmax a écrit:C'est bizarre, cette histoire d'unité, c'était très mal vu de les écrire dans les calculs il y a une dizaine d'années, et puis maintenant il me semble qu'on en a à nouveau "le droit", ou alors je me suis émancipée. C'était, à mon sens, un excès de purisme.

Dire que c'était - c'est encore !! - très mal vu est un euphémisme. Je me souviens avoir poussé une gueulante il y a moins de 10 ans après avoir constaté que mes élèves avaient été sanctionnés dans un bac blanc de sciences physiques pour avoir utilisé les unités dans les calculs, chose que je pratique depuis l'an pèbre. "Argument" avancé : "ça ne se fait pas". Fureur noire devant la Khonnerie pure... Le plus curieux est que les plus résistants à l'usage des unités explicitées dans les calculs ne sont pas, en général, les matheux mais les profs de sciences physiques et svt. Attitude pavlovienne acquise depuis le plus jeune age, probablement.

Ceci dit, nos collègues matheux charibotent avec cette histoire de commutativité : on ne peut impunément tout à la fois farcir ses maths de pseudo-réel et dégoiser sur les "nombres purs".

Qui osera soutenir que 13 objets x 4 €/objet signifie exactement la même chose que 4 objets x 13 €/objet ? Si les objets sont identiques mais vendus à des prix différents, je comprends que certains matheux aient des fins de mois difficiles vu le prix des sachets de nouilles qu'ils achètent par nécessité pour nourrir leur maigre corps malade entre deux journées de cours.

Résultat des courses, un invariant : je constate tous les ans, en début de seconde, qu'aucun élève ne sait qu'on peut calculer sur les unités. C'est ainsi que le calcul d'une durée de parcours à vitesse uniforme se maltraite aussi bien avec t=d/v, t=Vxd et t=v/d.

Brillante réussite ...

J'ai oublié de préciser que le calcul de la durée aurait pu inspirer un "créateur" de sujet de DNB :

Question : "quelle est la probabilité pour qu'un élève sortant de 3ème choisisse la bonne expression pour calculer la durée d'un trajet parcouru à vitesse constante ?"

Réponse correcte attendue : 1/3 ...

Lovizôle a écrit:Mais franchement, qu'importent les unités ?

La représentation des problèmes multiplicatifs se fait par le passage du cas particulier (le problème), à un schème (je ne sais pas si c'est le terme exact : une fonction ?) invariant : une même quantité est présente en plusieurs exemplaires.

Je pense au contraire qu'il est nécessaire de se détacher momentanément de cette situation - qui parle d'euros ou de mètres ou de cacahuètes- pour effectuer un calcul, et ne considérer que les nombres.

De même pour la division : si on arrive à mettre en équation un problème de type "Il y a 120 invités à répartir sur des tables de 8 : combien de tables ?" de la façon suivante : 120 = (. x 8) + ., on peut ensuite procéder à l'opération appropriée. La division ne vient pas spontanément à l'esprit, je trouve, quand il ne s'agit pas d'un partage équitable...

Pardonnez-moi si je m'éloigne.

Lovizôle, relis l'article REMARQUES SUR L'ENSEIGNEMENT DE LA MULTIPLICATION ET DE LA DIVISION. Ce n'est pas possible d'arriver à ce point de la discussion et de sortir "franchement, qu'importe les unités (c'est moi qui rajoute le bonhomme) ?" comme si l'on n'avait rien dit dans ce topic avant et comme si l'auteur n'avait pas tenté de montrer par a plus b pourquoi il était très intéressant de noter les unités dans les calculs . Ca ne se fait pas.
Mais sinon, content de te voir participer à cette discussion qui risque d'être passionnante.

Ah mais c'est juste mon avis. Pour moi, aucun intérêt de noter les unités dans les calculs, pour la simple raison que ce sont des calculs.

Lovizôle a écrit:Ah mais c'est juste mon avis. Pour moi, aucun intérêt de noter les unités dans les calculs, pour la simple raison que ce sont des calculs.

Maintenant, il faut définir calcul. On n'a pas fini.
Je comprends ton avis. C'est ce que je pensais avant, maintenant je n'en suis plus aussi sûr.
"4a/b X 13b = 52a" est-il un calcul ?

Je suis pour mettre les unités dans les problèmes quand ils écrivent en ligne leurs opérations ainsi les élèves ne perdent pas le fil de leur raisonnement.

Mais on fait comment pour mes invités et mes tables ?

120 invités divisé(s ?) par 8 invités = x tables ?