Questions de maths

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Al a écrit:Est-ce que vous auriez des exemples pas trop compliqués de parties de l'univers des possibles pour lesquelles il est impossible d'attacher une probabilité?

Je ne suis pas sûr de comprendre ta question, mais je vais faire une proposition. En fait, pour avoir une probabilité, il faut une modélisation. Le problème c'est qu'une modélisation n'est pas forcément évidente.

On va faire un petit jeu. Pense à nombre entier. Note-le.
Je vais penser à un nombre entier de mon côté, et on va voir quelle est la probabilité que nous tombions sur le même nombre.

Spoiler:

Mais j'ignore si j'ai vraiment répondu à ta question.

Al a écrit:J'ouvre un sujet dans la section adéquate pour ne pas "intimider" () nos collègues littéraires avec tous nos termes et symboles mathématiques dans le sujet "aujourd'hui je râle" (même si c'est très amusant).

1ère série de questions (je pense que j'en aurai beaucoup d'autres).

Est-ce que vous auriez des exemples pas trop compliqués de parties de l'univers des possibles pour lesquelles il est impossible d'attacher une probabilité?
Faut-il, comme je l'ai lu quelque part, que l'univers des possibles soit non dénombrable?
Y a-t-il une différence entre un événement et une partie de l'univers des possibles (lu là aussi quelque part): en gros, une partie de l'univers des possibles peut-elle ne pas être un événement?

Je ne râle pas mais, bien que les mots soient français, je ne comprends rien.

Pour définir une probabilité il faut un univers et une tribu de cet univers.
Si tu prends une partie de l'univers qui n'est pas dans la tribu, elle n'a pas de probabilité.
Mais je ne crois pas que ce soit ta question.
Si tu veux que l'ensemble des parties ne convienne pas comme tribu, je crois aussi qu'il faut passer au non dénombrable.

Vive les boréliens !

Merci pour vos réponses!

Effectivement, la modélisation peut poser problème. Ton exemple, JPhMM, est plus clair que ceux que j'ai rencontrés.

Derborence, tu te fais du mal! Mais les notions qui se cachent derrière ces termes étranges ne sont pas si compliquées que ça!

Fan des boréliens verdurin?

Pour revenir à mon problème de partie sans probabilité, voilà ce que j'ai lu dans un cours:

On considère un cercle oméga de longueur 1. On ramène à la même classe d'équivalence les points du cercle qui coïncident par rotation du cercle oméga d'un angle naPi où a est un irrationnel donné et n un entier quelconque. Une classe d'équivalence de ce type est dense dans oméga mais, comme elle ne contient qu'une infinité dénombrable de points, elle n'épuise pas, à elle seule, tous les points de oméga. En revanche, tous les points de oméga appartiennent à une et une seule classe d'équivalence. Il y a par conséquent une infinité continue de classes d'équivalence.
On fait maintenant appel à l'axiome du choix afin de construire l'ensemble Phi_0 contenant un point de chaque classe. On veut démontrer qu'il est impossible d'affecter à Phi_0 une probabilité.
On remarque que si on fait tourner une classe d'équivalence d'un angle naPi alors la classe d'équivalence reste invariante, mais aucun point de la classe ne coïnciede avec lui-même.
On construit les ensembles Phi_n obtenus par rotation de Phi_0 d'un angle naPi où cette fois n appartient à Z. Il est clair que les Phi_n sont deux à deux disjoints car on n'a qu'un point dans chaque classe d'équivalence et que par rotation ce point coïncide avec un point de la classe qui n'a pas été choisi. Par ailleurs, un point quelconque de oméga appartient à un Phi_n puisque les Phi_n parcourent tous les membres de toutes les classes. Tout ceci signifie que les Phi_n constituent une partition dénombrable de oméga.
Si la probabilité de Phi_n avait un sens, on aurait en vertu de la sigma-additivité de la mesure de Lebesgue:
porbabilité de oméga = somme de - l'infini à + l'infini des probabilités des Phi_n
Par ailleurs, la mesure de Lebesgue sur un cercle est invariante par rotation d'où proba de Phi_n = proba de Phi_0.
Alors de deux choses l'une: soit proba de Phi_0 =0 mais alors proba de oméga=0; soit proba de Phi_0 >0 et alors proba de oméga = infini. Donc proba de Phi_n n'a pas de sens.

Ben, je n'ai rien compris!

Il s'agit d'une construction d'un ensemble de points du cercle non mesurable pour la mesure de Lebesgue sur le cercle.

Je vais essayer d'expliquer tout ça, mais je ne garantis rien.

Quand, dans la suite, je parle de rotation, son centre est le centre du cercle.

On choisit l'angle alpha=pi/racine(2) (par exemple). racine(2) étant irrationnel, si tu pars d'un point du cercle, et si tu le fais tourner de alpha, 2alpha,..., et -alpha, -2alpha, etc...., tu n'obtiendras jamais deux fois le même point.

On regroupe les points par "paquets", en mettant deux points dans un même ensemble à condition qu'on puisse passer de l'un à l'autre par une rotation d'angle n*alpha, où n est entier.

On va obtenir une infinité non dénombrable d'ensembles E, deux à deux disjoints, mais tout point du cercle appartiendra à l'un de ces ensembles : autrement dit, on a créé une partition du cercle.

Maintenant, on construit l'ensemble phi(0) en choisissant un point dans chacun de ces fameux ensembles. L'"axiome du choix", dont il est question dans le texte, dit que c'est possible.

Puis on construit, pour chaque entier relatif n, l'ensemble phi(n) comme image de phi(0) par la rotation d'angle n*alpha.

Chaque point du cercle appartient à exactement un ensemble phi(n) : il appartient à l'un des ensembles E et on peut passer de n'importe quel point d'un ensemble E donné à un point de phi(0) par une rotation d'angle (un entier)*alpha.

On va maintenant prouver que phi(0) n'est pas mesurable pour la mesure de Lebesgue sur le cercle-unité.

S'il l'était, les ensembles phi(n) le seraient aussi, et auraient la même mesure, m, que phi (0).

Mais alors, comme ils sont en quantité dénombrable, disjoints et leur réunion est la totalité du cercle, la série de leurs mesures aurait pour somme 2*pi (mesure du cercle), ce qui est impossible pour une série de terme général constant.

Ouf...

N.B. : si le rapport alpha/pi était rationnel, on n'obtiendrait à la fin qu'un nombre fini d'ensemble phi(n) différents, et la construction ne marcherait plus.

Filnydar a écrit:Ouf...

Comme tu dis.
L'usage de l'axiome du choix dans une démonstration me grattouille toujours un peu... parce que cet axiome me gêne, bien entendu.

JPhMM a écrit:

Filnydar a écrit:Ouf...

Comme tu dis.
L'usage de l'axiome du choix dans une démonstration me grattouille toujours un peu... parce que cet axiome me gêne, bien entendu.

Je suis bien d'accord.

C'est déjà plus clair!!! Merci!

Par contre, je n'arrive pas à voir quelle est l'hypothèse qui "fait tout planter".

En gros j'ai l'impression que ça revient à dire qu'une base de R considéré comme espace vectoriel sur Q n'est pas mesurable au sens de Lebesque, ni d'ailleurs dans aucun sens raisonnable.
Ce qui est assez bien connu : sauf erreur de ma part on peut nier l'axiome de choix généralisé, tout en conservant l'axiome de choix dénombrable, et le remplacer par : «toute partie de R est mesurable au sens de Lebesque», soit en d'autres termes toutes les parties de R sont des boréliens. Ce que je trouve un peu choquant, mais c'est sans doute parce que j'ai été élevé comme ça. Tu peux essayer de faire des recherches sur bases de Hamel

En ce qui concerne le texte que tu cites :
Il prend un cercle pour borner les éléments de l'ensemble et éviter les problèmes liés à l'infini au sens courant, le complété projectif de R est d'une certaine façon plus simple. Les notations sont assez pénibles, dommage qu'il n'y ai pas de LaTeX ici.
Il me semble qu'il y a des erreurs liés à une confusion entre pi et phi.
Mais je n'ai pas vraiment le courage d'essayer de le traduire. Si tu as un lien vers un texte correct, je peux essayer, si je le comprends, de te l'expliquer.

Ceci étant il me semble qu'en gros l'idée est la suivante : on exprime la probabilité de l'univers comme somme dénombrable de probabilités égales.
Et, comme l'a fait remarquer JPhMM il n'y a pas de probabilité uniforme sur N

Désolée, j'ai tiré ce texte d'un poly de cours. J'ai eu un mal fou à le recopier. Il y a peut-être des erreurs.

C'est vrai qu'un éditeur de formules manque cruellement à ce forum

Al a écrit:Désolée, j'ai tiré ce texte d'un poly de cours. J'ai eu un mal fou à le recopier. Il y a peut-être des erreurs.

C'est vrai qu'un éditeur de formules manque cruellement à ce forum

Tada !

https://www.neoprofs.org/t32895-inserer-des-formules-mathematiques-et-des-courbes-dans-le-forum#782406

L'idéal serait de pouvoir poser des balises LaTeX et y insérer du code.

En effet.

Une question qui n'a pas de rapport avec la théorie:
est-ce qu'un charmant ou une charmante professeur de maths accepterait de jeter un coup d’œil à mes exercices de TD pour me dire ce qu'il en pense?

Al, envoie- les moi, je vais les montrer à mon copain (prof de maths aussi et plus spécialiste que moi )

Tinkerbell a écrit:Al, envoie- les moi, je vais les montrer à mon copain (prof de maths aussi et plus spécialiste que moi )

Tu peux m'envoyer ton adresse mail?

Je suis en train de rédiger un chapitre sur les vecteurs aléatoires. Pour l'instant, j'en suis aux couples de variables aléatoires.

Est-ce que vous pensez qu'il est indispensable de parler de probabilité conditionnelle (sachant que le cas variable continue n'est pas simple)?

Je n'ai pas parlé de probabilité conditionnelle. Pas le temps et trop compliqué.

Une autre question:
Comment démontrez-vous que la loi multinomiale (de paramètre p) tend vers une loi du khi2 à p-1 degrés de liberté?
J'ai lu des démonstrations à coup d'inversion de la matrice des variances-covariances et je trouve ça très compliqué vu le nombre de propriétés qu'il faut démontrer avant...

Al a écrit:Une autre question:
Comment démontrez-vous que la loi multinomiale (de paramètre p) tend vers une loi du khi2 à p-1 degrés de liberté?
J'ai lu des démonstrations à coup d'inversion de la matrice des variances-covariances et je trouve ça très compliqué vu le nombre de propriétés qu'il faut démontrer avant...

Pas mieux.
Désolé.

Bonsoir,
j'ai lu, il y a longtemps, le livre de Hartong.
Si mes souvenirs sont bons il y a au moins une esquisse de démonstration élémentaire dedans.
En tout cas c'est une lecture que je trouve intéressante.
Voici un lien vers ce livre.