Problème de probabilité

Finrod a écrit:@Not a Panda  :

Non il n'y a pas besoin d'égalité entre P(X=1) et P(Y=1), on peut voir une convergence en loi de la Bernoulli 1_{Y=1} vers la bernoulli 1_{X=1}

La question se poserais effectivement en complément de l'énoncé, pour les autres valeurs Y=2 etc... ce qui permettrait de conclure à une convergence en loi de Y vers X (si tant est que l’échantillon sous-jacent soit supposé pouvoir varier, sinon on parle de simple approximation)

Le sujet tient la route même s'il est très superficiel et il est cohérent.

l'affirmation "Cette affirmation vous parait-elle compatible avec un loi de Benford" est suffisamment précise pour ne rien affirmer qui soit faux.

Je ne suis toujours pas convaincu. Qu'appelles-tu Bernoulli 1_{Y=1} et bernoulli 1_{X=1} ? Et où vois-tu une suite de loi de probabilité dans l'énoncé tel qu'il est posé ?

L'hypothèse la plus simple reste que l'auteur attendait ici qu'on détermine l'intervalle de fluctuation pour p=ln(2)/ln(10) et n=36677, puis qu'on vérifie si f=11094/36677 appartient bien à l'intervalle...Sauf qu'il n'y a pas d'échantillon, ni d'expérience aléatoire, ni de variable aléatoire ici. La fréquence des communes dont la population commence par 1 est de 11094/36677 de manière certaine.

En définitive, même si ce n'est celle attendue en pratique, la réponse ln(2)/ln(10) différent de 11094/36677 donc la probabilité que le premier chiffre d'une commune soit égale à 1 ne suit pas la loi de Benford (pas loin, mais pas exactement) me semble la réponse rigoureuse logiquement ici, si on cherche la petite bête.

Sinon, un détail amusant concernant l'exercice 1.

On modélise le temps de passage à une caisse non-automatique par une loi uniforme à valeur dans [0:12]. Et si le client n'est pas passé au bout de douze minutes, qu'est-ce qu'il se passe ? Le responsable du magasin vient le voir et lui dit "monsieur, vous avez dépassé le temps limite, je vais vous faire passer tout de suite" ?

Pour une caisse automatique, on modélise le temps par une loi normale d'espérance mu=5...Cela donne une probabilité non nulle (faible, mais non nulle) que le temps d'attente soit strictement négatif.

Pour l'instant, la meilleure synthèse me semble celle de Moonchild.

Moonchild a écrit:Quelques années plus tard, on peut constater que la situation est parfaitement sous contrôle : ce sont les profs de maths qui se chargent de traiter n'importe comment les probabilités et les statistiques.

Prezbo a écrit:[ . . . ]
Sinon, un détail amusant concernant l'exercice 1.

On modélise le temps de passage à une caisse non-automatique par une loi uniforme à valeur dans [0:12]. Et si le client n'est pas passé au bout de douze minutes, qu'est-ce qu'il se passe ? Le responsable du magasin vient le voir et lui dit "monsieur, vous avez dépassé le temps limite, je vais vous faire passer tout de suite" ?
[ . . . ]

Je dirais que l'événement « le client n'est pas passé au bout de douze minutes » est vide, par définition.

verdurin a écrit:

Prezbo a écrit:[ . . . ]
Sinon, un détail amusant concernant l'exercice 1.

On modélise le temps de passage à une caisse non-automatique par une loi uniforme à valeur dans [0:12]. Et si le client n'est pas passé au bout de douze minutes, qu'est-ce qu'il se passe ? Le responsable du magasin vient le voir et lui dit "monsieur, vous avez dépassé le temps limite, je vais vous faire passer tout de suite" ?
[ . . . ]

Je dirais que l'événement « le client n'est pas passé au bout de douze minutes » est vide, par définition.

Mathématiquement, certes. Mais tu auras compris que mes critiques portait sur la vraisemblabilité du modèle.

La vraisemblance ?

PauvreYorick a écrit:La vraisemblance ?

Ah oui, pardon.

Prezbo a écrit:

Je ne suis toujours pas convaincu. Qu'appelles-tu Bernoulli 1_{Y=1} et bernoulli 1_{X=1} ?

La variable aléatoire indicatrice d'un événement, valant 1 si l’événement se produit et 0 sinon, est une variable de Bernoulli.

Prezbo a écrit:

Et où vois-tu une suite de loi de probabilité dans l'énoncé tel qu'il est posé ?

Il n'y en a pas dans l'énoncé. Mais c'est une énoncé de statistique : on te présente une réalisation de l'expérience. Or pour modéliser cette expérience, on considère une suite de n variables aléatoires mutuellement indépendantes de même loi et on étudie le comportement de l'estimateur dépendant de ces variables.

Le lien avec l'énoncé est que pour n=nbr communes,  on connait la valeur de la réalisation de l'estimateur.

L'estimateur en jeu ici est l'estimateur de la moyenne de la suite de variable de Bernoulli 1_{X_i=1} où X_i est le premier chiffre du nombre d'habitants de la commune i

On ne peut pas faire de statistique sans comprendre qu'il y a deux niveaux d'analyse : le modèle probabiliste théorique  et l'étude  pour l’échantillon donné des réalisations concrètes obtenues. (Par exemple la réalisation de l'estimateur de la moyenne d'une suite de va est appelée moyenne empirique, l'estimateur de la moyenne est l'objet théorique, la moyenne empirique est sa valeur pour l'échantillon. )

Prezbo a écrit:

L'hypothèse la plus simple reste que l'auteur attendait ici qu'on détermine l'intervalle de fluctuation pour p=ln(2)/ln(10) et n=36677, puis qu'on vérifie si f=11094/36677 appartient bien à l'intervalle...Sauf qu'il n'y a pas d'échantillon, ni d'expérience aléatoire, ni de variable aléatoire ici. La fréquence des communes dont la population commence par 1 est de 11094/36677 de manière certaine.

En définitive, même si ce n'est celle attendue en pratique, la réponse ln(2)/ln(10) différent de 11094/36677 donc la probabilité que le premier chiffre d'une commune soit égale à 1 ne suit pas la loi de Benford (pas loin, mais pas exactement) me semble la réponse rigoureuse logiquement ici, si on cherche la petite bête.

Les statisticiens ne raisonnent pas comme les mathématiciens. Ils sont plus proches de la physique pour certains aspect. En l'occurrence, le modèle mathématique qui te manque est sous-entendu et les formules du cours s’appliquent sans ambiguïtés.
Dans un problème statistique il n'y a jamais de variable aléatoire, c'est au statisticien de choisir le modèle théorique qui lui permettra de modéliser et étudier l'expérience. les élèves de Lycée ne connaissant qu'un seul modèle...  ils n'ont qu'à appliquer leur cours.

Prezbo a écrit:
Sinon, un détail amusant concernant l'exercice 1.

On modélise le temps de passage à une caisse non-automatique par une loi uniforme à valeur dans [0:12]. Et si le client n'est pas passé au bout de douze minutes, qu'est-ce qu'il se passe ? Le responsable du magasin vient le voir et lui dit "monsieur, vous avez dépassé le temps limite, je vais vous faire passer tout de suite" ?

Pour une caisse automatique, on modélise le temps par une loi normale d'espérance mu=5...Cela donne une probabilité non nulle (faible, mais non nulle) que le temps d'attente soit strictement négatif.

Ce sont des modélisations, donc imparfaites. Cela n'a rien de choquant mathématiquement parlant, bien qu'on puisse discuter de l’intérêt pédagogique de tel ou tel choix.

Et je dis ça, j'ai une formation en Algèbre théorique, théorie des catégories et en probabilités théoriques, je ne suis pas un grand amateur de statistiques.

Finrod a écrit:

Prezbo a écrit:

Je ne suis toujours pas convaincu. Qu'appelles-tu Bernoulli 1_{Y=1} et bernoulli 1_{X=1} ?

La variable aléatoire indicatrice d'un événement, valant 1 si l’événement se produit et 0 sinon, est une variable de Bernoulli.

Je sais ce qu'est une loi de Bernoulli, merci.  

C'est la notation Bernoulli 1_{Y=1} que je trouvais un peu étrange.

Finrod a écrit:

Prezbo a écrit:
Et où vois-tu une suite de loi de probabilité dans l'énoncé tel qu'il est posé ?

Il n'y en a pas dans l'énoncé. Mais c'est une énoncé de statistique : on te présente une réalisation de l'expérience. Or pour modéliser cette expérience, on considère une suite de n variables aléatoires mutuellement indépendantes de même loi et on étudie le comportement de l'estimateur dépendant de ces variables.

Le lien avec l'énoncé est que pour n=nbr communes,  on connait la valeur de la réalisation de l'estimateur.

L'estimateur en jeu ici est l'estimateur de la moyenne de la suite de variable de Bernoulli 1_{X_i=1} où X_i est le premier chiffre du nombre d'habitants de la commune i

On ne peut pas faire de statistique sans comprendre qu'il y a deux niveaux d'analyse : le modèle probabiliste théorique  et l'étude  pour l’échantillon donné des réalisations concrètes obtenues. (Par exemple la réalisation de l'estimateur de la moyenne d'une suite de va est appelée moyenne empirique, l'estimateur de la moyenne est l'objet théorique, la moyenne empirique est sa valeur pour l'échantillon. )

Et donc, l’espérance de ta moyenne de la suite de variable de Bernoulli va bien tendre vers f=11094/36677, la fréquence théorique des communes dont la population commence par 1, et pas vers ln(2)/ln(10).

Mais de toute façon, quelle est l'intérêt de prendre un échantillon des communes françaises alors que l'on connaît déjà la fréquence recherchée pour l'ensemble de la population ? L'intérêt de l'échantillonnage, c'est justement d'estimer une fréquence inconnue.

Je maintiens que la seule chose rigoureuse à dire sur cet énoncé à en définitive été dites dès le début par Ben : 11094/36677 est proche de ln(2)/ln(10), donc la loi de Benford donne une approximation satisfaisante, mais pas exacte, de la fréquence du nombre de commune dont la population commence par un. Tout le reste est fondée sur de joyeuses confusions sur les notions d'échantillons et d'intervalles de fluctuation.

Finrod a écrit:

Prezbo a écrit:
Sinon, un détail amusant concernant l'exercice 1.

On modélise le temps de passage à une caisse non-automatique par une loi uniforme à valeur dans [0:12]. Et si le client n'est pas passé au bout de douze minutes, qu'est-ce qu'il se passe ? Le responsable du magasin vient le voir et lui dit "monsieur, vous avez dépassé le temps limite, je vais vous faire passer tout de suite" ?

Pour une caisse automatique, on modélise le temps par une loi normale d'espérance mu=5...Cela donne une probabilité non nulle (faible, mais non nulle) que le temps d'attente soit strictement négatif.

Ce sont des modélisations, donc imparfaites. Cela n'a rien de choquant mathématiquement parlant, bien qu'on puisse discuter de l’intérêt pédagogique de tel ou tel choix.

Oui, voilà. On peut en...discuter.

Prezbo a écrit:Mais de toute façon, quelle est l'intérêt de prendre un échantillon des communes françaises alors que l'on connaît déjà la fréquence recherchée pour l'ensemble de la population ? L'intérêt de l'échantillonnage, c'est justement d'estimer une fréquence inconnue.

Clair, à quoi servent les intervalles de confiance alors ? Principe des sondages etc ...

kaktus65 a écrit:

Prezbo a écrit:Mais de toute façon, quelle est l'intérêt de prendre un échantillon des communes françaises alors que l'on connaît déjà la fréquence recherchée pour l'ensemble de la population ? L'intérêt de l'échantillonnage, c'est justement d'estimer une fréquence inconnue.

Clair, à quoi servent les intervalles de confiance alors ? Principe des sondages etc ...

Les sondages correspondent justement au cas ou on fait une enquête sur un échantillon d'une population, et pas sur la population complète. Encore une fois ce n'est pas le cas pour cet exercice.

Cela tourne un peu au dialogue de sourd, là. J'ai l'impression que vous défendez la validité de méthode statistique, que je ne conteste pas, sans voir qu'elles ne s'appliquent pas à la situation proposée.

Cela dit, de toute façon,  les sondages d'opinion sont généralement réalisés avec la méthode des quotas et pas en utilisant des échantillons aléatoires. Autant dire que ça relève uniquement de la cuisine empirique, sans validité mathématique.

Prezbo a écrit:

Et donc, l’espérance de ta moyenne de la suite de variable de Bernoulli va bien tendre vers f=11094/36677, la fréquence théorique des communes dont la population commence par 1, et pas vers ln(2)/ln(10).

Tout dépend de l'expérience considérée...  

1 - Si on choisit des communes au hasard parmi les communes françaises tu as raison.  

2 - Mais on peut aussi considérer qu'il y a une expérience aléatoire plus général "choisir des communes dans le monde"  dont le paramètre est inconnu et dont le résultat de l'expérience est une réalisation concrète pour 36677 communes.

Plus généralement, en statistiques le paramètre estimé est inconnu et on ne peut jamais affirmer qu'il converge vers a ou b , on se contente de tester des hypothèses à l'aide d'intervalles de confiance ou de fluctuation. Dans l'expérience que je note 2,  f est la réalisation d'un estimateur dont on formule l'hypothèse qu'il converge vers ln(2)/ln(10), on obtient un résultat très proche de celui voulu, donc l'hypothèse selon laquelle le paramètre estimé est ln(2)/ln(10) est valide (à voir pour le risque correspondant).

Comme dans tout exo statistique, toutes les valeurs possibles de l'intervalle de confiance autour de f sont tout aussi valides...  mais elles présentent moins d’intérêt car elles ne proviennent pas d'un modèle théorique dont on cherche à tester la validité.


S'il y a bien une idée à retenir, c'est que faire des stats auprès d'élèves de Lycée est aberrant en termes d'abstraction.

Bon, en dehors des résultats les plus élémentaires, je suis plutôt de niveau "quiche" en statistique, mais en relisant bien cet énoncé j'ai vraiment l'impression qu'on ne peut pas donner une réponse mathématique sérieuse à la question posée avec les outils du lycée et que la démarche rigoureuse serait de faire un test d'adéquation à une loi, un truc genre khi² que je n'ai jamais étudié en détail et que je ne saurais même pas mettre en oeuvre (d'ailleurs est-ce qu'on peut faire un khi² à partir de l'observation d'une seule des valeurs possibles du caractère étudié ou bien est-ce qu'il faut un éventail un peu plus large ?).

Finrod a écrit:

Prezbo a écrit:

Et donc, l’espérance de ta moyenne de la suite de variable de Bernoulli va bien tendre vers f=11094/36677, la fréquence théorique des communes dont la population commence par 1, et pas vers ln(2)/ln(10).

Tout dépend de l'expérience considérée...  

1 - Si on choisit des communes au hasard parmi les communes françaises tu as raison.  

2 - Mais on peut aussi considérer qu'il y a une expérience aléatoire plus général "choisir des communes dans le monde"  dont le paramètre est inconnu et dont le résultat de l'expérience est une réalisation concrète pour 36677 communes.

Mais dans ta deuxième hypothèse, je serai tenté de faire l'objection déjà faite plus haut par Call_BB5A : tu n'as pas de population clairement définie (La notion de "commune" est-elle comprise de la même façon dans le monde entier ? Et dispose-t-on de recensement fiable de la population de toutes ces "communes" ?) et ton échantillon n'est pas déterminé de façon aléatoire...

Ce deuxième point en particulier n'est pas neutre : la France se caractérise par un nombre de communes particulièrement élevé par rapport aux pays comparables (environ 36 000 communes, contre 11 00 en Allemagne et 8 000 en Espagne ou Italie). On peut donc penser que choisir l'échantillon "commune française" se caractérise par un population moyenne des communes particulièrement basse...

(Mais de toute façon, je serais enté de penser que la condition "échantillon choisi aléatoirement" fait partie de ces conditions nécessaires à la validité des calculs mais rarement réalisable en pratique.)

Finrod a écrit:

S'il y a bien une idée à retenir, c'est que faire des stats auprès d'élèves de Lycée est aberrant en termes d'abstraction.

Là dessus, je suis bien d'accord. (Du moins, si on parle de statistiques inférentielles et de tests d'hypothèse.) J'ajouterai : beaucoup de collègues -moi inclus- étant plus ou moins auto-formés en ce domaine, on peut avoir des doutes sur la validité et la solidité de ce qui est enseigné. Jusqu'à arriver à ce que soit donné au baccalauréat des énoncés fortement discutables.

Finrod a écrit:Tout dépend de l'expérience considérée...  

1 - Si on choisit des communes au hasard parmi les communes françaises tu as raison.  

2 - Mais on peut aussi considérer qu'il y a une expérience aléatoire plus général "choisir des communes dans le monde"  dont le paramètre est inconnu et dont le résultat de l'expérience est une réalisation concrète pour 36677 communes.

Pour en revenir à la formulation utilisée dans l'exercice du bac ES, la population considérée est celle qu'on pourrait qualifier de "classes de nombres sociaux" (des ensembles thématiques de nombres échangés par les hommes).

De ce point de vue, la question 2 porte sur le choix aléatoire de la classe "population des communes françaises de 2016". Par conséquent si on veut parler d'échantillon, on doit considérer qu'il s'agit d'un échantillon de taille 1. L'autre interprétation, considérant une taille n = 36677, n'a pas lieu d'être car il ne s'agit pas d'un échantillon constitué aléatoirement ; il eut fallu pour cela que les nombres soient extraits des différentes classes.

L'utilisation de l'intervalle de fluctuation devrait s'avérer hors-sujet.

Prezbo a écrit:

Finrod a écrit:

S'il y a bien une idée à retenir, c'est que faire des stats auprès d'élèves de Lycée est aberrant en termes d'abstraction.

Là dessus, je suis bien d'accord. (Du moins, si on parle de statistiques inférentielles et de tests d'hypothèse.) J'ajouterai : beaucoup de collègues -moi inclus- étant plus ou moins auto-formés en ce domaine, on peut avoir des doutes sur la validité et la solidité de ce qui est enseigné. Jusqu'à arriver à ce que soit donné au baccalauréat des énoncés fortement discutables.

Je ne serais pas aussi catégorique : avec un énoncé clair, c'est faisable.

Call_BB5A a écrit:

Finrod a écrit:Tout dépend de l'expérience considérée...  

1 - Si on choisit des communes au hasard parmi les communes françaises tu as raison.  

2 - Mais on peut aussi considérer qu'il y a une expérience aléatoire plus général "choisir des communes dans le monde"  dont le paramètre est inconnu et dont le résultat de l'expérience est une réalisation concrète pour 36677 communes.

Pour en revenir à la formulation utilisée dans l'exercice du bac ES, la population considérée est celle qu'on pourrait qualifier de "classes de nombres sociaux" (des ensembles thématiques de nombres échangés par les hommes).

De ce point de vue, la question 2 porte sur le choix aléatoire de la classe "population des communes françaises de 2016". Par conséquent si on veut parler d'échantillon, on doit considérer qu'il s'agit d'un échantillon de taille 1. L'autre interprétation, considérant une taille n = 36677, n'a pas lieu d'être car il ne s'agit pas d'un échantillon constitué aléatoirement ; il eut fallu pour cela que les nombres soient extraits des différentes classes.

L'utilisation de l'intervalle de fluctuation devrait s'avérer hors-sujet.

La population de commune n'est pas choisi aléatoirement mais on peut considérer qu'elle l'a été, car il est raisonnable de supposer que la nationalité n'a pas d'influence sur le premier chiffre du nombre d'habitants par commune - hypothèse que l'on pourrait vérifier par un test statistique)

Si toutefois on trouvait une corrélation entre la nationalité française et le premier chiffre du nombre d'habitant par commune (au vu de chiffres à vérifier qui ne sont pas donnés dans l'énoncé) alors il faudrait simplement corriger l’échantillon de communes.

Not a Panda a écrit:

Prezbo a écrit:

Finrod a écrit:

S'il y a bien une idée à retenir, c'est que faire des stats auprès d'élèves de Lycée est aberrant en termes d'abstraction.

Là dessus, je suis bien d'accord. (Du moins, si on parle de statistiques inférentielles et de tests d'hypothèse.) J'ajouterai : beaucoup de collègues -moi inclus- étant plus ou moins auto-formés en ce domaine, on peut avoir des doutes sur la validité et la solidité de ce qui est enseigné. Jusqu'à arriver à ce que soit donné au baccalauréat des énoncés fortement discutables.

Je ne serais pas aussi catégorique : avec un énoncé clair, c'est faisable.

Loin de nous l'idée d'affirmer que les élèves ne seraient pas capables de reproduire à l'identique une poignée de calculs prédéterminés, la majorité étant fait à la calculatrice, selon un processus appris par répétition.

Simplement, ils ne comprendront pas la logique qui se trouve derrière et ne sauront pas "modéliser", ce qui est quand même le cœur des statistiques.

Dans l'idée, faire des statistiques de cette manière, c'est un peu comme jouer avec des "étiquettes-mot" à la maternelle pour se familiariser à la lecture. On manipule sans comprendre, on pense que la familliarité facilite la compréhension.
En réalité elle met en place des processus alternatifs à celui de la compréhension réelle du fond, et elle vient compliquer celle-ci.

Pour un élève qui voudrait faire des statistiques dans le supérieur, la première condition serait de désapprendre l'essentiel des techniques qu'il a mise en place pour répondre aux exercices de lycée. Seules les définitions peuvent s'avérer utiles, uniquement si elles ont été comprises...  Ce dont je doute  (l’intervalle de confiance, c'est quand même un truc monstrueux en termes d'abstraction quand on y pense)

Disons qu'il est amusant de lire des forums parlant de statistiques.

On voit plein d'étudiants en sciences sociales ou en médecine ou en économie demandant « comment appliquer le test xxx ? » ou « comment savoir si mon résultat est significatif ? » sans aucune réflexion.

Ils ont appris quelques recettes, sans s'intéresser à ce que disent ces crétins que sont les profs de maths.
Mais c'est aussi beaucoup trop difficile pour eux.
Il faut faire un raisonnement, et ça on leur a pas appris.

Quand au raisonnement statistique derrière l'exercice sur la loi de Benford, il est vide sens.
On a observé une valeur exacte. Il n'y a aucun problème de probabilité.

Pour donner un exemple, on peut supposer que la taille d'un humain de sexe masculin suit une loi normale de moyenne 1,74m.
Le fait que je mesure 1,76m ne permet rien de dire sur cette hypothèse. Je mesurerais 2m ou 1,5m on ne pourrait rien dire non plus.

verdurin a écrit:Pour donner un exemple, on peut supposer que la taille d'un humain de sexe masculin suit une loi normale de moyenne 1,74m.
Le fait que je mesure 1,76m  ne permet rien de dire sur cette hypothèse. Je mesurerais 2m ou 1,5m  on ne pourrait rien dire non plus.

Le fameux "C'est pas la taille qui compte"