Problème de probabilité

Je vous propose un problème de probabilité, très simple à énoncer, mais assez résistant, je pense.

Prenez un livre "à nombres de toutes natures", comme le Quid ou le Livre des Records.
Ouvrez une page au hasard.
Prenez une ligne au hasard, d'une colonne prise au hasard.
Suivez les lignes jusqu'à rencontrer un nombre.
Quelle est la probabilité que le premier nombre rencontré commence par un "1" ?

Spoiler:

JPhMM a écrit:Je vous propose un problème de probabilité, très simple à énoncer, mais assez résistant, je pense.

Prenez un livre "à nombres de toutes natures", comme le Quid ou le Livre des Records.
Ouvrez une page au hasard.
Prenez une ligne au hasard, d'une colonne prise au hasard.
Suivez les lignes jusqu'à rencontrer un nombre.
Quelle est la probabilité que le premier nombre rencontré commence par un "1" ?

Spoiler:

ça peut se résoudre pour de vrai un problème pareil?

Je hais les probas !

Largement supérieure à 10 %, mais je sais plus quelle est la proba exacte...
je dirais au moins 25 % ? Si mes souvenirs sont bons la proba décroit ensuite pour les autres chiffres jusqu'à celle du chiffre 9 qui est largement inférieure à 10 %. Et il me semble que c'est valable si on prend le premier chiffre du nombre, parce que sinon si on prend un chiffre totalement au hasard dans un page de données sans s'occuper de la position avant ou après la virgule la proba devrait être de 10 %, non ?

De plus si je fais ça par exemple sur un tas de données (par exemple sur la liste des surfaces en km^2 de tous les lacs du globes), ça ne dépend absolument pas de l'unité choisie pour la surface, même si je compte en trucmuche avec 1km^2=0,745 trucmuche...

Tu peux redonner le probas exactes ?

liliepingouin a écrit:

JPhMM a écrit:Je vous propose un problème de probabilité, très simple à énoncer, mais assez résistant, je pense.

Prenez un livre "à nombres de toutes natures", comme le Quid ou le Livre des Records.
Ouvrez une page au hasard.
Prenez une ligne au hasard, d'une colonne prise au hasard.
Suivez les lignes jusqu'à rencontrer un nombre.
Quelle est la probabilité que le premier nombre rencontré commence par un "1" ?

Spoiler:

ça peut se résoudre pour de vrai un problème pareil?

Oui. La solution est dans la modélisation. Et les vrais difficultés commencent aussi dans la modélisation.

pg73 a écrit:Tu peux redonner le probas exactes ?

Demain le temps de laisser chercher quelque éventuel/lle courageux/se.

Je serai bref, puisque le sujet n'intéresse pas grand monde.
Tout dépend de la modélisation du problème. La modélisation qui a le plus grand crédit actuellement est celle de Benford — ceux que ça intéresse trouveront sans difficulté des références — qui dit que le logarithme des nombres est uniformément distribué. Cette modélisation est acceptée car elle correspond aux observations de la nature, mais pas seulement (elle est utilisée pour détecter les fraudes fiscales ).

La loi de Benford dit que la probabilité pour le premier chiffre d'un nombre quelconque soit d, est :

f(d) = log₁₀(1+1/d)

(La démonstration n'est pas très compliquée)

Et on calcule que f(1) = 30% environ.

sans réfléchir plus que ça j'aurais dit que chaque chiffre est équiprobable.
J'ai un peu de mal à comprendre comment on peut savoir que le 1 sort plus que le 5 par exemple !

JPhMM a écrit:Je serai bref, puisque le sujet n'intéresse pas grand monde.
Tout dépend de la modélisation du problème. La modélisation qui a le plus grand crédit actuellement est celle de Benford — ceux que ça intéresse trouveront sans difficulté des références — qui dit que le logarithme des nombres est uniformément distribué. Cette modélisation est acceptée car elle correspond aux observations de la nature, mais pas seulement (elle est utilisée pour détecter les fraudes fiscales ).

La loi de Benford dit que la probabilité pour le premier chiffre d'un nombre quelconque soit d, est :

f(d) = log₁₀(1+1/d)

(La démonstration n'est pas très compliquée)

Et on calcule que f(1) = 30% environ.

Peut-on vraiment parler de démonstration alors qu'elle s'appuie sur une modélisation (incontestée peut-être mais contestable par essence)?
La réponse "1 chance sur 9" est tout autant démontrable, ce n'est que le modèle utilisé qui peut être critiqué puisqu'il ne semble pas correspondre à la réalité.

philip a écrit:sans réfléchir plus que ça j'aurais dit que chaque chiffre est équiprobable.
J'ai un peu de mal à comprendre comment on peut savoir que le 1 sort plus que le 5 par exemple !

Dans la vie réelle, le 11-12-... est plus utilisé que le 51-52-etc.
Mais comme le dit Evariste, la probabilité ne peut être issue que d'une modélisation ... qui marche si on est d'accord pour qu'elle marche.

C'est déductif.
Une fois la modélisation posée, la démonstration n'est pas très compliquée.
Mais le problème, comme annoncé, relève effectivement de la modélisation. D'ailleurs j'ai dit que c'est celle qui a le plus grand crédit. Ce n'est pas la seule modélisation possible, et certains mathématiciens espèrent bien la détrôner.

Si la modélisation semble correspondre aux observations, c'est aussi qu'elle ne correspond pas à la situation "prendre un nombre quelconque dans R". C'est simplement que ces nombres-là, observés, correspondent à des mesures (physiques ou autres). S'ils étaient pris dans l'ensemble uniformément distribué des réels, un nombre à 15000000000^15000000000 de chiffres serait aussi probable qu'un nombre à 1 chiffre.

Le principe de la modélisation est simple.

Je vais essayer d'en donner l'idée :
Dans [1;20] il y a 11 nombres commençant par 1.
Dans [1;200], il y en a 111.
Dans [1;2000], il y en a 1111.
Etc.

On devine (je ne crois pas que votre question soit de le démontrer) que le logarithme de ces nombres est uniformément distribué.

philip a écrit:sans réfléchir plus que ça j'aurais dit que chaque chiffre est équiprobable.
J'ai un peu de mal à comprendre comment on peut savoir que le 1 sort plus que le 5 par exemple !

Parce qu'en somme, pour le dire vite, plus un nombre est petit plus il a des chances de "sortir".
D'ailleurs ce n'est pas pour rien si "un" est un article, et pas "deux" (sauf dans les langues à "dual"), "trois", "quatre", etc.

JPhMM a écrit:

Si la modélisation semble correspondre aux observations, c'est aussi qu'elle ne correspond pas à la situation "prendre un nombre quelconque dans R". C'est simplement que ces nombres-là, observés, correspondent à des mesures (physiques ou autres). S'ils étaient pris dans l'ensemble uniformément distribué des réels, un nombre à 15000000000^15000000000 de chiffres serait aussi probable qu'un nombre à 1 chiffre.

L'ensemble des réels n'est-il pas infini indénombrable ?

Cassandra a écrit:

JPhMM a écrit:

Si la modélisation semble correspondre aux observations, c'est aussi qu'elle ne correspond pas à la situation "prendre un nombre quelconque dans R". C'est simplement que ces nombres-là, observés, correspondent à des mesures (physiques ou autres). S'ils étaient pris dans l'ensemble uniformément distribué des réels, un nombre à 15000000000^15000000000 de chiffres serait aussi probable qu'un nombre à 1 chiffre.

L'ensemble des réels n'est-il pas infini indénombrable ? et dans ce cas P{x=lambda} = 0 si lambda appartient à IR.

Bien sûr, mais en prenant une distribution uniforme, il suffirait de considérer un intervalle "représentatif" et de conclure par translation. Si la probabilité de chaque nombre est nulle, il n'en reste pas moins qu'un nombre tombe de fait.

JPhMM a écrit:

Bien sûr, mais en prenant une distribution uniforme, il suffirait de considérer un intervalle "représentatif" et de conclure par translation. Si la probabilité de chaque nombre est nulle, il n'en reste pas moins qu'un nombre tombe de fait.

Bon alors, si je prends une distribution uniforme sur l'intervalle [0,10], la médiane n'est-elle pas égale à 5 ?

Cette année, les candidats au baccalauréat des séries ES et L ont pu découvrir la loi de Benford (ici 17MAELMLR1).



J'ai par contre la désagréable impression qu'on fait un peu n'importe quoi avec la notion d'échantillonnage dans cet exercice...

Call_BB5A a écrit:Cette année, les candidats au baccalauréat des séries ES et L ont pu découvrir la loi de Benford .

J'ai par contre la désagréable impression qu'on fait un peu n'importe quoi avec la notion d'échantillonnage dans cet exercice...

Il serait bien de poster ce message dans le topic portant sur les sujets posées au bac S (même s'il s'agit d'un sujet de bac ES), pour les collègues qui ne suivent plus ce vieux fil...

Je n'ai pas le temps de faire une analyse complète du sujet (il y aurait à dire) mais effectivement, je crois comprendre que dans le dernier exercice, vu les programmes actuels, on attend une prise de décision basée sur un intervalle de fluctuation, ce qui me pose quelques problèmes...Je serais sincèrement curieux de savoir ce que ceux qui ont lu l'énoncé en pensent.

spoiler:

Je ne plaisante pas du tout en disant qu'il serait bien de montrer ces sujets à un (vrai) statisticien, afin d'avoir un avis éclairé. Si quelqu'un en a un dans ses connaissances...

Je ne pense pas qu'un IF/un test étaient attendus, dans la mesure où un test apparaît déjà dans un exercice précédent. Pour la deuxième question, je pense que "à peu près 100% >> 30%" suffit.
Si quelqu'un peut le confirmer cet après-midi après avoir récupéré ses copies et les consignes de correction, ça m'intéresse.

Je crois aussi qu'il s'agit dans les deux cas de comparer simplement la fréquence observée ou estimée à 30%.

Mais je crains que beaucoup de candidats se seront laissés abuser par l'apparence de l'énoncé, et auront confondu avec les exercices habituels sur l'échantillonnage. Est-ce volontaire ? Je ne le sais pas. Mais il est très probable que les consignes de correction conduiront à accepter les intervalles de fluctuations alors qu'il n'y a pas de population définie et que les exemples ne sont pas des échantillons constitués aléatoirement.

JPhMM a écrit:Je serai bref, puisque le sujet n'intéresse pas grand monde.
Tout dépend de la modélisation du problème. La modélisation qui a le plus grand crédit actuellement est celle de Benford — ceux que ça intéresse trouveront sans difficulté des références — qui dit que le logarithme des nombres est uniformément distribué. Cette modélisation est acceptée car elle correspond aux observations de la nature, mais pas seulement (elle est utilisée pour détecter les fraudes fiscales   ).

La loi de Benford dit que la probabilité pour le premier chiffre d'un nombre quelconque soit d, est :

f(d) = log₁₀(1+1/d)

(La démonstration n'est pas très compliquée)

Et on calcule que f(1) = 30% environ.

Juste pour être méchant.
Ce n'est pas une question de modélisation.
C'est une question d'observation.
On constate que la loi de Benford semble décrire correctement les observations. On ne démontre rien, sauf que c'est la seule loi possible hors l'équiprobabilité.

En effet c'est la seule, hors équiprobabilité, compatible avec les changements d'unités.
Mais on peut toujours choisir des nombres dont la plage est déterminée, et qui ne vérifierons pas la loi de Benford.

On en a un exemple avec la dernière question de l'énoncé sur le premier chiffres des tailles en cm.

Call_BB5A a écrit:Je crois aussi qu'il s'agit dans les deux cas de comparer simplement la fréquence observée ou estimée à 30%.

Mais je crains que beaucoup de candidats se seront laissés abuser par l'apparence de l'énoncé, et auront confondu avec les exercices habituels sur l'échantillonnage. Est-ce volontaire ? Je ne le sais pas. Mais il est très probable que les consignes de correction conduiront à accepter les intervalles de fluctuations alors qu'il n'y a pas de population définie et que les exemples ne sont pas des échantillons constitués aléatoirement.

ben2510 a écrit:Je ne pense pas qu'un IF/un test étaient attendus, dans la mesure où un test apparaît déjà dans un exercice précédent. Pour la deuxième question, je pense que "à peu près 100% >> 30%" suffit.
Si quelqu'un peut le confirmer cet après-midi après avoir récupéré ses copies et les consignes de correction, ça m'intéresse.
Si quelqu'un peut le confirmer cet après-midi après avoir récupéré ses copies et les consignes de correction, ça m'intéresse.

D'après le barème-corrigé distribué, c'est en effet la deuxième fois dans le sujet que l'utilisation d'un intervalle de fluctuation était attendue, la première étant dans l'exercice 1 question 4. Pour l'exercice 1 question 4 donc, la consigne est de valoriser la démarche, même celle utilisant l'intervalle de confiance.  

Pour l'exercice 4 question 3 dont il est question dans ce fil, la consigne est la même : valoriser les deux démarches (fluctuation/confiance), et puis il a été fait remarquer aux IA-IPR que cela n'avait pas de sens d'utiliser un intervalle de fluctuation en l'absence d'échantillon, ce à quoi ils ont répondu que ces remarques avaient déjà été transmises... Pourtant, j'ai eu la très nette impression que si aucun collègue ne l'avait fait remarqué, nous n'en aurions pas discuté. Nous devons aussi valoriser les démarches comparant la proportion des communes dont la population commence par le chiffre à la probabilité que X (la variable aléatoire introduite dans l'énoncé) vaut 1.

Sur ce dernier point, je ne suis pas d'accord. Je n'ai d'ailleurs pas fait l'objection lors de la réunion d'entente car cela m'est venu ce soir. Mais avant, il faut corriger les imprécisions de l'énoncé. La variable aléatoire X introduite dans l'énoncé n'est reliée à aucune expérience aléatoire :

Dans certaines circonstances, le premier chiffre d'un nombre aléatoire non nul peut être modélisé par une variable aléatoire X telle que pour tout entier c compris entre 1 et 9,

P(X=c)=blabla

Cette loi est appelée loi de Benford.

Dans certaines circonstances... C'est très obscure tout ça. Le nombre aléatoire non nul est-il choisi dans N* ? Entre 1 et un autre nombre ? Mystère. Difficile de savoir si la situation de la question 2 correspond à ces circonstances. Admettons.

En revanche, ce que nous pouvons dire pour la situation de la question 2 (et encore, c'est à l'initiative du candidat de poser les choses en ces termes), c'est que nous choisissons aléatoirement une commune parmi les 36677 et que nous regardons la valeur que prend le premier chiffre de sa population. Posons Y la variable aléatoire qui représente le premier chiffre de la population de la commune choisie aléatoirement. Y peut prendre les valeurs entières entre 1 et 9.

D'après les données de l'énoncé, il y a 11094 commune dont la population commence par un 1. Ainsi :

P(Y=1)=11094/36677=0.30248 (résultat arrondi)

Or, pour la variable aléatoire X qui suit une loi de Benford, on avait :

P(X=1)=ln(2)/ln(10)=0.30103 (résultat arrondi)

On pourrait être tenté de dire que P(Y=1) et P(X=1) sont assez proches et de conclure que Y suit une loi de Benford, mais puisque nous connaissons toutes les communes et celles dont la population commence par 1 (il ne s'agit donc pas d'un échantillon), une égalité entre P(Y=1) et P(X=1) n'est-elle pas requise pour pouvoir conclure ?

Et que dire de P(Y=2) et P(X=2) ? Ne faudrait-il pas que les P(Y=c) et P(X=c), pour c entier entre 1 et 9, soient égaux deux à deux pour pouvoir conclure ?

En résumé, si je ne me trompe pas dans ces dernière lignes, le document barème-corrigé ne propose aucune réponse juste à cette question, et nous demande de valoriser des réponses et des démarches fausses. Génial. Je suis bien tombé pour ma première correction du BAC

Not a Panda a écrit:En résumé, si je ne me trompe pas dans ces dernière lignes, le document barème-corrigé ne propose aucune réponse juste à cette question, et nous demande de valoriser des réponses et des démarches fausses. Génial. Je suis bien tombé pour ma première correction du BAC

Je me souviens d'un IPR qui, devant une vaste assemblée de profs de maths  lors d'une réunion de formation à propos de la réforme des programmes, avait en substance déclaré de manière très péremptoire que, de toutes façons, il y avait une demande institutionnelle pour que les probabilités et les statistiques soient enseignées au lycée et que si nous ne les prenions pas en charge, les profs d'économie allaient les faire à notre place et ils s'y prendraient n'importe comment.

Quelques années plus tard, on peut constater que la situation est parfaitement sous contrôle : ce sont les profs de maths qui se chargent de traiter n'importe comment les probabilités et les statistiques.

@Not a Panda :

Non il n'y a pas besoin d'égalité entre P(X=1) et P(Y=1), on peut voir une convergence en loi de la Bernoulli 1_{Y=1} vers la bernoulli 1_{X=1}

La question se poserais effectivement en complément de l'énoncé, pour les autres valeurs Y=2 etc... ce qui permettrait de conclure à une convergence en loi de Y vers X (si tant est que l’échantillon sous-jacent soit supposé pouvoir varier, sinon on parle de simple approximation)

Le sujet tient la route même s'il est très superficiel et il est cohérent.

l'affirmation "Cette affirmation vous parait-elle compatible avec un loi de Benford" est suffisamment précise pour ne rien affirmer qui soit faux.

Mon point de vue reste que les statistiques et les probabilité ne sont absolument pas acquises par les élèves en fin de TS, même les meilleurs... Mais vu le contextes de manque de travail au lycée, rare sont les notions qui y sont acquises de manière solide et durable par les élèves.

@Finrod :

Merci pour ces éclairantes précisions.

Moonchild a écrit:

Not a Panda a écrit:En résumé, si je ne me trompe pas dans ces dernière lignes, le document barème-corrigé ne propose aucune réponse juste à cette question, et nous demande de valoriser des réponses et des démarches fausses. Génial. Je suis bien tombé pour ma première correction du BAC

Je me souviens d'un IPR qui, devant une vaste assemblée de profs de maths  lors d'une réunion de formation à propos de la réforme des programmes, avait en substance déclaré de manière très péremptoire que, de toutes façons, il y avait une demande institutionnelle pour que les probabilités et les statistiques soient enseignées au lycée et que si nous ne les prenions pas en charge, les profs d'économie allaient les faire à notre place et ils s'y prendraient n'importe comment.

Quelques années plus tard, on peut constater que la situation est parfaitement sous contrôle : ce sont les profs de maths qui se chargent de traiter n'importe comment les probabilités et les statistiques.

Pour certains collègues dans l'amphi lors de la réunion, les cafouillages avec les intervalles de confiance/fluctuation au bac n'avaient pas l'air du tout nouveaux.

En fonction du parcours du chacun, on peut effectivement avoir des lacunes en stats/proba. Personnellement, je n'ai pas étudié les proba/stats dans le supérieur, si ce n'est en école d'ingénieur. Pas de théorie de la mesure non plus...

Finrod a écrit:@Not a Panda  :

Non il n'y a pas besoin d'égalité entre P(X=1) et P(Y=1), on peut voir une convergence en loi de la Bernoulli 1_{Y=1} vers la bernoulli 1_{X=1}

La question se poserais effectivement en complément de l'énoncé, pour les autres valeurs Y=2 etc... ce qui permettrait de conclure à une convergence en loi de Y vers X (si tant est que l’échantillon sous-jacent soit supposé pouvoir varier, sinon on parle de simple approximation)

Le sujet tient la route même s'il est très superficiel et il est cohérent.

l'affirmation "Cette affirmation vous parait-elle compatible avec un loi de Benford" est suffisamment précise pour ne rien affirmer qui soit faux.

Je ne suis toujours pas convaincu. Qu'appelles-tu Bernoulli 1_{Y=1} et bernoulli 1_{X=1} ? Et où vois-tu une suite de loi de probabilité dans l'énoncé tel qu'il est posé ?

L'hypothèse la plus simple reste que l'auteur attendait ici qu'on détermine l'intervalle de fluctuation pour p=ln(2)/ln(10) et n=36677, puis qu'on vérifie si f=11094/36677 appartient bien à l'intervalle...Sauf qu'il n'y a pas d'échantillon, ni d'expérience aléatoire, ni de variable aléatoire ici. La fréquence des communes dont la population commence par 1 est de 11094/36677 de manière certaine.

En définitive, même si ce n'est celle attendue en pratique, la réponse ln(2)/ln(10) différent de 11094/36677 donc la probabilité que le premier chiffre d'une commune soit égale à 1 ne suit pas la loi de Benford (pas loin, mais pas exactement) me semble la réponse rigoureuse logiquement ici, si on cherche la petite bête.

Sinon, un détail amusant concernant l'exercice 1.

On modélise le temps de passage à une caisse non-automatique par une loi uniforme à valeur dans [0:12]. Et si le client n'est pas passé au bout de douze minutes, qu'est-ce qu'il se passe ? Le responsable du magasin vient le voir et lui dit "monsieur, vous avez dépassé le temps limite, je vais vous faire passer tout de suite" ?

Pour une caisse automatique, on modélise le temps par une loi normale d'espérance mu=5...Cela donne une probabilité non nulle (faible, mais non nulle) que le temps d'attente soit strictement négatif.

Pour l'instant, la meilleure synthèse me semble celle de Moonchild.

Moonchild a écrit:Quelques années plus tard, on peut constater que la situation est parfaitement sous contrôle : ce sont les profs de maths qui se chargent de traiter n'importe comment les probabilités et les statistiques.