Petits problèmes mathématiques

Problème fourni par Apollonius :

Soit ABCD un rectangle tel que AB = 1 et AD = 2. On nomme O son centre.
Soit (C) un cercle de centre O et de rayon R.
On appelle E et F les intersections de (C) avec respectivement [BA) et [BC).
Quelle doit être la valeur de R pour que E, F et D soient alignés ?



Extension possible : généralisation du problème avec un rectangle de dimensions AB = a et AD = b.

environ 2,3

Plus exactement (3+racine(33))/4 !

Sauf erreur de calcul, bien sûr...

Merci

Pour ma part, j'ai trouvé racine(205)/6, soit environ 2,39.

Mais il est tard, je ne sais pas si je me suis planté.

Ah si, je me suis planté : c'est en effet très proche de 2,3.
J'ai dû louper un calcul.

On verra ça demain.

Jonjon

Problème : extrait de Sésamath 3e 2008

On note 3! (on prononce “factorielle 3”) le produit 1×2×3, on note 4! le produit 1×2×3×4 et ainsi de suite…
Si on calculait le produit 17! que trouverait-on pour les trois derniers chiffres ?
Combien de fois se répète le dernier chiffre de 627! à la fin de ce nombre ?

Tu es sûr de la valeur de Jonjon JP ?
Parce qu'elle est plutôt éloignée de ce que l'on trouve via Geogebra...

Je vais m'y remettre ce soir !

Bon le dernier chiffre est un $0$... et plus généralement, le nombre $n!$ se termine par $E(\dfrac{n}{5})+E(\dfrac{n}{5^2})+...+E(\dfrac{n}{5^p})$ zéros tant que $E(\dfrac{n}{5^p})$ n'est pas nul. Dans le cas de $627!$, le nombre de zéros est:

Spoiler:

Question bonus: quel est le dernier chiffre non nul de $n!$ ?

Igniatius a écrit:Tu es sûr de la valeur de Jonjon JP ?
Parce qu'elle est plutôt éloignée de ce que l'on trouve via Geogebra...

Je vais m'y remettre ce soir !

Je ne suis jamais sûr d'un calcul.

Effectivement, Gégé donne une valeur proche de 2,315. Notre calcul doit être erroné.
Hop, on recommence...

Kosakuyosida a écrit:Question bonus: quel est le dernier chiffre non nul de $n!$ ?

On a le droit de tricher ?

Spoiler:

JPhMM a écrit:

Kosakuyosida a écrit:Question bonus: quel est le dernier chiffre non nul de $n!$ ?

On a le droit de tricher ?

Spoiler:

Mais tu ne réponds pas à la question !

Oups, ça s'est vu

Je cherche.

Igniatius a écrit:Tu es sûr de la valeur de Jonjon JP ?
Parce qu'elle est plutôt éloignée de ce que l'on trouve via Geogebra...

Je vais m'y remettre ce soir !

Effectivement, c'était une erreur je pense.

Après correction :

JPhMM a écrit:

Igniatius a écrit:Tu es sûr de la valeur de Jonjon JP ?
Parce qu'elle est plutôt éloignée de ce que l'on trouve via Geogebra...

Je vais m'y remettre ce soir !

Effectivement, c'était une erreur je pense.

Après correction :

j'vous l'ai dit hier !!!

Will.T a écrit:

JPhMM a écrit:

Igniatius a écrit:Tu es sûr de la valeur de Jonjon JP ?
Parce qu'elle est plutôt éloignée de ce que l'on trouve via Geogebra...

Je vais m'y remettre ce soir !

Effectivement, c'était une erreur je pense.

Après correction :

j'vous l'ai dit hier !!!

Oui je sais.

Kosakuyosida a écrit:Question bonus: quel est le dernier chiffre non nul de $n!$ ?

Alors...

Je n'ai pas encore trouvé, mais j'ai la bonne piste je crois. Simplement il est tard, et je n'ai plus le cerveau à ça.
Je vais essayer de l'écrire simplement, pour ceux qui ne sont pas profs de maths.


Le produit de deux nombres entiers a pour chiffre des unités le chiffre des unités du produit des chiffres des unités des deux nombres.
Par exemple : 324*1598 finit par un 2 car 4*8 finit par un 2.

De plus 10! = (3*4*6*7*8*9) * (2*5*10) = 36288 * 100
Donc le dernier chiffre non nul de 20! est 4 car 8 * 8 = 64

MAIS le dernier chiffre non nul de 30! n'est pas 2 malgré le fait que 8 * 4 = 32.
En effet, 20 et 30 encadrent un diviseur d'une puissance de 10, puisque 25 * 4 = 100, etc.

Me reste donc à mettre tout ça en forme...

JPhMM a écrit:

Igniatius a écrit:Tu es sûr de la valeur de Jonjon JP ?
Parce qu'elle est plutôt éloignée de ce que l'on trouve via Geogebra...

Je vais m'y remettre ce soir !

Effectivement, c'était une erreur je pense.

Après correction :

Y'a-t-il une solution géométrie élégante et habile ou bien faut-il bouriner analytiquement ?

J'ai cherché une solution élégante, je n'en ai pas trouvée, ce qui ne signifie pas qu'elle n'existe pas — d'ailleurs, je suis convaincu qu'il doit y avoir une solution géométrique. Si d'aventure vous en trouvez une, elle m'intéresse beaucoup.

Tout de même, du fait de la racine cubique de 2, d'après le théorème de Wantzel (voir duplication du cube), il n'existe pas de solution à la règle et au compas.

Je crains de ne pas avoir ce talent !

En plus je préfère perdre mon temps sur les forums à dire des conneries pour agacer les uns ou les autres !

Zorglub a écrit:En plus je préfère perdre mon temps sur les forums à dire des conneries pour agacer les uns ou les autres !

Je comprends, étant atteint du même mal.

JPhMM a écrit:

Zorglub a écrit:En plus je préfère perdre mon temps sur les forums à dire des conneries pour agacer les uns ou les autres !

Je comprends, étant atteint du même mal.

C'est pas beau, vous êtes addicts !