Clarification sur des objets numériques

Je cherche à construire des cours de mathématiques en classes de collège, et je suis très sensible à la nature des objets que je tente de transmettre. Nouvellement arrivé en collège, je découvre donc (issu du primaire) tout ce qui a trait des "fractions". Idée du "partage", essentiellement.
Mais dans tous les exemples et exercices donnés, les fractions présentées sont des quotients de nombres entiers. Pour moi (puriste...), il s'agit donc de nombres rationnels. C'est d'ailleurs ainsi que je désigne ces nombres à mes élèves. En effet, pour moi, une fraction a toujours été un quotient du type
avec a et b des nombres réels (ou complexes), b étant non nul.

Voulant être au clair, je suis passé par Wikipédia. Et là, je découvre :

• (ICI)  "En mathématiques, une fraction est un moyen d'écrire (je souligne) un nombre rationnel sous la forme d'un quotient de deux entiers". Suit la définition suivante : "Une fraction est une division non effectuée entre deux nombres entiers relatifs n et d ≠ 0".
  Remarque personnelle : si on veut ne rien définir, on ne peut pas mieux faire que de dire "une division non effectuée"... Dans ce cas, en écrivant, a//b où a et b sont des nombres entiers, cela ne définit pas une "fraction" : cela n'a aucun sens, puisque cette division ne peut jamais s'effectuer...
  
• (PUIS LA) "Un nombre rationnel est, en mathématiques, un nombre qui peut s'exprimer comme le quotient de deux entiers relatifs."
  

Je suis alors interloqué. Une fraction ne semble pas être un "objet mathématique", mais un "moyen d'écrire". Verrait-on par exemple : "Un radical est un moyen d'écrire la racine carrée d'un nombre"....? On dirait ainsi que "fraction" n'est même pas une notion, mais une "forme d'écriture"...

Dans cette approche, je ne comprends pas comment définir l'objet mathématique suivant :
Dans mon esprit, il s'agissait bien de fractions. Pour ma part, une fraction est tout simplement un quotient de deux nombres (ce qui se définit dans tout corps mathématique). On peut alors préciser, parmi les fractions, la notion de nombres rationnels.


Ce mot de "fraction" a un sens mathématique très fort dans la notion de "corps des fractions" d'un anneau intègre. On retrouve bien là le corps des nombres rationnels comme le corps des fractions de l'anneau des entiers relatifs.

En tout cas, au niveau collège, j'insiste bien pour dire que nous manipulons des "nombres rationnels". Vient ensuite le moment où il est question de nombres du type racine(2)/7, que je désigne cette fois-ci comme des fractions.

Ayant parcouru les pages WIkipédia sur les fractions et les nombres rationnels, je ne sais donc ce qu'il en est de racine(2)/7. En suivant leur définition, cela ne constitue pas une fraction, ce qui me semble absurde...

Hello ^^

Pour ma part, j'ai appris que les rationnels étaient l'ensemble des nombres pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction, c'est à dire un quotient de deux entiers relatifs (dénominateur non nul).

Pour ce qui est des "fractions" dont le numérateur ou le dénominateur ne sont pas des entiers, effectivement je n'appelle pas ça une fraction, mais une "écriture fractionnaire"...

Quant à savoir si c'est correct ou non, de fait je n'en sais trop rien, je n'avais remis cela en question... ^^"
Du coup c'est intéressant

Il s'agit peut-être d'un point où il n'y a pas consensus sur le vocabulaire employé...et donc d'un débat pas si intéressant, parce qu'il porte sur des conventions plus que sur des notions mathématiques.

Dans la mesure où on peut définir le corps des fractions sur tout anneau intègre, cela ne me gène pas de désigner (z+2i)/(3z+1) ou racine(2)/2 comme des fractions (d’éléments de Z[i] dans le premier cas, de Z[racine(2)] dans le second).

Pour ce qui est de la définition d'une fraction comme "moyen d'écrire un nombre rationnel", je ne trouve pas ça parfaitement clair, mais peut-être est-ce une manière d'insister que plusieurs quotients (comme 2/4 et 1/2) peuvent désigner le même nombre.

L'expression "moyen d'écrire" me semble moins claire que juste "écriture". 1/4 est une fraction (en toute rigueur, avec la barre horizontale, pas celle oblique), tandis que 0,25 ne l'est pas ; ce sont deux façons différentes, qui ne sont pas dans le même registre d'écriture, d'écrire le même nombre. On peut aussi attribuer un sens non ambigu à l'écriture 0,5/2, et il n'y a aucune hésitation sur le fait de pouvoir l'appeler écriture fractionnaire. Pour fraction, cela dépend si on accepte d'écrire des non-entiers ou pas. A ma connaissance, la convention d'écrire uniquement des entiers est très répandue, mais peut-être pas systématique (?).

La question importante me semble être d'examiner s'il est gênant d'appeler fractions des écritures avec des non-entiers au sens où cela induirait des erreurs dans la compréhension ou la manipulation de ces écritures, et il me semble que non, bien que ce ne soit pas usuel, du moins au niveau du primaire et du secondaire. Ta référence à un contexte de mathématiques universitaires est un cas particulier de l'évolution de la terminologie au cours de l'apprentissage des mathématiques, il s'agit là d'un phénomène courant que l'on retrouve dans de nombreux aspects différents (voir l'évolution de ce que l'on désigne par l'appellation des figures en géométrie au cours des cycles de l'école primaire par exemple).