Sujet 2 du bac 2022 et situation de la géométrie dans les programmes

Je reprends ici une polémique qui avait commencé dans la discussion générale sur les sujets du bac 2022.

Le dernière question de l'exercice de géométrie dans l'espace du sujet 2 suppose, pour être complètement justifiée, de résoudre un problème intermédiaire.

Soit EGK un triangle. On considère les points P milieu du segment [EG], M milieu du segment [EK] et N milieu du segment[GK]. Montrer que l'aire du triangle MNP est le quart de l'aire de EGK.

Le problème est que ça ne me semble pas si évident.

Le théorème de la droite des milieux (ou la réciproque du théorème de Thalès, puisque le théorème de la droite des milieux n'est plus au programme du collège) permet de prouver que la droite (MN) est parallèle à (EG).

Mais pour en déduire que la longueur MN est la moitié de EG, il faut aussi utiliser le théorème de Thalès, dans le sens direct cette fois-ci.

Par ailleurs, même une fois qu'on a prouvé que les côtés du triangle MNP sont deux à deux la moitié des côtés du triangle EGK, quelle partie du cours, actuellement au programme dans l'enseignement secondaire, permet d'en déduire que l'aire de EGK est la quart de l'aire de MNP ?

(Il y aurait par ailleurs à mon sens d'autres manières de répondre à la question, mais j'attends votre point de vue.)

Agrandissement/réduction ?

chmarmottine a écrit:Agrandissement/réduction ?

Même avis. Programme de 3ème.

Prezbo a écrit:Par ailleurs, même une fois qu'on a prouvé que les côtés du triangle MNP sont deux à deux la moitié des côtés du triangle EGK, quelle partie du cours, actuellement au programme dans l'enseignement secondaire, permet d'en déduire que l'aire de EGK est la quart de l'aire de MNP ?

En supposant qu'on n'a pas à disposition la propriété sur l'effet de l'agrandissement sur les aires: les triangles ELM, KMN et GNL sont les images respectives de LMN par les symétries de centres respectifs les milieux respectifs de [LM], [MN] et [NL] donc ont la même aire.
Le triangle EGK est donc découpé en 4 triangles de même aire que LMN.
Il me semble également raisonnable d'avancer directement l'argument que les 4 triangles sont isométriques sans expliciter les symétries centrales.

Mathador a écrit:

Prezbo a écrit:Par ailleurs, même une fois qu'on a prouvé que les côtés du triangle MNP sont deux à deux la moitié des côtés du triangle EGK, quelle partie du cours, actuellement au programme dans l'enseignement secondaire, permet d'en déduire que l'aire de EGK est la quart de l'aire de MNP ?

En supposant qu'on n'a pas à disposition la propriété sur l'effet de l'agrandissement sur les aires: les triangles ELM, KMN et GNL sont les images respectives de MNP par les symétries de centres respectifs les milieux respectifs de [LM], [MN] et [NL] donc ont la même aire.
Le triangle EGK est donc découpé en 4 triangles de même aire que MNP.
Il me semble également raisonnable d'avancer directement l'argument que les 4 triangles sont isométriques sans expliciter les symétries centrales.

La propriété d'agrandissement réduction est au programme de cycle 4.

Ah oui, thème C…
Je n'avais regardé que dans le thème D.

Merci pour les réponses, je n'étais pas sûr que les agrandissements/réduction étaient toujours au programme. Ça me semble donc a priori la solution la plus simple pour un élève aujourd'hui.

Il est possible également de voir le découpage du triangle initiale en quatre triangles isométriques (mais il faut alors être clair sur ce qu'on accepte comme évident) ou utiliser une homothétie de centre G le centre de gravité du triangle EGB et de rapport -1/2 (mais une rédaction rigoureuse suppose de bien maîtriser les propriétés des homothéties, qui ne sont plus que survolées).

Reste que même en attendant plutôt la première méthode, il me semble douteux qu'un élève de terminale fasse une démonstration complète et rigoureuse avec des méthodes qu'il n'a plus travaillées qu'épisodiquement depuis la quatrième/troisième (et même les corrigés trouvables sur internet ne sont pas toujours parfaitement convaincants).

Je ne sais pas ce qu'espérait le concepteur du sujet, mais je suppose que c'est le genre de question qui va se révéler pénible à corriger faute de consensus sur ce qui est attendu en matière de rédaction, et où on va finir par mettre les points si l'élève a plus ou moins vu le principe.

Prezbo a écrit:Il est possible également de voir le découpage du triangle initiale en quatre triangles isométriques (mais il faut alors être clair sur ce qu'on accepte comme évident) ou utiliser une homothétie de centre G le centre de gravité du triangle EGB et de rapport -1/2 (mais une rédaction rigoureuse suppose de bien maîtriser les propriétés des homothéties, qui ne sont plus que survolées).

Pour le coup, le centre de gravité (ou même le terme « médiane » dans un contexte géométrique) n'apparaît plus dans le programme actuel du cycle 4.

Mathador a écrit:

Prezbo a écrit:Par ailleurs, même une fois qu'on a prouvé que les côtés du triangle MNP sont deux à deux la moitié des côtés du triangle EGK, quelle partie du cours, actuellement au programme dans l'enseignement secondaire, permet d'en déduire que l'aire de EGK est la quart de l'aire de MNP ?

En supposant qu'on n'a pas à disposition la propriété sur l'effet de l'agrandissement sur les aires: les triangles ELM, KMN et GNL sont les images respectives de LMN par les symétries de centres respectifs les milieux respectifs de [LM], [MN] et [NL] donc ont la même aire.
Le triangle EGK est donc découpé en 4 triangles de même aire que LMN.
Il me semble également raisonnable d'avancer directement l'argument que les 4 triangles sont isométriques sans expliciter les symétries centrales.

Mais, même ça, ça ne me semble pas si évident à justifier sans passer par la droite des milieux ou la réciproque de Thalès pour exhiber des parallélogrammes.

Prezbo a écrit:Merci pour les réponses, je n'étais pas sûr que les agrandissements/réduction étaient toujours au programme. Ça me semble donc a priori la solution la plus simple pour un élève aujourd'hui.

Il est possible également de voir le découpage du triangle initiale en quatre triangles isométriques (mais il faut alors être clair sur ce qu'on accepte comme évident) ou utiliser une homothétie de centre G le centre de gravité du triangle EGB et de rapport -1/2 (mais une rédaction rigoureuse suppose de bien maîtriser les propriétés des homothéties, qui ne sont plus que survolées).

Reste que même en attendant plutôt la première méthode, il me semble douteux qu'un élève de terminale fasse une démonstration complète et rigoureuse avec des méthodes qu'il n'a plus travaillées qu'épisodiquement depuis la quatrième/troisième (et même les corrigés trouvables sur internet ne sont pas toujours parfaitement convaincants).

Je ne sais pas ce qu'espérait le concepteur du sujet, mais je suppose que c'est le genre de question qui va se révéler pénible à corriger faute de consensus sur ce qui est attendu en matière de rédaction, et où on va finir par mettre les points si l'élève a plus ou moins vu le principe.

La démarche qui me paraîtrait la plus accessible pour un élève actuel supposerait qu'il se rappelle des agrandissements/réductions qu'il a plus ou moins vus au collège et aura peut-être réutilisés au mieux deux ou trois fois en seconde, puis qu'il remarque que les triangles ELM, KMN et GNL sont tous les trois des réductions du triangle EGK de rapport 1/2 dont les aires sont donc toutes égales au quart de l'aire de EGK et enfin qu'il en déduise l'aire de MNP par soustraction.
Franchement, je n'y crois pas plus que toi à moins de tomber sur un candidat vraiment exceptionnel ou venant d'un établissement vraiment exceptionnel... bref, c'est à mon avis une question pour rien !

Ce qui est inquiétant c'est que, visiblement, même sur les exercices purement mathématiques, la chaîne de conception/validation des sujets arrive à se planter ; partant de ce constat, il serait donc plus avisé de renoncer aux exercices d'analyse contextualisés qui apportent leur lot d'écueils extra-mathématiques et, pour les probabilités, de définitivement bannir toute tentative d'originalité dans l'énoncé puisque ça ne peut que mal se terminer.

Moonchild a écrit:

Mathador a écrit:

Prezbo a écrit:Par ailleurs, même une fois qu'on a prouvé que les côtés du triangle MNP sont deux à deux la moitié des côtés du triangle EGK, quelle partie du cours, actuellement au programme dans l'enseignement secondaire, permet d'en déduire que l'aire de EGK est la quart de l'aire de MNP ?

En supposant qu'on n'a pas à disposition la propriété sur l'effet de l'agrandissement sur les aires: les triangles ELM, KMN et GNL sont les images respectives de LMN par les symétries de centres respectifs les milieux respectifs de [LM], [MN] et [NL] donc ont la même aire.
Le triangle EGK est donc découpé en 4 triangles de même aire que LMN.
Il me semble également raisonnable d'avancer directement l'argument que les 4 triangles sont isométriques sans expliciter les symétries centrales.

Mais, même ça, ça ne me semble pas si évident à justifier sans passer par la droite des milieux ou la réciproque de Thalès pour exhiber des parallélogrammes.

@Prezbo avait supposé qu'on avait déjà les côtés du triangle intérieur.
Ceci dit, ici la réciproque de Thalès suffit pour caractériser les parallélogrammes par parallélisme.
Sans utiliser Thalès, je viens de voir une autre méthode avec les caractérisations vectorielles des milieux: comme N milieu de [GK] on a (en vectoriel) EN = 1/2(EG+EK) = 1/2EG + 1/2EK = EL+EM donc ELNM parallélogramme.
Ceci dit, ce sera sûrement moins naturel pour un élève actuel que pour un TS de ma génération qui a étudié les barycentres de façon générale.

pour les probabilités, de définitivement bannir toute tentative d'originalité dans l'énoncé puisque ça ne peut que mal se terminer.

Ou bannir ces exercices stéréotypes sans intérêt que tous les élèves savent faire.

En prenant pour "base" le côté [KG], les triangles KNM,MPN et NGP ont même base car KN = NG = MP (la moitié de KG par le théorème de la droite des milieux), et même hauteur (car (MP) est parallèle à (KG)) donc même aire. Les trois côtés jouant le même rôle, on a de même avec pour base [GE], PGN, PEM et PMN de même aire. Donc les quatre triangles "intérieurs" ont la même aire qui est le quart de l'aire de EFG. Rien de bien compliqué là dedans.

kaprekar6174 a écrit:

pour les probabilités, de définitivement bannir toute tentative d'originalité dans l'énoncé puisque ça ne peut que mal se terminer.

Ou bannir ces exercices stéréotypes sans intérêt que tous les élèves savent faire.

Je ne sais pas où tu travailles, mais on n'a pas les mêmes élèves (et dans le paquet de copies que je corrige présentement, la dérivation d'une produit est loin d'être un acquis pour tous).

Voltaire a écrit:En prenant pour "base" le côté [KG], les triangles KNM,MPN et NGP ont même base car KN = NG = MP (la moitié de KG par le théorème de la droite des milieux), et même hauteur (car (MP) est parallèle à (KG)) donc même aire. Les trois côtés jouant le même rôle, on a de même avec pour base [GE], PGN, PEM et PMN de même aire. Donc les quatre triangles "intérieurs" ont la même aire qui est le quart de l'aire de EFG. Rien de bien compliqué là dedans.

Pas d'accord, sauf à accepter des sous entendus du type "il est évident que". D'une part, encore une fois, le théorème de la droite des milieux ne suffit par à prouver que MP=KG/2. D'autre part, dire que (MP) parallèle à (KG) implique que les triangles KNM,MPN et NGP aient même hauteur (je suppose que "hauteur" désigne ici une distance) sous-entend pas mal de choses (je dirais : pour tous points I, I' est de (MP) et J , J' de (KG) tels que (IJ) perpendiculaire à (MP) et (I'J') perpendiculaire à (MP), on a IJ=I'J', ce qui est démontrable, mais à démontrer).

Encore une fois, je me demandais comment on pouvait résoudre cet exercice en se ramenant à des théorèmes précis du cours, comme à l'époque où on faisait de la géométrie.

Pour le "rien de bien sorcier", je maintiens que cet exercice n'est faisable que par très peu d'élèves, et que les corrigés trouvables sur le net montrent que les collègues ne sont pas clairs non plus sur ce qui était attendu.

Prezbo, j'ai l'impression que tu pars du principe que les sujets ont été écrits convenablement. Dans mon expérience, ce n'est pas le cas. La dernière fois que j'ai corrigé le brevet, nous avons eu droit à :

• une question utilisant une notion officiellement plus au programme
  
• une question utilisant une notion pas encore officiellement au programme
  
• une question qui n'allait nul part (d'interprétation ou je n'aurais pas su quoi dire) qui a été annulée dans le barème officiel
  

Les sujets sont mal écrits. Et encore... ne parlons pas de la mise en page ! (qui peut carrément être mathématiquement fausse). La bonne nouvelle dans tout ca, c'est que je me mets moins la rate au court bouillon quand je ponds un sujet d'interro.

Prezbo a écrit:

kaprekar6174 a écrit:

pour les probabilités, de définitivement bannir toute tentative d'originalité dans l'énoncé puisque ça ne peut que mal se terminer.

Ou bannir ces exercices stéréotypes sans intérêt que tous les élèves savent faire.

Je ne sais pas où tu travailles, mais on n'a pas les mêmes élèves (et dans le paquet de copies que je corrige présentement, la dérivation d'une produit est loin d'être un acquis pour tous).

J'avais cité un extrait parlant des probas.
Ce sont les exos basiques de probas avec arbre, proba d'une branche, probas totales, proba conditionnelle avec division, puis la petite va binomiale et ses deux calculs machine que mes élèves savent tous faire, et qui sont du niveau ancienne ES.

kaprekar6174 a écrit:

Prezbo a écrit:

kaprekar6174 a écrit:

pour les probabilités, de définitivement bannir toute tentative d'originalité dans l'énoncé puisque ça ne peut que mal se terminer.

Ou bannir ces exercices stéréotypes sans intérêt que tous les élèves savent faire.

Je ne sais pas où tu travailles, mais on n'a pas les mêmes élèves (et dans le paquet de copies que je corrige présentement, la dérivation d'une produit est loin d'être un acquis pour tous).

J'avais cité un extrait parlant des probas.
Ce sont les exos basiques de probas avec arbre, proba d'une branche, probas totales, proba conditionnelle avec division, puis la petite va binomiale et ses deux calculs machine que mes élèves savent tous faire, et qui sont du niveau ancienne ES.

Même réponse que Prezbo : nous n'avons pas les mêmes valeurs élèves !
Les miens se plantent simplement parce qu'ils ne savent pas toujours bien lire les énoncés en français, qu'ils ne font pas toujours bien la différence entre une probabilité conditionnelle et la probabilité d'une intersection, qu'il n'est pas rare qu'ils confondent les formules ou qu'ils en inventent... en fait, même les exercices de probabilités les plus ordinaires sont devenus difficiles pour eux et ne sont plus si bien réussis qu'il y a une dizaine d'année (bien qu'ils restent un peu moins catastrophiques que le reste).

Sinon, en écrivant "tentative d'originalité", même si ma phrase n'était pas très explicite, je pensais surtout à ces questions fantaisistes qui sont à la limite des maths (et plutôt de l'autre côté ce cette limite) comme celles où il est demandé d'interpréter un résultat ou de dire quelle donnée serait la plus intéressante en cas d'épidémie ou encore de proposer "par analogie" une définition d'un terme qui n'est pas censé être connu d'après le programme. En probabilités, il est difficile au niveau lycée de pondre un exercice totalement décontextualisé mais il conviendrait de faire en sorte que l'emballage le contexte soit le plus transparent possible c'est-à-dire qu'il n'amène pas en lui-même une difficulté de nature non mathématique.

Des exercices de proba ou de géométrie dans l'espace sont stéréotypés ? Eh bien je ne trouve pas cela très grave, dans le cadre d'un examen. Je ne vois pas bien ce qu'il y aurait d'infâmant à tester des capacités précises. C'est peut-être même ce qu'on pourrait attendre d'un examen certificatif.

Pas mal de collègues du supérieur seraient contents d'être sûrs que les élèves que nous leur envoyons :
- sachent dériver
- sachent calculer des limites
- etc.
le tout sans avoir de guidage ou de réponse deux lignes plus bas.

Inversement, la prétention jargonnante vide de contenu, les contextualisations hors-sol ou faites avec les pieds, les analogies et autres interprétations à la mords-moi-le-nœud, les algorithmes idiots (qui se terminent par un « toute trace de réflexion sera valorisée bla bla bla ») pourraient être bannis que cela ne me chagrinerait pas plus que ça.

kaprekar6174 a écrit:

Prezbo a écrit:

kaprekar6174 a écrit:

pour les probabilités, de définitivement bannir toute tentative d'originalité dans l'énoncé puisque ça ne peut que mal se terminer.

Ou bannir ces exercices stéréotypes sans intérêt que tous les élèves savent faire.

Je ne sais pas où tu travailles, mais on n'a pas les mêmes élèves (et dans le paquet de copies que je corrige présentement, la dérivation d'une produit est loin d'être un acquis pour tous).

J'avais cité un extrait parlant des probas.
Ce sont les exos basiques de probas avec arbre, proba d'une branche, probas totales, proba conditionnelle avec division, puis la petite va binomiale et ses deux calculs machine que mes élèves savent tous faire, et qui sont du niveau ancienne ES.

Toutes mes excuses, je n'avais pas vu que tu parlais des exercices strictement probas conditionnelles/loi binomiale, auquel cas je suis plutôt d'accord.

Cela dit, si on élargit un peu, pour un diplôme de fin d'études secondaires, dans un contexte de massification et de baisse des compétences, je ne suis pas exagérément choqué qu'une épreuve de bac se concentre sur une bonne maîtrise des savoir-faire élémentaires.

On pourrait d'ailleurs remarquer que l'introduction massive des probabilités et des exercices pseudo-contextualisés pompeux, avec leurs questions d'interprétation un peu fumeuses, est une bonne manière de dissimuler le manque de maîtrise d'une bonne partie des bacheliers sur les dérivations, études de limites, déterminations de primitives (ces dernières n'apparaissant plus que de façon évanescente dans les épreuves finales), toutes compétences qui seront déterminantes pour la poursuite des études supérieures scientifiques.

Tout a fait d'accord, et d'ailleurs pour masquer ces difficultés, on met un QCM sans justification, sans point négatif, facile à copier sur le candidat assis devant.

kaprekar6174 a écrit:Tout a fait d'accord, et d'ailleurs pour masquer ces difficultés, on met un QCM sans justification, sans point négatif, facile à copier sur le candidat assis devant.

Et avec une bonne moitié des réponses qu'on peut obtenir par lecture graphique à la calculatrice...même certains de mes élèves pas très brillants s'en sont rendus compte (et ont remarqué la différence de niveau entre le QCM de mercredi et celui de jeudi).

kaprekar6174 a écrit:Tout a fait d'accord, et d'ailleurs pour masquer ces difficultés, on met un QCM sans justification, sans point négatif, facile à copier sur le candidat assis devant.

et on en parle du QCM à 6 questions, noté sur 7 points ?
Tout le monde aura 1 point d'office ou bien il y aura 2 questions comptées 1,5 points ?
mon petit côté autiste a complètement buggé à la lecture de ce fait

J'espère pas car j'ai au moins 2 élèves qui n'ont pas fait le QCM !

Un très bon qui est passé sur sujet 1 et ne trouvait pas le QCM intéressant ...

Un moyen qui est passé sur sujet 2 et a préféré ... l'exo de fonctions de 3 pages.

Ici, je suis surprise du nombre important d'élèves qui se sont payés le luxe de faire les 4 exercices et de choisir à la fin lesquels rendre.
Je me demande s'ils n'auraient pas mieux fait de se concentrer sur 3 exos choisis définitivement au départ ...

bah le mieux c'est de rendre les 4 et le correcteur prendra les 3 meilleurs