introduction produit en croix collège

Bonjour,
Est-ce que quelqu'un parmi vous aurait une idée lumineuse pour introduire l'égalité des produits en croix au collège ?
Parce que j'avoue que je sèche (j'ai rien trouvé de transcendant dans les bouquins) et n'ai pas vraiment envie de me casser la nenette avec ça.
Merci de votre aide et bonne journée.

C est une définition.La donner.
Deux quotients sont égaux si et seulement si ad =bc.
Mais bien insister sur l égalité des quotients plutôt que de parler de produit en croix.

Personnellement j'insiste sur "l'égalité des produits en croix" parce que ça donne explicitement la marche à suivre. Après ça doit dépendre du niveau global des élèves, si j'insiste sur l'égalité de fractions, je les perds sur les tableaux. En revanche, "le produit en croix" ou les "produits en croix" sont ,pour moi, des locutions à bannir, de même que "tableau proportionnel".

Tu peux amener l'égalité avec quelques exemples génériques, mais je ne suis pas un bon enseignant, j'ai arrêté les "activités d'introduction" pour la plupart des notions.

Oh, ce n'est pas une définition puisque ça se démontre.

Pour moi la seule définition est celle du quotient : a/b × b = a .
Donc ad = a/b × bd. Et bc = c/d × bd ...
Mais je pense que notre collègue cherche plutôt une « activité » d'introduction.

Si vous pouviez éviter d'apprendre aux élèves les formules magiques. Ils n'y comprennent rien, ne sont plus capables de voir une situation de proportionnalité et ils essayent au hasard.

Et après ça donne par exemple des infirmières incapables de trouver le dilution à effectuer. (Ma femme travaillait à l'hôpital, et au moins une collègue sur quatre n'arrive pas à faire une dilution correctement.)

Ma petite contribution : une activité jeu sur des balances Roberval ? Je me suis retrouvé dans la situation où, mes élèves ont un prof très défaillant (et n'ont rien fait pendant le confinement) et il fallait que j'explique les équations en troisième. L'activité a bien fonctionné, d'autant plus que j'avais vraiment une balance dans ma salle.

angelxxx a écrit:Si vous pouviez éviter d'apprendre aux élèves les formules magiques. Ils n'y comprennent rien, ne sont plus capables de voir une situation de proportionnalité et ils essayent au hasard.

Et après ça donne par exemple des infirmières incapables de trouver le dilution à effectuer. (Ma femme travaillait à l'hôpital, et au moins une collègue sur quatre n'arrive pas à faire une dilution correctement.)

Ma petite contribution : une activité jeu sur des balances Roberval ?  Je me suis retrouvé dans la situation où, mes élèves ont un prof très défaillant (et n'ont rien fait pendant le confinement) et il fallait que j'explique les équations en troisième. L'activité a bien fonctionné, d'autant plus que j'avais vraiment une balance dans ma salle.

Ca ne m'étonne pas.
Le médecin de ma tante s'est trompé par 2 fois dans son dosage de médicaments pour la thyroïde . Heureusement qu'elle l'a vu :je n'ose pas imaginer si cela n'avait pas été le cas! Mais bon, quand je vois qui de mes élèves vont en médecine

J'ai essayé de leur montrer d'où venait le produit en croix (en 4ème) à partir d'une activité d'introduction, avec les égalités de quotients au départ. Je les ai complètement perdu, une partie de la classe me disant "Bah c'est juste le produit en croix pourquoi on passe par les fractions" pour ceux l'ayant appris comme une formule magique, l'autre partie n'arrivant pas à faire le produit en croix ...

Je dois l'apprendre à mon autre classe de 4ème à la rentrée, donc je vais suivre le fil si il y a des astuces, mais je ne veux pas leur montrer comme une formule magique justement, car sinon ils ne comprennent absolument pas d'où vient la formule et ne font pas le lien avec la proportionnalité ... Je ne céderai pas

Je ne comprends pas pourquoi tu veux introduire les produits croisés au collège.
Ils n'ont pas vu ça au primaire ?

Quel est ton objectif ? Que vas-tu évaluer à la fin du cours ? As-tu quelques types d'exercices en tête ?
Peut-être faut-il d'abord vérifier ce que tes élèves savent déjà faire ?

C'est à quel niveau du collège ?

angelxxx a écrit:Si vous pouviez éviter d'apprendre aux élèves les formules magiques. Ils n'y comprennent rien, ne sont plus capables de voir une situation de proportionnalité et ils essayent au hasard.

Et après ça donne par exemple des infirmières incapables de trouver le dilution à effectuer. (Ma femme travaillait à l'hôpital, et au moins une collègue sur quatre n'arrive pas à faire une dilution correctement.)

Ma petite contribution : une activité jeu sur des balances Roberval ?  Je me suis retrouvé dans la situation où, mes élèves ont un prof très défaillant (et n'ont rien fait pendant le confinement) et il fallait que j'explique les équations en troisième. L'activité a bien fonctionné, d'autant plus que j'avais vraiment une balance dans ma salle.

Si tu pouvais ne pas insinuer que nous sommes incompétents, et si tu jetais un œil à la progressivité de l'apprentissage de la proportionnalité en cycle3/cycle4, ça serait déjà un bon premier point.

Il y a deux problèmes avec l'apprentissage de l'égalité des produits en croix :
- le premier vient du fait que bien souvent il est asséné par des personnes qui ne sont justement pas profs de mathématiques ,avant que celui ci soit vu et expliqué en classe, justement pour éviter le côté formule magique. Il est "montré" sans explication et sans gardes-fous à des élèves qui sont en apprentissage d'une notion qui est très souvent problématique. Et dans adulte, j'entends famille, soutien scolaire, collègues d'autres matières... Et quand je dis avant, c'est parfois en sixième.
- le deuxième (et ce n'est pas une attaque ad hominem, je ne connais pas tes pratiques) vient souvent de collègues de sciences (pc, svt, techno) qui maitrisent l'utilisation de l'égalité des produit en croix en mode "élève", mais l'utilisent sans prendre les précautions nécessaires pour éviter le côté "formule magique" aux élèves. La plupart du temps en faisant un "tableau croix" (comprendre un gros plus dans lequel on place trois valeurs sans en-têtes) puis en sortent un calcul magique qui donne la réponse, parfois en faisant une croix ou un alpha dans le tableau. Bravo champion. Je précise de suite que je n'affabule pas, je tire cette conclusion de plusieurs discussions sur le sujet avec des collègues des dites matières et d'une formation d'échange sur le sujet qui m'a occupé avec ces mêmes collègues de tout un bassin pendant 6 après midi (même si la proportionnalité n'était pas seul sujet).

Après, si tu connais une façon simple de faire entrer la proportionnalité dans le crâne des collégiens avec un taux de réussite de 100% dans le cadre du programme et avec la rigueur nécessaire, partage là, nous seront tous heureux denous en servir.

ben2510 a écrit:Je ne comprends pas pourquoi tu veux introduire les produits croisés au collège.
Ils n'ont pas vu ça au primaire ?

Ben non, c'est la règle de trois (passage à l'unité) qui est au programme de cycle 3. L'égalité des produits en croix est au milieu du cycle 4. Quatrième normalement, donc.

Bonjour,
Je suis enseignante en français mais j'utilise très souvent le produit en croix. Ma question va sans doute sembler bête mais pourquoi dire "produit en croix " pose problème ?

Je ne sais pas si je vais être clair mais je me lance !
Dans mon esprit, je ne voulais pas, dans un premier temps, appuyer l’égalité des produits en croix sur la proportionnalité. Je pensais plutôt m’appuyer sur les fractions en 4ème.
Mon idée, donner 2 fractions (pour lesquelles la calculatrice laisse penser qu’elles sont égales) et demander si elles sont égales ou non en activité rapide de début d’heure.
J’espère que des élèves auront l’idée de les réduire au même dénominateur pour les comparer. Sinon, c’est moi qui donne l’idée.
Je recommence 2 ou 3 fois la même question sur 2 ou 3 séances différentes en début d’heure avec des fractions qui sont égales ou non !
En bilan : je fais remarquer que pour savoir si deux fractions sont égales ou non, il suffit de comparer les produits en croix (les numérateurs des fractions réduites au même dénominateur). Ces exemples sont génériques, on peut généraliser.
J’introduis le vocabulaire « produit en croix » puis je note la propriété dans le cours.
Voilà mon humble idee

belote a écrit:Bonjour,
Je suis enseignante en français mais j'utilise très souvent le produit en croix. Ma question va sans doute sembler bête mais pourquoi dire "produit en croix " pose problème ?  

C'est assez simple à comprendre : il y a le bon «produit en croix» et le mauvais «produit en croix».

Le bon «produit en croix», c'est simple : un élève a un problème de proportionnalité, il n'hésite pas, il n'a même pas besoin de réfléchir, il calcule un «produit en croix». Ça, c'est le bon «produit en croix».

Le mauvais «produit en croix», c'est différent, et c'est vraiment moche. Un élève a un problème de proportionnalité, ça ne rate jamais, il réfléchit même pas, il calcule un «produit en croix». Mais c'est le mauvais «produit en croix».

Plus sérieusement : le terme «produit en croix» peut relever du réflexe bien compris et dans ce cas, notre cœur de pédagogue fond de bonheur ou de la recette de cuisine mal assimilée et dans ce cas, notre cœur de pédagogue se révolte face aux bêtises écrites au nom d'une méthode qui n'a pas été comprise.

@fenrir : sympa... J'ai un collègue défaillant et tu généralises. Je disais simplement que ce serait bien de ne pas montrer de formule magique : je préfère un élève qui ne sait pas faire et qui l'avoue qu'un élève qui croit savoir faire en ne comprenant pas pourquoi ça marche des fois et pas d'autres.

Pour tes collègues de physique, je suis désolé. J'en connais aussi qui utilise le triangle magique pour la formule de la vitesse. D'un côté c'est compréhensible : comme ils ne comprennent plus rien et qu'on a un programme a boucler, et comme on est pas prof de math, bah on veut trouver un moyen détourné d'y arriver. C'est une très mauvaise idée. Chez nous on contraire on s'est regroupé, et on utilise tous la même façon de faire quelque soit la matière , que ce soit pour la proportionnalité ou encore les graphiques. Ça donne un cadre, et comme on le fait tous, svt, spc, math, hg... Et bah ça marche plutôt bien. C'est plus compliqué pour le prof qui a ses habitudes et qui ne veut pas trop changer, mais en rep+ on bouge pas mal, donc ça ne concerne pas grand monde chaque année.

brac a écrit:Je ne sais pas si je vais être clair mais je me lance !
Dans mon esprit, je ne voulais pas, dans un premier temps, appuyer l’égalité des produits en croix sur la proportionnalité. Je pensais plutôt m’appuyer sur les fractions en 4ème.
Mon idée, donner 2 fractions (pour lesquelles la calculatrice laisse penser qu’elles sont égales) et demander si elles sont égales ou non en activité rapide de début d’heure.
J’espère que des élèves auront l’idée de les réduire au même dénominateur pour les comparer. Sinon, c’est moi qui donne l’idée.
Je recommence 2 ou 3 fois la même question sur 2 ou 3 séances différentes en début d’heure avec des fractions qui sont égales ou non !
En bilan : je fais remarquer que pour savoir si deux fractions sont égales ou non, il suffit de comparer les produits en croix (les numérateurs des fractions réduites au même dénominateur). Ces exemples sont génériques, on peut généraliser.
J’introduis le vocabulaire « produit en croix » puis je note la propriété dans le cours.
Voilà mon humble idee

oh, oui, je commence aussi par les fractions, c'est de là que ça vient après tout.

@angelxxx ma réponse ne s'appliquait pas à la dernière partie de ton message, peut-être aurais je du la supprimer de ma citation. Oh, et relis bien ton premier paragraphe, imagine qu'un prof de math vienne te demander de bien expliquer un point de programme particulièrement casse gueule avec condescendance, et ensuite ré-évalue ma réaction. C'est vrai qu'après tout, tu n'as pas du tout généralisé.

Deux quotients sont égaux si et seulement si ad =bc.

On n'utilise plus de "si et seulement si" au collège depuis très longtemps. Ce qui est bien dommage d'ailleurs.

J'irai lire le programme de mathématiques quand j'aurais cinq minutes, mais le fait qu'un professeur de mathématiques parle de produits en croix m'irrite. Maintenant si c'est le terme consacré... Pour moi le produit en croix c'est justement la formule magique, donc pour moi, il ne faudrait pas l'apprendre.

Perso je pars sur deux fractions qui, lorsqu'on fait les quotients avec la calculette qui arrondissent , ils trouvent des résultats égaux mais avec le produit en croix, on se rend compte qu'en fait elles ne sont pas égales. Du coup, cela "légitime" la méthode.
Après, je ne pense pas qu'il faille parler du produit en croix avant la classe de quatrième. Sinon, les élèves l'appliquent sans comprendre les propriétés de la proportionnalité.

Bonjour,
Je suis enseignante en français mais j'utilise très souvent le produit en croix. Ma question va sans doute sembler bête mais pourquoi dire "produit en croix " pose problème ?

En général quand on parle du "produit en croix" alors on utilise une technique de calcul pour trouver un nombre manquant dans une situation de proportionnalité basée sur l'égalité des produits en croix car il y a bien deux produits en croix qui sont égaux lorsqu'il y a proportionnalité (ou bien avec deux fractions égales)

Donc parler du "produit en croix" au singulier est un abus de langage mais l'important c'est surtout de savoir l'utiliser correctement. Car dire on utilise "le produit en croix" ou bien "l'égalité des produits en croix" ne change pas grand chose, surtout qu'en général on écrit exactement le même calcul et on n'écrit pas le nom de la technique employée.

Je vois que j’ai semé la zizanie.
Loin de moi l’idée de juger telle ou telle pratique.
Dans mon fort intérieur, je pense que l’important est de donner du sens pour que nos élèves puissent s’adapter à une situation nouvelle (même si j’avoue que le produit en croix, on l’utilise toujours pour calculer une 4e proportionnelle !)
Néanmoins, dans mon esprit, je le vois dans le cadre des fractions d’abord, ce qui me permet de légitimer la formule magique en proportionnalité !
Et puis parfois, le sens, quand ça ne passe pas, je passe en force. Je leur dit : « fais comme ça et puis c’est tout !!! Mais je sais bien que j’aurai des pbs plus tard !!! »
Bonne fin de journee

angelxxx a écrit:J'irai lire le programme de mathématiques quand j'aurais cinq minutes, mais le fait qu'un professeur de mathématiques parle de produits en croix m'irrite. Maintenant si c'est le terme consacré... Pour moi le produit en croix c'est justement la formule magique, donc pour moi, il ne faudrait pas l'apprendre.

Un prof de math parle des produits en croix mais pas du produit en croix car il y a deux produits en croix. Je me souviens encore de l'activité de mon prof de math en 5ème avec les produits des extêmes et des moyens, je trouvais cette appellation plutôt jolie.

Ensuite, oui, par abus de langage avec  5/20 = y/100 on utilise souvent la technique de calcul y = 5*100/20 qu'on appelle par abus de langage le produit en croix. Ce n'est pas une formule magique. Je ne comprends pas bien pourquoi il ne faudrait pas apprendre une technique qui est au programme ???

Voici un extrait : https://cache.media.eduscol.education.fr/file/Proportionnalite_/09/2/RA16_C4_MATH_RESOU_PROPO_555092.pdf

Dans un contexte numérique, l’enseignant peut :• s’appuyer sur les acquis du cycle 3, principalement sur la résolution des problèmes impli-quant la proportionnalité en effectuant un retour à l’unité ;• travailler les autres méthodes de détermination d’une quatrième proportionnelle, en déga-geant les avantages et les inconvénients de chacune d’entre elles :- les propriétés d’additivité et d’homogénéité d’un tableau de proportionnalité ;- le coefficient de proportionnalité ;- le « produit en croix » ;- la « règle de trois ».On développe chez l’élève un sens critique quant au choix de la méthode la plus appropriée, selon les données fournies (retour à l’unité donnant un nombre non décimal) ou la question posée (faut-il trouver une valeur manquante ou plusieurs ?)

Le passage par l’unité est plus simple, et ce n'est pas une recette !

Je suis depuis 23 ans en collège, changement de méthode chaque année (j'abuse !)

règle de trois, puis tableaux de proportionnalité ...

Revenir à du concret : "si on connais le prix de trois yoghourt, quel est le prix de quatre ! !"

angelxxx a écrit:J'irai lire le programme de mathématiques quand j'aurais cinq minutes, mais le fait qu'un professeur de mathématiques parle de produits en croix m'irrite. Maintenant si c'est le terme consacré... Pour moi le produit en croix c'est justement la formule magique, donc pour moi, il ne faudrait pas l'apprendre.

Pour un anneau intègre, on définit sur les couples (numérateur, dénominateur) une relation d'équivalence grâce à l'égalité des produits en croix, et on construit le corps des fractions comme l'ensemble des classes d'équivalence de cette relation, muni des opérations d'addition et de multiplication habituelles.

L'égalité des produits en croix n'est pas une formule magique, c'est le moyen de définir une fraction en se basant sur la multiplication, dans une approche axiomatique.

Ensuite, faire le lien entre les fractions et les situations de proportionalité, c'est tout un art. C'est là que le mélange entre "produit en croix", "règle de trois", "passage à l'unité", comme méthodes plus ou moins comprises pour résoudre un problème d'obtention de quatrième proportionnelle peut créer de la confusion chez les élèves.

Je ne vois vraiment pas où est la difficulté avec le produit en croix quand on pose bien le problème.

J'utilisais des flèches avec les unités :

xx mètres -----> xx  heures
xx mètres -----> ?? heures

Et ça passait bien.  Il suffit juste de bien traduire l'énoncé par rapport à ce que l'on cherche ... je n'ai jamais vu un élève se planter en posant bien ce que l'on connait et ce que l'on cherche. La difficulté est que bien souvent, ils ne veulent pas traduire l'énoncé et cherche un pseudo calcul dans la tête.
Et je ne vois pas le mal à automatiser le produit de la diagonale divisé par la 3e valeur que l'on connait ...

En 4e, on peut démontrer l’équivalence   a/b = c/d   <=>   ad = bc  .

A partir d'observations fraction/tableau proportionnalité on conjecture puis on prouve que  l'égalité a/b = c/d entraîne l'égalité ad = bc.
Pour ce faire, on peut tout simplement mettre a/b et c/d au même dénominateur et le résultat est immédiat.

Pour la réciproque, on peut partir de deux fractions un peu compliquées dont on cherche à savoir si elles sont égales. On peut conjecturer qu'elle sont égales via les produits en croix, puis on prouve que si on a ad = bc alors on a a/b = c/d en calculant par exemple  a/b - c/d...

Je ne me risquerais cependant pas à faire cela sans un public capable de réfléchir  plus de 2 minutes ... sinon tu balances l'équivalence et surtout tu trouves de bons petits exos : trouver un nombre manquant dans une égalité de fractions, trouver pourquoi deux fractions "compliquées" ne sont pas égales (en calculant seulement le chiffre des unités des produits en croix), trouver un chiffre des unités (au numérateur ou au dénominateur) dans une égalité de deux fractions, des petits problèmes, ...  Agrémente le tout de situation où il n'y a pas de proportionnalité bien sûr


Pourquoi est-ce qu'il n'y aurait plus de si et seulement si au collège ? Comment formule-t-on la fameuse proposition pour résoudre une équation produit-nul alors ? On met il faut et il suffit ?

Le produit en croix est aussi très pratique pour les équations avec des quotients (une fois l'ensemble de def donné).

Monsieur_Tesla a écrit:Le passage par l’unité est plus simple, et ce n'est pas une recette !

Je suis depuis 23 ans en collège, changement de méthode chaque année (j'abuse !)

règle de trois, puis tableaux de proportionnalité ...

Revenir à du concret : "si on connais le prix de trois yoghourt, quel est le prix de quatre ! !"

"C'est quoi un ioguourte, m'sieur !?"

Pendant le confinement j'avais tenté de faire une vidéo sur l'égalité des produits en croix. J'étais parti d'un tableau de proportionnalité mais j'étais aussi passé par les fractions.
Barc si cela t'intéresse écris-moi en mp.

Pour résumer mon activité
1/ Je pars d'un tableau de proportionnalité complété par les élèves
2/ On calcule les produits en croix en on constate qu'ils sont égaux à chaque fois (c'est important d'écrire les produits en croix séparement)
3/ On fait la preuve sur un exemple puis dans le cas général avec des lettres (a, b, c, d non nuls) :
a/a*c = b/b*c où "c" est le coef de proportionnalité => a * b * c = a * c * b
4/ Bilan 1 : Dans un tableau de proportionnalité les produits en croix sont égaux
5/ Réciproque ?
6/ on part de a*d = b*c (=p)
on se demande si a/b = c/d ? (c'est à dire les quotients du tableau sont-ils égaux) (c'est intéressant de constater au passage qu'on peut échanger b et c)
a/b = a*d / b*d = a*d*c/b*d*c = c*p/d*p = c/d (je fais d'abord la même démo avec un exemple numérique)
7/ Bilan 2 : Si les produits en croix sont égaux alors c'est un tableau de proportionnalité.

Quand on passe de l'exemple numérique détaillé à la preuve en calcul littéral les élèves suivent plutôt bien.

Je pense qu'on peut faire la même chose uniquement avec des fractions.