introduction produit en croix collège

Pendant le confinement j'avais tenté de faire une vidéo sur l'égalité des produits en croix. J'étais parti d'un tableau de proportionnalité mais j'étais aussi passé par les fractions.
Barc si cela t'intéresse écris-moi en mp.

Pour résumer mon activité
1/ Je pars d'un tableau de proportionnalité complété par les élèves
2/ On calcule les produits en croix en on constate qu'ils sont égaux à chaque fois (c'est important d'écrire les produits en croix séparement)
3/ On fait la preuve sur un exemple puis dans le cas général avec des lettres (a, b, c, d non nuls) :
a/a*c = b/b*c où "c" est le coef de proportionnalité => a * b * c = a * c * b
4/ Bilan 1 : Dans un tableau de proportionnalité les produits en croix sont égaux
5/ Réciproque ?
6/ on part de a*d = b*c (=p)
on se demande si a/b = c/d ? (c'est à dire les quotients du tableau sont-ils égaux) (c'est intéressant de constater au passage qu'on peut échanger b et c)
a/b = a*d / b*d = a*d*c/b*d*c = c*p/d*p = c/d (je fais d'abord la même démo avec un exemple numérique)
7/ Bilan 2 : Si les produits en croix sont égaux alors c'est un tableau de proportionnalité.

Quand on passe de l'exemple numérique détaillé à la preuve en calcul littéral les élèves suivent plutôt bien.

Je pense qu'on peut faire la même chose uniquement avec des fractions.

Pourquoi est-ce qu'il n'y aurait plus de si et seulement si au collège ?

Bonne question, je ne sais pas pourquoi ? Mais c'est la réalité on le voit plus au collège tout comme le symbole <=>

Pour les équations produit on utilise : "Si un produit est nul alors ..."

Je sais que ce n'est pas rigoureux mais c'est ainsi.

Proton a écrit:
Et ça passait bien.  Il suffit juste de bien traduire l'énoncé par rapport à ce que l'on cherche ... je n'ai jamais vu un élève se planter en posant bien ce que l'on connait et ce que l'on cherche. La difficulté est que bien souvent, ils ne veulent pas traduire l'énoncé et cherche un pseudo calcul dans la tête.
Et je ne vois pas le mal à automatiser le produit de la diagonale divisé par la 3e valeur que l'on connait ...

C'est bien là le nœud du problème.

Et j'insiste vraiment sur "l'égalité des produits en croix", parce que c'est une foutue égalité de deux foutus produits trouvés en faisant une foutue croix (j'ai un peu de mal avec les classes d'équivalence et la construction de Q en 4ème rep+ voyez) quelque soit la représentation choisie pour la matérialiser (tableau, fractions, flèches) si tant est qu'on l'ai traduite correctement. Et même si on omet le passage ad=bc pour passer directement à  a = bc/d au bout d'un certain temps, ça n'a rien d'une recette magique.
D'ailleurs dans la progression globale sur la proportionnalité, ça arrive en toute fin, juste avant l'approche graphique et fonctionnelle.

Pour en revenir à la question initiale, je pars bien sûr des fractions.
Dépendamment du niveau de la classe soit je donne là propriété et on observe comment elle fonctionne, soit je demande de tester des égalité de fractions de difficultés inégales en partant de truc bidons avec des coefficient 2-3-5 pour arriver à un coefficient plus sympa genre 23 ou 29 (ça peut bien sûr être pire)
Toujours en fonction de la classe et en fonction de comment ça se passe, je donne la réponse, je fais observer les produits, j'aiguille plus ou moins...

Dans tous les cas ils appliquent sur suffisamment d'exemples fractionnaire avant de passer au relations de proportionnalité. Notion de proportionnalité qui aura été revue au préalable, et notamment vérifier qu'un tableau représente une relation de proportionnalité, c'est ce qui me permet le mieux de faire le lien (je n'ai pas dit que c'est la panacée hein, c'est ce qui marche le mieux en général avec mon public pour la modélisation de la situation). Je me base aussi pas mal sur la couleur, je fais tracer la croix avec deux branches de couleurs différentes et écrire/entourer les produits avec les couleurs correspondantes. Ça marche pas mal avec les élèves sérieux, moins avec les autres (mais qu'est ce qui marche avec les autres). "Méthode" que je réutilise bien évidemment avec les tableaux, flèches...

Monsieur_Tesla a écrit:Le passage par l’unité est plus simple, et ce n'est pas une recette !

Certes, mais quand tu commence à bricoler avec des rationnels, tout de suite ça fini par poser problème. (pas à moi hein)

Au final le passage à l'unité cela donne un calcul du genre : (a/b)*c et l'égalité des produits en croix donne : (a*c)/b parfois c'est vraiment difficile de savoir quelle est la méthode suivie par l'élève car c'est finalement le même calcul, et avec le passage par l'unité on peut très bien avoir envie de faire a*c avant de diviser par b si c'est plus facile surtout qu'on a appris en 6ème que : a/b*c = (a*c)/b = a* c/b.

La méthode utilisée se retrouve dans la rédaction de l'exercice en général.

Un passage à l'unité va se voir (calcul de la valeur correspondant à l'unité puis celle correspondant à la valeur demandée), le calcul du coefficient aussi (fraction/division via un tableau en général puis multiplication), de la même manière que l'utilisation de l'égalité des produits en croix (croix visible sur modélisation ou ab/c direct), et même des propriétés de linéarité qui s'apparentent souvent à du bricolage sur des valeurs inadaptées malheureusement. Sauf si bien sûr ils ne rédigent rien, ce qui est souvent la source du problème.
De toute façon, en dehors des chapitres d'apprentissage, je ne les oblige à aucune méthode en particulier, l'important c'est que leur réponse soit correcte et justifiée, et si possible qu'ils aient choisi la méthode la plus adaptée.

@Fenrir : je parlais du cas où le passage à l'unité ne tombe pas juste et dans ce cas quand les élèves écrivent uniquement le calcul en une seule expression c'est difficile de savoir comment ils ont procédé, c'est très courant dans les exercices de pourcentages. Pour moi la méthode la plus adaptée passe par les produits en croix mais j'ai des élèves qui repassent systématiquement par la valeur 1% dans leur démarche (sans effectuer le calcul intermédiaire), et je m'en rends compte uniquement quand je leur demande d'expliquer leur démarche aux autres à l'oral.

ah, pour les pourcentages on est sur un autre problème étrangement.

Expliquez moi comment, avec passage à l'unité, vous espérez obtenir d'un élève de seconde qu'il résolve (x + 3)/2 = (2 x + 5)/3 rapidement et sans erreur ...

Après on peut comprendre qu'un élève passe à l'unité sur un problème étiqueté proportionnalité, mais utilise un autre principe sur une équation de ce type (comme ×2×3 ou des produits en croix égaux).

Voltaire a écrit:Expliquez moi comment, avec passage à l'unité, vous espérez obtenir d'un élève de seconde qu'il résolve (x + 3)/2 = (2 x + 5)/3 rapidement et sans erreur ...

En 3ème, on leur demanderait de multiplier les deux membres par 6, ou bien d'écrire l'égalité des produits en croix, ou bien de soustraire par (2x + 5)/3, mais je ne vois pas pourquoi un élève penserait au passage par l'unité dans une résolution d'équation car nous sommes tout de même assez loin d'une situation de proportionnalité pour un élève de troisième.

Au passage, le prof de seconde de ma fille interdisait le passage par l'égalité des produits en croix pour résoudre des équations de ce style (avec des x au dénominateur) et il imposait le passage par la mise au même dénominateur, je me demande bien pourquoi ? C'est vrai qu'il était un peu bizarre car j'ai cru qu'il voulait éviter l'oubli du cas où on multiplie par zéro mais finalement dans son cours il l'oublait lui-même à la fin de sa méthode de résolution.

Malheureusement Thalès est étiqueté proportionnalité, égalité de fractions aussi, et "quatrième proportionnelle" quasiment un acte de foi, et manque de chance 9 fois sur 10 ils se plantent, alors qu'auparavant, avec un tableau ou des fractions bien écrits et le "produit en croix" ça passait crème. Et oui, c'était peut être du savoir-faire sans savoir, mais au moins on faisait, et maintenant ni on sait ni on fait ...

Et multiplier par 6, je veux bien, mais quel élève va dire spontanément 6 x (1/2) = 3 ??? Pas les miens, du moins pas sans calculatrice, et je suis dans un lycée plutôt favorisé. Et même le rapport entre 2 et 3 au dénominateur et multiplier par 6 ... ça va faire l'objet d'une discussion ...

Voltaire a écrit:Malheureusement Thalès est étiqueté proportionnalité, égalité de fractions aussi, et "quatrième proportionnelle" quasiment un acte de foi, et manque de chance 9 fois sur 10 ils se plantent, alors qu'auparavant, avec un tableau ou des fractions bien écrits et le "produit en croix" ça passait crème. Et oui, c'était peut être du savoir-faire sans savoir, mais au moins on faisait, et maintenant ni on sait ni on fait ...

Quel est l'intérêt de savoir utiliser le théorème de Thalès sans rien y comprendre ?

@Voltaire : pour toi c'est quoi "quatrième proportionnelle" ?

Pour moi, calculer une quatrième proportionnelle c'est utiliser une méthode parmi plusieurs.

Voltaire a écrit:Expliquez moi comment, avec passage à l'unité, vous espérez obtenir d'un élève de seconde qu'il résolve (x + 3)/2 = (2 x + 5)/3 rapidement et sans erreur ...

Le passage à l'unité arrive très vite à ses limites en terme de praticité d'usage, c'est d'ailleurs pour cela qu'il est abordé assez tôt (fin de CM2 quand le collègue à le temps, souvent 6ème) et sur des cas simples. Note que sur ton exemple, on sort quand même du champ de la proportionnalité tel qu'entendu par les programmes du collège.

En troisième on peut gérer ça en multipliant les deux membres par 6, mais c'est un peu poussif (et ça revient au même que d'utiliser l'égalité des produits en croix). Ceci dit ça reste dans le cadre du programme sur les équations.

Pour revenir sur "calculer une quatrième proportionelle" justement, c'est trouver la quatrième valeur pour qu'il y ait proportionnalité. À aucun moment, et sauf mention du contraire dans l'énoncé, ça n'oriente l'élève vers l'utilisation d'une méthode plutôt qu'une autre, et même si on s'en tient au programme, il est attendu de l'élève qu'il utilise la méthode la plus adaptée.

Merci pour vos réponses. Si j'ai bien compris, on ne dit pas le produit en croix mais les produits en croix et c'est comme les chasseurs, il y a les bons produits en croix et les mauvais produits en gros. Je repars sur la pointe des pieds mais vos débats sont intéressants.

@belote : au sujet du produit en croix on voit bien que les documents officiels écrivent "produit en croix" entre guillements et au singulier donc l'abus de langage est devenu assez usuel.

Et multiplier par 6, je veux bien, mais quel élève va dire spontanément 6 x (1/2) = 3 ??? Pas les miens, du moins pas sans calculatrice, et je suis dans un lycée plutôt favorisé. Et même le rapport entre 2 et 3 au dénominateur et multiplier par 6 ... ça va faire l'objet d'une discussion ...

On peut aussi mettre les deux fractions sur 6 en faisant appel à la méthode vue en 5ème pour comparer deux fractions avec la mise au même dénominateur.

Et pour le 6 x (1/2) = 3 qui peut poser problème on peut aussi utiliser une base plus solide de 4ème :

[ 6 x (2x +1) ] / 2 = [ 3 x 2 x (2x+1)] /2 et on simplifie par 2 et on obtient 3(2x + 1) c'est d'ailleurs très intéressant car je sais qu'au lycée les erreurs de simplification sont très courantes donc c'est l'occasion de rappeler que c'est possible car il y a 3 facteurs au numérateur dont (2x+1)...

Quand je parlais de multiplier par 6, je prenais un raccourcis visiblement malheureux. Il s'agissait bien sûr de multiplier chaque membre successivement par 2 et 3 en se servant des règles apprises pour la résolution des équations de type ax+b=cx+d.

Fenrir a écrit:
Si tu pouvais ne pas insinuer que nous sommes incompétents, et si tu jetais un œil à la progressivité de l'apprentissage de la proportionnalité en cycle3/cycle4, ça serait déjà un bon premier point.

ben2510 a écrit:Je ne comprends pas pourquoi tu veux introduire les produits croisés au collège.
Ils n'ont pas vu ça au primaire ?

Ben non, c'est la règle de trois (passage à l'unité) qui est au programme de cycle 3. L'égalité des produits en croix est au milieu du cycle 4. Quatrième normalement, donc.

Je répète, comme d'hab: on appelle règle de trois le calcul contenant trois nombres avec une multiplication et une division, comme 6cm×400g/9cm (Problème type: 9 cm de saucisse vegane sèche pèsent 400g, combien pèseront 6cm ?)

Le passage à l'unité, l'égalité des produits en croix et la quatrième proportionnelle sont des techniques permettant de trouver la règle de trois, c'est-à-dire le calcul à faire dans une situation relevant de la proportionnalité.

Passage à l'unité: on cherche pour 6cm, commençons donc par 1 cm. 9cm pèsent 400g donc 1 cm pèse 400g/9. Plus qu'à calculer pour 6cm: 400g/9×6.

Égalité des produits en croix: les quantités sont en proportion 400g : 9 cm = ? g : 6 cm. le produit des extrêmes est égal au produit des moyens, comme on disait en étudiant les rapports. C'est ce qu'on appelle l'égalité des produits en croix (quand on écrit ça en fraction). Cette méthode nécessite la résolution d'une équation, on trouve que ? × 9 = 400×6.

Quatrième proportionnelle: C'est une simplification de l'égalité des produits en croix qui donne directement le calcul: on divise par le nombre «seul sur sa diagonale»
400/9 = ? / 6
Les nombres en diagonale sont multipliés, on divise par celui qui est seul:
? = 400×6/9
En général pour la quatrième proportionnelle on écrit les nombres dans un tableau 2×2.

On peut aussi calculer le coefficient de proportionnalité (exact) d'abord et l'utiliser. Cela nécessite de savoir multiplier et diviser par une fraction.

Historiquement, les problèmes de proportionnelle s'apprenaient par le passage à l'unité. Celui-ci faisait l'objet d'un raisonnement écrit en français, il ne s'agissait pas (comme j'ai vu faire) de remplir un tableau dans lequel on a mis "1" quelque part.

Le tableau de proportionnalité, lui, n'a commencé à exister qu'avec la réforme des maths moderne (1971) et devrait la suivre dans l'oubli, tant c'est n'importe quoi (et il en va de même du coefficient de proportionnalité qui va avec). Pour rappel le but de l'introduction du tableau de proportionnalité, c'était de préparer l'étude des applications linéaires.

Voltaire a écrit:Expliquez moi comment, avec passage à l'unité, vous espérez obtenir d'un élève de seconde qu'il résolve (x + 3)/2 = (2 x + 5)/3 rapidement et sans erreur ...

Cet exemple ne relève pas de la proportionnalité mais de la résolution d'équation. On peut virer les dénominateurs (on met tout sur le même dénominateur et on le vire en multipliant par cette valeur) ou "développer" les fractions. Ces deux méthodes appliquent, in fine, les techniques de calculs de fraction.

Je suis désolée de m'être si mal exprimée. Un problème de géométrie impliquant l'utilisation du théorème de Thalès (une histoire bien classique de rectangle inscrit dans un triangle rectangle) amenait à poser l'équation du type de celle que j'ai proposée. Donc, effectivement, une situation de proportionnalité qui amène à une équation sous forme d'égalité de fractions. Sur trois classes de seconde de 35 élèves "standard" d'un lycée assez favorisé (celles de mon stagiaire puis la mienne), en milieu d'année scolaire, le taux de réussite a été de 0 %. Je ne parle pas de la mise en équation, qui elle aussi a posé problème. On y est arrivé plus ou moins collectivement, puis il s'est agi de résoudre (travail isolé ou en ilot, on a essayé diverses approches). Pour résoudre l'équation (en plus dans mon lycée, en seconde ils ne savent plus écrire des fractions avec numérateur et dénominateur, seulement avec /), ils sont passés par x/2 + 3/2 = (2x)/3 + 5/3 puis la plupart est restée bloquée là (et je ne parle même pas du (2x)/3 qui a donné lieu à de nouvelles erreurs de parenthésage). Une partie a bien tenté le regroupement des x en x/2 - (2x)/3 = 5/3 - 3/2, certains ont même esquissé la mise au même dénominateur, sans y parvenir ou sans parvenir à simplifier ensuite. Dans mon esprit (et celui du stagiaire, pauvre âme), il suffisait d'écrire (x + 3)/2 = (2 x + 5) 3 <=> 3 (x + 3) = 2 (2x + 5), développer, résoudre, et "hop" !

ycombe a écrit: Quatrième proportionnelle: C'est une simplification de l'égalité des produits en croix qui donne directement le calcul: on divise par le nombre «seul sur sa diagonale»...

J'ai peut être mal compris, mais tu fais un catalogue de méthode pour la quatrième proportionnelle, alors qu'avec la même présentation tu définies les autres termes. Pour ma part, la définition de la quatrième proportionnelle est celle de Stella Baruk (dico de mathématiques) ou de wikipedia ("La quatrième proportionnelle est le quatrième nombre à mettre dans un tableau de proportionnalité dont 3 cases sont déjà remplies").

Voltaire a écrit:Expliquez moi comment, avec passage à l'unité, vous espérez obtenir d'un élève de seconde qu'il résolve (x + 3)/2 = (2 x + 5)/3 rapidement et sans erreur ..

Mon problème, au collège, c'est que les élèves ne comprennent pas ce qu'est la proportionnalité. J'ai des 6e qui arrivent du primaire en ne connaissant que la règle de 3 pour résoudre un problème de proportionnalité. Dans le meilleur des cas ils font un tableau et une règle de 3. Dans le pire, ils font ce calcul dès qu'ils ont un tableau en rangeant les mesures des grandeurs n'importe comment.

Mon premier travail est de leur désapprendre. De leur interdire d'utiliser la règle de trois pour qu'ils utilisent des tableaux en utilisant des liens entre les grandeurs (quand je multiplie l'une par 12, je multiplie l'autre par 12, etc.).

En lisant Ycombe, je me dis qu'il faudrait que je passe plus souvent par l'écrit, je te remercie du petit détail historique qui me permet de prendre un peu plus de recul sur les tableaux.

Quand ils ont compris, je passe à l'égalité des produits en croix puis à la règle de 3. Au passage, je suis plutôt embêtant sur l'utilisation du terme "produit en croix" qui bien qu'accepté est, pour moi, vide de sens. L'égalité du/des produits en croix à bien plus de sens, on a une égalité, entre deux produits qui sont formés  sur le modèle d'une  "croix".

Cette égalité des produits en croix est très facile à montrer avec le concept de coefficient de proportionnalité. Et grâce à la mécanique acquise avec les équations, on peut peut généraliser la règle de 3. Pour ma part, balancer la règle de 3 tout de suite est contre productif : Les élèves sont contents parce qu'ils appliquent une recette sans la comprendre, or ne pas comprendre la proportionnalité, c'est ne pas savoir quand l'appliquer.

Anda91 a écrit:Mon problème, au collège, c'est que les élèves ne comprennent pas ce qu'est la proportionnalité. J'ai des 6e qui arrivent du primaire en ne connaissant que la règle de 3 pour résoudre un problème de proportionnalité. Dans le meilleur des cas ils font un tableau et une règle de 3. Dans le pire, ils font ce calcul dès qu'ils ont un tableau en rangeant les mesures des grandeurs n'importe comment.

Grand moment de solitude garanti en 6e: demander aux élèves la définition d'une situation de la proportionnalité.

La règle de trois vient des parents / grands-parents : pour les non-matheux, c'est ce qu'il reste en général.

Après, je suis plus vicieux que ça : pour des petites interrogations où la calculatrice est interdite, je me débrouille pour qu'appliquer la règle de trois soit pratiquement impossible, cela les force à chercher un peu . Je les préviens avant quand même !

Personne n'utilise la présentation avec des flèches pour poser le problème au lieu d'un tableau à 4 cases ?
Je n'ai jamais aimé ces petits tableaux ... où alors il faut une "légende" pour chaque ligne.
On peut aussi écrire sous forme de fraction. Dans tous les cas, il me semble important de bien faire figurer les unités partout.