introduction produit en croix collège

Personne n'utilise la présentation avec des flèches pour poser le problème au lieu d'un tableau à 4 cases ?
Je n'ai jamais aimé ces petits tableaux ... où alors il faut une "légende" pour chaque ligne.
On peut aussi écrire sous forme de fraction. Dans tous les cas, il me semble important de bien faire figurer les unités partout.

ycombe a écrit:

Anda91 a écrit:Mon problème, au collège, c'est que les élèves ne comprennent pas ce qu'est la proportionnalité. J'ai des 6e qui arrivent du primaire en ne connaissant que la règle de 3 pour résoudre un problème de proportionnalité. Dans le meilleur des cas ils font un tableau et une règle de 3. Dans le pire, ils font ce calcul dès qu'ils ont un tableau en rangeant les mesures des grandeurs n'importe comment.

Grand moment de solitude garanti en 6e: demander aux élèves la définition d'une situation de la proportionnalité.

"Deux fois plus de bras, deux fois plus de chocolat" ?

ben2510 a écrit:

ycombe a écrit:

Anda91 a écrit:Mon problème, au collège, c'est que les élèves ne comprennent pas ce qu'est la proportionnalité. J'ai des 6e qui arrivent du primaire en ne connaissant que la règle de 3 pour résoudre un problème de proportionnalité. Dans le meilleur des cas ils font un tableau et une règle de 3. Dans le pire, ils font ce calcul dès qu'ils ont un tableau en rangeant les mesures des grandeurs n'importe comment.

Grand moment de solitude garanti en 6e: demander aux élèves la définition d'une situation de la proportionnalité.

"Deux fois plus de bras, deux fois plus de chocolat" ?

Si au moins ils disaient un truc comme ça. En général, c'est plutôt la proportionnalité, c'est quand on résout les problèmes avec un tableau.

Sic transit gloria calculi

Manu7 a écrit:@Fenrir : je parlais du cas où le passage à l'unité ne tombe pas juste et dans ce cas quand les élèves écrivent uniquement le calcul en une seule expression c'est difficile de savoir comment ils ont procédé, c'est très courant dans les exercices de pourcentages. Pour moi la méthode la plus adaptée passe par les produits en croix mais j'ai des élèves qui repassent systématiquement par la valeur 1% dans leur démarche (sans effectuer le calcul intermédiaire), et je m'en rends compte uniquement quand je leur demande d'expliquer leur démarche aux autres à l'oral.

Exemple tiré du LH: 6 ouvriers pavent 10 m de rue en une semaine, combien faut-il d'ouvriers pour paver 25m en une semaine?

On trouve le bon résultat par la réduction à l'unité, mais cela conduit à un résultat de 0,6 ouvrier par mètre, à éviter. Dans ce cas au lieu de passer par l'unité on passe par le produit. On calcule pour 10m×25 en faisant 6 ouvriers ×25, et on divise par 10 ensuite.

Proton a écrit:Personne n'utilise la présentation avec des flèches pour poser le problème au lieu d'un tableau à 4 cases ?
Je n'ai jamais aimé ces petits tableaux ... où alors il faut une "légende" pour chaque ligne.
On peut aussi écrire sous forme de fraction. Dans tous les cas, il me semble important de bien faire figurer les unités partout.

Pour moi faire des mathématiques, c'est raisonner. On doit écrire son raisonnement. On fait des phrases et pis c'est tout. Je pense que tout autre méthode se transforme immanquablement en boite noire. Déjà que parfois, les phrases deviennent aussi des boîtes noires…

Pas de flèches, pas de tableaux: des phrases.

Anda91 a écrit:

ycombe a écrit: Quatrième proportionnelle: C'est une simplification de l'égalité des produits en croix qui donne directement le calcul: on divise par le nombre «seul sur sa diagonale»...

J'ai peut être mal compris, mais tu fais un catalogue de méthode pour la quatrième proportionnelle, alors qu'avec la même présentation tu définies les autres termes. Pour ma part, la définition de la quatrième proportionnelle est celle de Stella Baruk (dico de mathématiques) ou de wikipedia ("La quatrième proportionnelle est le quatrième nombre à mettre dans un tableau de proportionnalité dont 3 cases sont déjà remplies").

Oui, je fais la confusion entre le nombre et le calcul direct qui le donne. On définissait le terme en introduisant le calcul direct, autrefois.


(Extrait du LH 3e 1964. La règle de trois se trouvait, elle, dans le manuel de sixième. Ce genre de calcul direct beaucoup plus abstrait ne s'utilisait donc qu'après l'introduction de l'algèbre et des équations).

Un coup de vieux...
CM2 en 1949.
Un "problème" à chercher chaque jour.
Souvent une règle de trois et il fallait présenter une solution rédigée en trois lignes.
Idée que la compréhension est liée à l'apprentissage du français...
Devenu prof au siècle dernier, je demandais toujours une présentation rédigée en trois lignes et un accompagnement par un tableau avec la quatrième en bas à droite.
Trop militaire ? La pédagomachinerie actuelle permettrait de répondre en moins de trois pages ?

Même idée pour l'apprentissage de la démonstration en quatrième mais c'est en voie de disparition...

Je demande toujours la présentation en 3 lignes en 6e. Je veux que ce soit clair dans la tête des élèves car une bonne partie des erreurs vient d'une mauvaise lecture de l'énoncé.
Mais j'ai peut-être tort.

Pour les ceusses qui auraient un doute, la présentation en trois lignes c'est ça:


(Avec des Nouveaux Francs dedans)

(Extrait du LH 6e 1962)

Oui, c'est bien ce que je fais et les élèves râlent car "c'est trop long et on écrit trois fois la même chose".

Rubik a écrit:Oui, c'est bien ce que je fais et les élèves râlent car "c'est trop long et on écrit trois fois la même chose".

Les élèves qui râlent méritent d'écrire:

Nous cherchons à connaître combien l'ouvrier gagne pour 21 jours de travail. Nous utiliserons la réduction à l'unité en commençant par calculer combien il gagne en un seul jour.

Il gagne 112 NF pour 14 jours.
En 1 jour il gagne 14 fois moins: 112/14 NF

À présent, nous pouvons répondre en calculant combien il gagne pour 21 jours:
En 1 jour il gagne 112/14 NF
En 21 jours il gagne 21 fois plus: 112/14×21 NF.

ycombe a écrit:Quatrième proportionnelle: C'est une simplification de l'égalité des produits en croix qui donne directement le calcul: on divise par le nombre «seul sur sa diagonale»

Je ne suis pas d'accord d'ailleurs tu donnes toi-même la bonne définition par la suite : "C'est trouver le nombre x tel que a, b, c et x soient en proportion". Et on peut le trouver par de nombreuses méthodes différentes.

Pour revenir sur les tableaux de proportionnalité et le coefficient de proportionnalité, comme c'est clairement spécifié dans les programmes dans la liste des outils alors on n'a pas le choix et je ne vois pas bien où est le problème et bien entendu ce n'est pas un simple tableau avec 4 cases.

Sinon pour revenir aux élèves de 6ème, j'ai sans doute encore de la chance dans mon coin rural où les élèves sont encores motivés et agréables, car quand je leur demande s'ils connaissent la proportionnalité, et bien ils parlent de proportion, de prix au kg, de recettes de cuisine, etc...

Et pour la définition, je ne sais pas si elle est assez rigoureuse mais je dis que deux séries de nombres sont proportionnelles lorsqu'on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre.

Oui, je donne la même définition mais j'ai un problème chaque année parce qu'on a envie de dire que le nombre en question est le coefficient de proportionnalité, mais en réalité, suivant le sens dans lequel on prend le problème, il y a deux coefficients inverses l'un de l'autre. Je ne sais pas comment m'en dépatouiller pour avoir une définition rigoureuse.

Oui en effet, il y a bien deux coefficients de proportionnalité. Mais je suis contre la théorie qui laisse entendre que le bon coef serait celui qui va de la première liste vers la deuxième. Déjà dans un problème classique de vitesse, on peut bien dire que la distance ou la durée est la première série. Donc par la force des choses, il y a bien deux coefficients de proportionnalité.

Je suis bien d'accord, mais du coup, comment présentes-tu ces deux coefficients (en plus en 6e, on n'a pas encore la notion d'inverse) ?

En quoi serait-ce un problème ? Il y a un coefficient qui permet de passer de la première ligne à la seconde, et un autre qui permet de passer de la seconde à la première... Et effectivement, on peut alors avoir le choix entre diviser par le premier coefficient ou multiplier par le second (ce qu'ils comprendront plus tard...).
Cela ne change pas la définition : on passe d'une grandeur à l'autre en multipliant par un nombre fixe appelé coefficient de proportionnalité. Par convention, on prend le coef qui va de la première ligne à la seconde, mais on peut leur signaler qu'ils ont le droit de le faire en sens inverse aussi... car si la première grandeur est proportionnelle à la seconde, alors la seconde est proportionnelle à la première...

C'est ainsi que j'introduisais (prématurément mais avec succès) la multiplication par l'inverse comme division par une fraction en sixième il y a déjà quelques années.

Manu7 a écrit:Sinon pour revenir aux élèves de 6ème, j'ai sans doute encore de la chance dans mon coin rural où les élèves sont encores motivés et agréables, car quand je leur demande s'ils connaissent la proportionnalité, et bien ils parlent de proportion, de prix au kg, de recettes de cuisine, etc...

Et pour la définition, je ne sais pas si elle est assez rigoureuse mais je dis que deux séries de nombres sont proportionnelles lorsqu'on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre.

Historiquement au primaire, c'était ça:

LH 6e 1962

La définition que tu donnes ne pouvait pas être mathématiquement correcte en primaire parce la proportionnalité concerne des grandeurs qui sont des nombres avec unité, et que multiplier pour passer d'une grandeur à une autre n'a pas toujours un sens évident (passer de m² en s, par exemple). Elle était donnée plus tard, en troisième, lorsque le passage vers l'abstraction était fait.

LH 3e 1964

( Il fut une époque où on se préoccupait vraiment de progression dans l'apprentissage d'une notion… )

Cherchez les textes de Michel Delord sur les nombres abstraits/concrets ils apportent un bel éclairage.

Manu7 a écrit:

ycombe a écrit:Quatrième proportionnelle: C'est une simplification de l'égalité des produits en croix qui donne directement le calcul: on divise par le nombre «seul sur sa diagonale»

Je ne suis pas d'accord d'ailleurs tu donnes toi-même la bonne définition par la suite : "C'est trouver le nombre x tel que a, b, c et x soient en proportion". Et on peut le trouver par de nombreuses méthodes différentes.

J'ai expliqué ci-dessus: cette qualification était tardive (dans l'enseignement de la proportionnalité) et était donnée en même temps que le calcul direct bc/a, d'où la polysémie d'usage.

On enseignait la règle de trois au primaire, on ne parlait de quatrième proportionnelle qu'en fin de collège.

Manu7 a écrit:Oui en effet, il y a bien deux coefficients de proportionnalité. Mais je suis contre la théorie qui laisse entendre que le bon coef serait celui qui va de la première liste vers la deuxième. Déjà dans un problème classique de vitesse, on peut bien dire que la distance ou la durée est la première série. Donc par la force des choses, il y a bien deux coefficients de proportionnalité.

Il ne saurait y en a qu'un, sinon, c'est le bordel.

Il suffit de définir la situation de proportionnalité en désignant explicitement une des grandeurs comme la première grandeur et l'autre comme la seconde grandeur. Ainsi, il n'y a qu'un seul coefficient de proportionnalité, qui va de la première à la seconde grandeur. Le coefficient inverse est celui d'une autre situation de proportionnalité dans laquelle les grandeurs sont inversées.

Par expérience, si on a le malheur de parler de deux coefficients de proportionnalité, on s'expose à ce que les deux soient employés indifféremment dans un sens ou dans l'autre "puisque c'est proportionnel". Pour moi, on choisit la série 1 et la série 2, le coefficient de proportionnalité permet, en multipliant de passer de 1 à 2, et en divisant, de passer de 2 à 1. Que celui qui n'a jamais enseigné le "HT" et "TTC" avec la TVA à des économistes me jette la première pierre. "Beh, pour enlever la TVA, on enlèveu 20 %, con !"

ycombe a écrit:Il ne saurait y en a qu'un, sinon, c'est le bordel.

Il suffit de définir la situation de proportionnalité en désignant explicitement une des grandeurs comme la première grandeur et l'autre comme la seconde grandeur. Ainsi, il n'y a qu'un seul coefficient de proportionnalité, qui va de la première à la seconde grandeur. Le coefficient inverse est celui d'une autre situation de proportionnalité dans laquelle les grandeurs sont inversées.

Il faudrait cacher aux élèves qu'il y a deux coefficients de proportionnalité ? Je n'ai jamais entendu parler de l'importance de l'ordre entre deux séries proportionnelles.

Dans le cas, assez courant, où l'élève choisit lui-même quelle sera la première grandeur et la seconde grandeur, on ne va tout de même pas lui interdire d'utiliser le coefficient qui va de la deuxième à la première surtout que dans notre correction ce sera sans doute le même et on ne va pas lui demander de refaire le tableau dans le bon sens. Et avec un coeff égal à 4 on ne va tout de même pas dire à un élève qu'il a faux quand il a utilisé correctement 0,25. Et pire dans le cas où on a un coeff de 3 et que l'élève construit le tableau où ce coeff va de bas en haut, si pour lui c'est interdit alors il devra passer par 1/3 ???

Dire que le prix des pommes est proportionnel à la masse des pommes, pour moi c'est pareil que si on dit que la masse et le prix des pommes sont proportionnels, ou encore que la masse est proportionnel au prix des pommes.