Qu'est-ce qu'une somme ? une différence ? un produit ? un quotient ?

C'est une vraie question.
En 6è, lorsque l'on parle d'une somme on dit que c'est le résultat d'une addition.
Un peu après, on va leur demander si 4*7 + 9 est une somme ou un produit, sans même parler du résultat (même si bien sûr on explique que finalement 37 est le résultat de 28 + 9).
Et plus tard lorsque l'on rencontre 3x + 4 on dit que c'est une somme, alors que l'on n'a pas de résultat.

Est-ce que c'est problématique ou pas ? Est-ce que je m'égare ?

En quoi est-ce problématique ?

3x+4 est la somme du produit de 3 par x et de 4, donc c'est une somme.

Une somme, cela peut s'écrire sous la forme a+b, un produit sous la forme a*b.

3x+4 est donc du 1er type, peu importe que l'un des termes soit lui-même un produit.

ZDj demandait plutôt s'il n'y avait pas un problème à désigner par "somme" à la fois l'opération et son résultat.

La somme ne peut pas se contenter d'être un résultat, sinon cela impliquerait que tout nombre est une somme, un produit, etc.

JPhMM a écrit:En quoi est-ce problématique ?

3x+4 est la somme du produit de 3 par x et de 4, donc c'est une somme.

+1

dami1kd a écrit:

JPhMM a écrit:En quoi est-ce problématique ?

3x+4 est la somme du produit de 3 par x et de 4, donc c'est une somme.

+1

Ça ne fait +1 que si x = -3    

Sinon, pour en revenir au sujet, on reviendra aussi sur le signe =.
Je m'explique : "est égale à" signifie qu'on a le même truc à gauche et à droite du =. Donc si j'écris 2 + 3 = 5, je peux dire que 5 est la somme ou que 2 + 3 est la somme, puisque c'est le même truc.

Du coup, la question de savoir si c'est l'écriture "2 + 3" ou si c'est "5" la somme n'a pas lieu d'être.

Et donc chaque nombre peut être considéré comme une somme, une différence, un produit, un quotient... Le mot indiquant davantage comment on le regarde ou s'en sert plutôt qu'une quelconque nature.

Oui la question était peut-on dire que 3+4 est une somme alors que ce n'est pas un "résultat" comme on écrit dans la définition. Dans ma tête 3+4 était plutôt une addition, mais William Foster vient de me convaincre. Même si je me dis que c'est quand même une difficulté pour les élèves, encore une.
Les mathématiques sont vraiment une langue étrangère!

Merci pour vos réflexions

Je me souviens avoir enseigné à des élèves que c'est 5 la somme, et pas 2+3... Et puis je me suis rendu compte en fait à quel point ça ne change rien
Content de t'avoir éclairé même si je ne suis pas convaincu de ne pas dire de bêtise sur des points aussi précis de sémantique.

Ça me rappelle les problème avec la hauteur, qui désigne à la fois une longueur, un segment, une droite ou une distance...

Pardon mais si vous appelez "2+3" une somme (et je comprends bien le raisonnement par l'égalité) , pouvez-vous appeler:
"10:2" un quotient?
"10*2" un produit?
"10-2" une différence?
Ou ces noms sont-ils à réserver au résultat de ces opérations? A ce moment-là le mot "somme" serait aussi à réserver au résultat de l'addition, non?
Je demande par curiosité, hein, moi qui ne suis pas du tout spécialiste, pas pour polémiquer ou me moquer, ou quoi. J'imagine que pour des écoliers ou des collégiens, il faut que cela soit clair.

William Foster a écrit:

dami1kd a écrit:

JPhMM a écrit:En quoi est-ce problématique ?

3x+4 est la somme du produit de 3 par x et de 4, donc c'est une somme.

+1

Ça ne fait +1 que si x = -3    

.

x=-1 plutôt non ?

Bref :

Une somme est une opération qui comme toute opération à un résultat. d'ailleurs on devrait dire : La somme de 3 et 5 fait 8 (et non pas "est").

Quand on demande de classer des opérations, il n'y a pas d'ambiguïté dans la question, on parle bien de classifier les opérations en somme/différence/quotient/produit

ZDj a écrit:C'est une vraie question.
En 6è, lorsque l'on parle d'une somme on dit que c'est le résultat d'une addition.
Un peu après, on va leur demander si 4*7 + 9 est une somme ou un produit, sans même parler du résultat (même si bien sûr on explique que finalement 37 est le résultat de 28 + 9).
Et plus tard lorsque l'on rencontre 3x + 4 on dit que c'est une somme, alors que l'on n'a pas de résultat.

Est-ce que c'est problématique ou pas ? Est-ce que je m'égare ?

En algèbre de Boole, on m'a toujours parlé de "somme de produits" ex : a.b+b./c+d.p./r ets..., je fais pareil sans trop y penser...pour les applications pratiques que l'on en fait, il est très important que l'élève prenne l'habitude de lire ça comme des "blocs" entres lesquels on met un "+". C'est à dire que le produit est prioritaire et que a.b doit être lu comme une seule proposition, b./c une autre ets ... si j'enlève "de produits", c'est donc pour moi une somme. Si je souhaite décrire une relation ou la somme est prioritaire, je vais devoir utiliser des parenthèses...
Je me demande bien si les mathématiciens sont d'accord. En tous cas, l'expérience pratique montre que ça marche comme ça puisque l'on développe et on utilise les systèmes électroniques et automatiques avec ce mode de pensée et qu'on arrive à les faire fonctionner !

Finrod a écrit:

William Foster a écrit:

dami1kd a écrit:

JPhMM a écrit:En quoi est-ce problématique ?

3x+4 est la somme du produit de 3 par x et de 4, donc c'est une somme.

+1

Ça ne fait +1 que si x = -3    

.

x=-1 plutôt non ?

Mais heu ! ma blague...

Aphrodissia a écrit:Pardon mais si vous appelez "2+3" une somme (et je comprends bien le raisonnement par l'égalité) , pouvez-vous appeler:
"10:2" un quotient?
"10*2" un produit?
"10-2" une différence?

Oui.
Oui.
Oui.

Prenons par exemple la définition du quotient : "Pour b non nul, le quotient de a par b, noté a/b, est le nombre qui multiplié par b donne a." donc a/b désigne bien le quotient. Que tu l'écrives a/b ou a:b ou a÷b.
10:2 est un quotient, que tu peux choisir d'écrire 5 si le cœur t'en dit.
Et si tu écris 10:2 = 4+1, tu parles toujours du nombre 5 que tu vois soit comme un quotient, soit comme une somme, selon le besoin ou l'envie.

Finrod a écrit:Une somme est une opération qui comme toute opération à un résultat

Je ne crois pas : l'opération (la loi de composition pourrait-on dire), c'est l'addition, pas la somme. En tous cas c'est ainsi que je l'ai vu nommée dans nombre de livres.
L'addition de 2 et de 3 donne (ou fait) 5. La somme de 2 et 3 est 5.
Mais si tu trouves un ouvrage où c'est le contraire, je veux bien que tu me le dises pour satisfaire ma curiosité personnelle

Ce problème de sémantique (de définitions, même) me fait penser au chipotage entre "fraction", "écriture fractionnaire" et "nombre rationnel". Voir ce document d'accompagnement où on demande "dès le début du cycle, l’élève est entraîné à reconnaître des fractions égales, à raisonner pour justifier que des quotients sont égaux, qu’un quotient est un nombre rationnel ou non", dernier point sur lequel les réponses de l'inspection ont été pour le moins absconses

Je comprends tout à fait le coup des écritures différentes et pourtant égales. Mais est-ce qu'au collège (et aussi au primaire) les élèves doivent encore maîtriser le vocabulaire des opérations? Je me souviens avoir appris division, dividende, diviseur, quotient... est-ce que c'est surfait? dépassé?

PS: William Foster, j'avais compris la blague, moi...

Aphrodissia a écrit:Je comprends tout à fait le coup des écritures différentes et pourtant égales. Mais est-ce qu'au collège (et aussi au primaire) les élèves doivent encore maîtriser le vocabulaire des opérations? Je me souviens avoir appris division, dividende, diviseur, quotient... est-ce que c'est surfait? dépassé?

Je ne sais pas s'ils doivent maîtriser le vocabulaire parce que la notion même de maîtrise m'échappe depuis quelques temps, mais en tous cas, ils l'apprennent... Ou du moins on le leur enseigne

William Foster a écrit:"dès le début du cycle, l’élève est entraîné à reconnaître des fractions égales, à raisonner pour justifier que des quotients sont égaux, qu’un quotient est un nombre rationnel ou non", dernier point sur lequel les réponses de l'inspection ont été pour le moins absconses

J'avais lu cette phrase, qui m'avait laissé perplexe ! Quelqu'un aurait-il une explication plus claire que celles de l'inspecteur de William Foster ?

fanette a écrit:

William Foster a écrit:"dès le début du cycle, l’élève est entraîné à reconnaître des fractions égales, à raisonner pour justifier que des quotients sont égaux, qu’un quotient est un nombre rationnel ou non", dernier point sur lequel les réponses de l'inspection ont été pour le moins absconses

J'avais lu cette phrase, qui m'avait laissé perplexe ! Quelqu'un aurait-il une explication plus claire que celles de l'inspecteur de William Foster ?

Je crois que la demande d'explications est apparue pour la première fois dans ce fil-là, et mis à part le coup des possibles simplifications par pi (qui semblent un peu légères), on n'a pas beaucoup avancé depuis...

Merci !

fanette a écrit:

William Foster a écrit:"dès le début du cycle, l’élève est entraîné à reconnaître des fractions égales, à raisonner pour justifier que des quotients sont égaux, qu’un quotient est un nombre rationnel ou non", dernier point sur lequel les réponses de l'inspection ont été pour le moins absconses

J'avais lu cette phrase, qui m'avait laissé perplexe ! Quelqu'un aurait-il une explication plus claire que celles de l'inspecteur de William Foster ?

Pour moi (mais je peux me planter, hein ...), un nombre rationnel est le quotient entre deux nombres entiers. ex : 3/5 ou 12/7. Si on a des virgules, on peut se ramener au cas précédent : 3,2/5,1 = 32/51. On appelle ça, basiquement, une fraction.
Par contre, "racine carrée de 2" étant un nombre réel non rationnel (c'est-à-dire un nombre qui n'est pas égal à une fraction ... vous suivez toujours ?), une écriture fractionnaire du type "racine carrée de 2"/7 n'est pas un nombre rationnel.
Sauf que, là où c'est idiot, c'est que :
- on nous dit de l'expliquer dès la 5ème ... alors que les élèves ne connaissent pas les racines carrées en 5ème (et que l'étude des racines carrées n'est plus vraiment au programme du cycle 4 de toute façon).
- on s'en fiche complètement de savoir si un nombre est rationnel ou pas au collège, vu que les règles de calcul sont les mêmes pour les fractions et les écritures fractionnaires.
Donc, faire la distinction au collège, c'est couper les cheveux en quatre. Et à côté de ça, on nous dit de ne "pas trop formaliser" ...

On en revient à ce qu'évoquait William Foster plus haut : si l'on veut tout écrire proprement, on ne peut pas échapper à des subtilités portant sur les signifiants/signifiés des écritures mathématiques. Cela peut sembler inutilement compliqué, mais c'est peut-être obligatoire si l'on souhaite éviter les confusions.

cube a écrit:

Pour moi (mais je peux me planter, hein ...), un nombre rationnel est le quotient entre deux nombres entiers. ex : 3/5 ou 12/7. Si on a des virgules, on peut se ramener au cas précédent : 3,2/5,1 = 32/51. On appelle ça, basiquement, une fraction.
Par contre, "racine carrée de 2" étant un nombre réel non rationnel (c'est-à-dire un nombre qui n'est pas égal à une fraction ... vous suivez toujours ?), une écriture fractionnaire du type "racine carrée de 2"/7 n'est pas un nombre rationnel.
Sauf que, là où c'est idiot, c'est que :
- on nous dit de l'expliquer dès la 5ème ... alors que les élèves ne connaissent pas les racines carrées en 5ème (et que l'étude des racines carrées n'est plus vraiment au programme du cycle 4 de toute façon).
- on s'en fiche complètement de savoir si un nombre est rationnel ou pas au collège, vu que les règles de calcul sont les mêmes pour les fractions et les écritures fractionnaires.
Donc, faire la distinction au collège, c'est couper les cheveux en quatre. Et à côté de ça, on nous dit de ne "pas trop formaliser" ...

Sans aller jusqu'à la racine carrée, je pense que c'est pour nous laisser présenter pi et insister sur le danger de le confondre avec une valeur approchée quelle qu'elle soit non?

Dw4rF_Naheulbeuk a écrit:Sans aller jusqu'à la racine carrée, je pense que c'est pour nous laisser présenter pi et insister sur le danger de le confondre avec une valeur approchée quelle qu'elle soit non?

Tout ça juste pour causer de pi ? Et comment démontrer l'irrationalité de pi à des collégiens ?

j'en sais rien moi!

c'est juste que pi c'est un peu l'exemple type du nombre "avec une virgule mais qui n'est pas une fraction" que je sors à mes élèves quand on aborde justement l'intérêt de l'écriture fractionnaire.

en gros: nombre "à virgule" devient écriture décimale; puis je parle des nombres "écrits avec une virgule mais qui ne sont pas décimaux" pour aborder les rationnels et enfin je prends pi comme exemple de nombre qui n'est pas décimal mais qui en plus n'est même pas une fraction le bougre!