Discussions résolution d'équations

ben2510 a écrit:Plutôt comme tout ce qui se met en équation sous forme canonique (l'inconnue n'apparaît qu'une seule fois dans l'équation).
Tu as des problèmes du premier degré dont la mise en équation ne débouche pas sur une forme canonique susceptible de se résoudre arithmétiquement,
sauf à ruser un peu trop ; c'est précisément ce genre d'équations qu'on a besoin de mettre en avant lorsqu'on introduit la démarche algébrique ;
je pense à des choses comme x/(x+3)=5/7 issues de situations de Thalès, p.ex.

Ce n'est justement plus vraiment du premier degré (même si ça peut s'y ramener).

Bon, la question "A quoi ça sert tout ça, avec la méthode de mon instit de CM2 ça marchait aussi et c'était plus simple", fût-elle naïve, n'est pas si ininteressante. Il y a une vraie difficulté pédagogique à justifier l'introduction du calcul algébrique. Je dirais qu'il y a trois stades.

1) Celui où la méthode algébrique permet de résoudre des équations qui se résoudraient plus simplement par un raisonnement arithmétique élémentaire.

2) Celui où le raisonnement par calcul arithmétique reste théoriquement possible, mais alambiqué, et où la méthode algébrique commence à apparaître comme plus rapide et plus universelle.

3) Celui où la méthode algébrique permet de résoudre de nouvelles familles d'équations, inabordables précédemment.

Le problème est qu'une bonne partie des bacheliers ne dépassera pas le stade 1), ou trop superficiellement pour réutiliser ses connaissances à l'âge adulte.

Euh, qu'est-ce que vous appelez "méthode algébrique" et "méthode arithmétique" ?

AmyR a écrit:Euh, qu'est-ce que vous appelez "méthode algébrique" et "méthode arithmétique" ?

J'entendais algèbre au sens historique (et non abstrait et moderne) du terme : ce qui concerne les manipulations d'équations avec une inconnue (ou plusieurs) , l'arithmétique se limitant aux opérations sur les nombres.

Pour reprendre le problème posé ci-dessus (même s'il serait bon de le moderniser en parlant de DVD et d'euros, et par ailleurs de ne pas utiliser ce tutoiement infantilisant).

Tu achètes un magnétoscope à 260 francs et 7 cassettes VHS. Tu payes 421 francs. Quel est le prix d'une cassette VHS ?

Méthode arithmétique :

421-260=161 donc 7 cassettes coûtent 161 francs.
161/7=23 donc une cassette coûte 23 francs.

Méthode algébrique :

On note x le prix d'une cassette.
260+7x=421 et on résout par la méthode usuelle.

Prezbo a écrit:

AmyR a écrit:Euh, qu'est-ce que vous appelez "méthode algébrique" et "méthode arithmétique" ?

J'entendais algèbre au sens historique (et non abstrait et moderne) du terme : ce qui concerne les manipulations d'équations avec une inconnue (ou plusieurs) , l'arithmétique se limitant aux opérations sur les nombres.

Pour reprendre le problème posé ci-dessus (même s'il serait bon de le moderniser en parlant de DVD et d'euros, et par ailleurs de ne pas utiliser ce tutoiement infantilisant).

Tu achètes un magnétoscope à 260 francs et 7 cassettes VHS. Tu payes 421 francs. Quel est le prix d'une cassette VHS ?

Méthode arithmétique :

421-260=161 donc 7 cassettes coûtent 161 francs.
161/7=23 donc une cassette coûte 23 francs.

Méthode algébrique :

On note x le prix d'une cassette.
260+7x=421 et on résout par la méthode usuelle.

Ah d'accord, merci !
Il faut faire les deux en même temps et expliquer que c'est le même raisonnement que l'on fait pour donner du sens, non ?

AmyR a écrit:
Ah d'accord, merci !
Il faut faire les deux en même temps et expliquer que c'est le même raisonnement que l'on fait pour donner du sens, non ?

Dans l'absolu, je suppose qu'il faudrait (comme précise Nicole) beaucoup automatiser la méthode arithmétique jusqu'à ce que l'introduction de la méthode algébrique devienne naturelle...Actuellement, on est dans la situation inverse : la majorité des élèves n'ayant plus de d'automatismes sur les calculs élémentaires, l'introduction de l'algèbre devient une difficulté supplémentaire insurmontable.

C'est un peu tricher que de présenter la résolution arithmétique ainsi car on voit bien que celle-ci est ici la traduction directe d'une méthode algébrique dans laquelle on a fait l'économie de la variable qui est clairement identifiée (en reprenant ligne par ligne la résolution algébrique, on passe bien par l'étape intermédiaire 7x=161).

On peut qualifier de méthode arithmétique une méthode qui ne mobilise aucun nom d'inconnue et opère uniquement sur des nombres. On pourrait aussi utiliser une fausse position par exemple. Ce problème n'est clairement pas un bon problème pour motiver l'emploi du cadre littéral.

AmyR a écrit:

Prezbo a écrit:

AmyR a écrit:Euh, qu'est-ce que vous appelez "méthode algébrique" et "méthode arithmétique" ?

J'entendais algèbre au sens historique (et non abstrait et moderne) du terme : ce qui concerne les manipulations d'équations avec une inconnue (ou plusieurs) , l'arithmétique se limitant aux opérations sur les nombres.

Pour reprendre le problème posé ci-dessus (même s'il serait bon de le moderniser en parlant de DVD et d'euros, et par ailleurs de ne pas utiliser ce tutoiement infantilisant).

Tu achètes un magnétoscope à 260 francs et 7 cassettes VHS. Tu payes 421 francs. Quel est le prix d'une cassette VHS ?

Méthode arithmétique :

421-260=161 donc 7 cassettes coûtent 161 francs.
161/7=23 donc une cassette coûte 23 francs.

Méthode algébrique :

On note x le prix d'une cassette.
260+7x=421 et on résout par la méthode usuelle.

Ah d'accord, merci !
Il faut faire les deux en même temps et expliquer que c'est le même raisonnement que l'on fait pour donner du sens, non ?

Je pense qu'il vaut mieux insister sur la différence fondamentale entre les deux méthodes. Avec la méthode arithmétique, chaque type de problème a sa propre méthode de résolution. Avec la méthode algébrique, la méthode de résolution est unifiée: mise en équation/résolution d'équation. Le bon en avant apporté par la méthode algébrique est la complète déconnexion de la surface du problème et de sa résolution, apportant une unification du traitement de problèmes très différents.

Certains problèmes restent plus simple à traiter de manière arithmétique (parce que la mise en équation n'est pas toujours facile). Tu en trouveras par exemple dans le livre de Yakov Perelman Oh, les maths!.

Prezbo a écrit:

AmyR a écrit:
Ah d'accord, merci !
Il faut faire les deux en même temps et expliquer que c'est le même raisonnement que l'on fait pour donner du sens, non ?

Dans l'absolu, je suppose qu'il faudrait (comme précise Nicole) beaucoup automatiser la méthode arithmétique jusqu'à ce que l'introduction de la méthode algébrique devienne naturelle...Actuellement, on est dans la situation inverse : la majorité des élèves n'ayant plus de d'automatismes sur les calculs élémentaires, l'introduction de l'algèbre devient une difficulté supplémentaire insurmontable.

Ce qui me rapelle que l'identification de la structure des problèmes et non pas de leur surface comme élément essentiel nécessite pas mal de travail de résolution de problèmes. Or, sans repérage de la structure d'un problème, comment réussir une mise en équation?

Des premiers exemples d'équations avec des pyramides
https://www.youtube.com/watch?v=S7D0xCmXOXA&t=175s

Prezbo a écrit:

AmyR a écrit:Euh, qu'est-ce que vous appelez "méthode algébrique" et "méthode arithmétique" ?

J'entendais algèbre au sens historique (et non abstrait et moderne) du terme : ce qui concerne les manipulations d'équations avec une inconnue (ou plusieurs) , l'arithmétique se limitant aux opérations sur les nombres.

Pour reprendre le problème posé ci-dessus (même s'il serait bon de le moderniser en parlant de DVD et d'euros, et par ailleurs de ne pas utiliser ce tutoiement infantilisant).

Tu achètes un magnétoscope à 260 francs et 7 cassettes VHS. Tu payes 421 francs. Quel est le prix d'une cassette VHS ?

Méthode arithmétique :

421-260=161 donc 7 cassettes coûtent 161 francs.
161/7=23 donc une cassette coûte 23 francs.

Méthode algébrique :

On note x le prix d'une cassette.
260+7x=421 et on résout par la méthode usuelle.

Je reviens sur un point de didactique, les instituteurs qui s'appelaient encore ainsi) insistaient sur la rédaction, nous devions rédiger ainsi :

Je calcule le prix de 7 cassettes :
421-260= 161     opération sans mention des unités
7 cassettes coûtent 161 F

Je calcule le prix d'une cassette :
161 : 7 = 23
Donc une cassette coûte 23 F

La rédaction insiste sur la priorité donnée au raisonnement et sur le fait que les calculs portent sur des nombres détachés de l'exemple concret.
Au bout d'un certain nombre d'exercices similaires les élèves normalement discernent ce que les anglo-saxons appellent un "pattern", par contre je n'ai pas le souvenir que ce passage à l'abstraction ait été fait en classe (mais je le faisais avec mes poupées )

tAoK a écrit:

Daphné a écrit:Je ne comprends plus rien du tout à ce fil...

Tu achètes un magnétoscope à 260 francs et 7 cassettes VHS. Tu payes  421 francs. Quel est le prix d'une cassette VHS ?
Tu as 2 heures.

Je faisais faire ça à mes CM1 cette année, sauf pour les cassettes VHS, ils ne savent pas ce que c'est...

jaybe a écrit:C'est un peu tricher que de présenter la résolution arithmétique ainsi car on voit bien que celle-ci est ici la traduction directe d'une méthode algébrique dans laquelle on a fait l'économie de la variable qui est clairement identifiée (en reprenant ligne par ligne la résolution algébrique, on passe bien par l'étape intermédiaire 7x=161).

On peut qualifier de méthode arithmétique une méthode qui ne mobilise aucun nom d'inconnue et opère uniquement sur des nombres. On pourrait aussi utiliser une fausse position par exemple. Ce problème n'est clairement pas un bon problème pour motiver l'emploi du cadre littéral.

Je ne suis pas exactement d'accord avec ceci, qui me semble justement être la vision de quelqu'un qui maîtrise et identifie bien la méthode algébrique...Ce fil montre bien que certains PE utilisent cette présentation de la résolution arithmétique, et encore en seconde, j'ai régulièrement des élèves (sortant du collège, donc) qui préfèrent spontanément rédiger ainsi, pas en décalquant la méthode algébrique, mais pour éviter celle-ci. (Ce qui fait qu'on peut considérer que ce n'est pas un exemple idéal pour présenter la méthode algébrique, effectivement.)

Ce n'est pas un bon exemple pour "motiver l'emploi du cadre littéral" certes mais ça peut permettre de donner du sens à la méthode algébrique.
Après si j'utilisais cet exemple en classe, je ferais ensuite ce que dit Ycombe :

ycombe a écrit:
Je pense qu'il vaut mieux insister sur la différence fondamentale entre les deux méthodes. Avec la méthode arithmétique, chaque type de problème a sa propre méthode de résolution. Avec la méthode algébrique, la méthode de résolution est unifiée: mise en équation/résolution d'équation. Le bon en avant apporté par la méthode algébrique est la complète déconnexion de la surface du problème et de sa résolution, apportant une unification du traitement de problèmes très différents.

@Prezbo je voulais juste souligner le fait que l'on peut difficilement parler de "la" méthode arithmétique, c'est plus un principe puisque la façon dont on mène les calculs pour arriver à une solution peut emprunter des chemins bien différents (comme ycombe l'a écrit très justement d'ailleurs), donc il ne faudrait pas en retenir uniquement la résolution que tu présentes (je ne la remets pas en cause bien entendu).

Il y a quelques années au DNB, il y avait un problème qui était facile à résoudre sans passer par une équation, et la consigne ne stipulait pas qu'on devait passer par une mise en équation pourtant on nous a demandé de ne pas mettre tous les points si l'élève n'était pas passer par une équation. J'ai corrigé à ma façon, quand on veut que les élèves passent par une équation alors il faut un énoncé bien choisi, c'était d'ailleurs un conseil de base quand nous étions en IUFM pour préparer les oraux de Capes.

Bien d'accord avec toi Manu7 !
Nous notons la qualité du raisonnement, et la justesse mathématique,
pas la conformité à une consigne implicite.

Prezbo a écrit:

Dans l'absolu, je suppose qu'il faudrait (comme précise Nicole) beaucoup automatiser la méthode arithmétique jusqu'à ce que l'introduction de la méthode algébrique devienne naturelle...Actuellement, on est dans la situation inverse : la majorité des élèves n'ayant plus de d'automatismes sur les calculs élémentaires, l'introduction de l'algèbre devient une difficulté supplémentaire insurmontable.

C'est le triste constat auquel je suis arrivé depuis quelques années. Je m'évertuais à trouver comment faire pour que mes élèves progressent au niveau du calcul littéral (pas seulement des équations) sans y arriver, puis la lumière fut( tristement). On a des cohortes d'élèves qui sont tellement handicapés en calcul numérique que le passage à la lettre est insurmontable. D'ailleurs je prend de plus en plus le temps de leur expliquer le niveau scolaire de leurs erreurs, juste pour qu'ils arrêtent de me rabâcher "les maths de quatrième c'est trop dur wesh".

Manu7 a écrit:Il y a quelques années au DNB, il y avait un problème qui était facile à résoudre sans passer par une équation, et la consigne ne stipulait pas qu'on devait passer par une mise en équation pourtant on nous a demandé de ne pas mettre tous les points si l'élève n'était pas passer par une équation. J'ai corrigé à ma façon, quand on veut que les élèves passent par une équation alors il faut un énoncé bien choisi, c'était d'ailleurs un conseil de base quand nous étions en IUFM pour préparer les oraux de Capes.

J'avais mis tous les points également. Je trouvais ça intrinsèquement injuste d'une part, mais aussi d'autre part, parce que quelques années avant on nous avait demandé d'accorder tous les points quand "l'esprit de Pythagore" se retrouvait dans la question. Sans compter qu'on nous encourage globalement à distribuer les points par paquet de 12.

Esprit esprit es-tu là ?

Il y a souvent des problèmes avec les âges utilisés pour les mises en équations mais ils sont souvent faciles à résoudre sans équation. Surtout en utilisant le fait que les écarts sont constants. Exemple : Axel a 8 ans et son père a 35 ans. Dans combien d'années le père aura-t-il le double de l'âge d'Axel ?

35 - 8 = 27 et 27 - 8 = 19.
Ils sont 27 ans d'écart, donc c'est dans 19 ans. (Quand Axel aura 27 ans alors son père aura le double).

Si on passe par une équation c'est bien plus long :
x : nombre d'années recherché
2 ( 8 + x ) = 35 + x
16 + 2x = 35 + x
2x - x = 35 - 16
x = 19.

Ici on voit bien que la méthode sans équation ne s'inspire pas de la résolution par équation.

Les problèmes avec les âges, c'est vraiment la version pauvre de l'algèbre. Des problèmes dans lesquels les données sont toujours des entiers (qui exprime des âges non entiers ? D'ailleurs, quels élèves sauraient faire proprement des conversions ?) et que l'on peut quasiment toujours résoudre en évitant l'algèbre, avec des énoncés généralement tarabiscotés, formulés de la façon la moins naturelle possible... Pour dire à quel point c'est mauvais, c'est encore pire que les problèmes de baignoires qui fuient ou de trains qui se croisent !