Discussions résolution d'équations

Maellerp a écrit:

Cath a écrit:Bon, ben je ne sais pas comment expliquer, mais l'un me parait évident (changer de signe en passant le =) et l'autre ne me serait jamais venu à l'idée. Voilà qui ne va pas t'aider à comprendre le "raisonnement' de ceux qui le font.

Et il y en a beaucoup, mais ils ne raisonnent pas, ils appliquent une phrase entendue. Quant à le faire de tête et facilement,  un 6e-5e oui, mais un 3ème appliquera la recette si on la lui a serinée ainsi. Et j'ai pris un exemple simple pour illustrer mais ils feront pareil pour tout, ils ont retenu: on change de côté donc on change de signe.

Après, au lycée ils faut résoudre des équations comme racine_carrée(x) = 3 ou ln(x) = 2 et "passer de l'autre côté" ne marche plus..

Exemple pour le calcul : ma calculette de lycée (une TI 30 !) avait une particularité : quand les piles faiblissaient, elle continuait à fonctionner mais en donnant des résultats abracadabrants. L'affichage restait impeccable, juste le résultat était faux.
Si j'avais un doute, je pouvais vérifier en faisant le calcul de tête (ou un autre si celui-là était trop complexe) pour avoir au moins un ordre de grandeur (et changer les piles). Si je n'avais pas été capable de le faire, j'aurais eu souvent tout faux.
D'ailleurs je sais que dans les IFSI, les formateurs se plaignent que leurs étudiants leurs sortent des résultats complètement faux sans broncher : du genre une perf qui a un débit en dizaines de litres/heure.

AmyR a écrit:

Maellerp a écrit:

Cath a écrit:Bon, ben je ne sais pas comment expliquer, mais l'un me parait évident (changer de signe en passant le =) et l'autre ne me serait jamais venu à l'idée. Voilà qui ne va pas t'aider à comprendre le "raisonnement' de ceux qui le font.

Et il y en a beaucoup, mais ils ne raisonnent pas, ils appliquent une phrase entendue. Quant à le faire de tête et facilement,  un 6e-5e oui, mais un 3ème appliquera la recette si on la lui a serinée ainsi. Et j'ai pris un exemple simple pour illustrer mais ils feront pareil pour tout, ils ont retenu: on change de côté donc on change de signe.

Après, au lycée ils faut résoudre des équations comme racine_carrée(x) = 3 ou ln(x) = 2 et "passer de l'autre côté" ne marche plus..

Ben non, bien sûr, ça ne marche que pour l'addition/soustraction. Ça parait tellement évident...
Bon j'arrête.

Cath a écrit:Exemple pour le calcul : ma calculette de lycée (une TI 30 !) avait une particularité : quand les piles faiblissaient, elle continuait à fonctionner mais en donnant des résultats abracadabrants. L'affichage restait impeccable, juste le résultat était faux.
Si j'avais un doute, je pouvais vérifier en faisant le calcul de tête (ou un autre si celui-là était trop complexe) pour avoir au moins un ordre de grandeur (et changer les piles). Si je n'avais pas été capable de le faire, j'aurais eu souvent tout faux.
D'ailleurs je sais que dans les IFSI, les formateurs se plaignent que leurs étudiants leurs sortent des résultats complètement faux sans broncher : du genre une perf qui a un débit en dizaines de litres/heure.

Mais là, ce n'est pas un souci de calcul, c'est un souci de bon sens. Et ça fait aussi partie des choses qu'on s'efforce de travailler ("non, même sans jamais avoir vu un œuf de grenouille, 10 mètres, ça ne peut pas aller" ou "je sais que les classes sont chargées, mais 342.6 élèves dans la classe de lycée de l'énoncé, vous y croyez ?" )

Hélips a écrit:

Cath a écrit:Exemple pour le calcul : ma calculette de lycée (une TI 30 !) avait une particularité : quand les piles faiblissaient, elle continuait à fonctionner mais en donnant des résultats abracadabrants. L'affichage restait impeccable, juste le résultat était faux.
Si j'avais un doute, je pouvais vérifier en faisant le calcul de tête (ou un autre si celui-là était trop complexe) pour avoir au moins un ordre de grandeur (et changer les piles). Si je n'avais pas été capable de le faire, j'aurais eu souvent tout faux.
D'ailleurs je sais que dans les IFSI, les formateurs se plaignent que leurs étudiants leurs sortent des résultats complètement faux sans broncher : du genre une perf qui a un débit en dizaines de litres/heure.

Mais là, ce n'est pas un souci de calcul, c'est un souci de bon sens. Et ça fait aussi partie des choses qu'on s'efforce de travailler ("non, même sans jamais avoir vu un œuf de grenouille, 10 mètres, ça ne peut pas aller" ou "je sais que les classes sont chargées, mais 342.6 élèves dans la classe de lycée de l'énoncé, vous y croyez ?" )

Du coup, l'enseignement des "maths" ne devrait-il pas se concentrer davantage sur le bon sens et les ordres de grandeurs que sur les techniques de calculs ?

AmyR a écrit:Après, au lycée ils faut résoudre des équations comme ln(x) = 2 et "passer de l'autre côté" ne marche plus..

Calomnie !
J'ai plein d'élèves qui sont capables de répondre x=2/ln
(notons qu'ils ont le sentiment de la multiplication).

ben2510 a écrit:

AmyR a écrit:Après, au lycée ils faut résoudre des équations comme ln(x) = 2 et "passer de l'autre côté" ne marche plus..

Calomnie !
J'ai plein d'élèves qui sont capables de répondre x=2/ln
(notons qu'ils ont le sentiment de la multiplication).

J'ai dit que ça ne marchait plus, pas que ça ne se faisait plus :sourit:.

AmyR a écrit:

ben2510 a écrit:

AmyR a écrit:Après, au lycée ils faut résoudre des équations comme ln(x) = 2 et "passer de l'autre côté" ne marche plus..

Calomnie !
J'ai plein d'élèves qui sont capables de répondre x=2/ln
(notons qu'ils ont le sentiment de la multiplication).

J'ai dit que ça ne marchait plus, pas que ça ne se faisait plus :sourit:.

Ça ne vaut pas cos x/sin x= co/in ("Ben oui madame, j'ai simplifié par les x et les s")

Du vécu

Ah oui, je connaissais le fameux "sin x / n = six" mais là c'est du vécu carrément ? oO

AmyR a écrit:Ah oui, je connaissais le fameux "sin x / n = six" mais là c'est du vécu carrément ? oO

Ah ben celle là on ne me l'a jamais faite

Oui oui l'autre est du vécu! Il y a maintenant, des années!

Ah … si on va par là, j'ai eu droit en colle de prépa MP à un arctan(x)=arcsin(x)/arcos(x) de toute beauté …

C'est mignon ça.

Le sens des opérations s'est complètement perdu. Où ? Quand ? Je ne sais pas. Le fait est que mes élèves de la défunte TS savaient résoudre une équation du second degré (il y avait une formule) mais pas celles du premier degré (il fallait réfléchir). Et encore, si jamais je proposais z² + 3 z = 5, ils ne reconnaissaient pas le second degré, faisaient z (z + 3) = 5 (il "faut" factoriser), et restaient coincés, ou alors proposaient z = 1 ou z = 2. Ne parlons pas de 3 z + 5 = 1 - z, qui met les 3/4 des élèves en PLS. Ajouter, soustraire, diviser, multiplier, ce sont juste des touches de la calculatrice. Sur le papier, avec des nombres et des lettres, panique. Beaucoup de mes élèves de seconde n'ont jamais accepté que 4 * (1/4) = 1 sans passer par l'étape 4 * 0.25 et bien sûr l'utilisation d'une calculatrice.
J'ai personnellement appris comme Ycombe, en "faisant passer", mais quelqu'un qui aurait confondu le "faire passer" de l'addition et celui de la multiplication ... ben, ça n'existait tout simplement pas, ou pas longtemps.

Voltaire a écrit:Le sens des opérations s'est complètement perdu. Où ? Quand ? Je ne sais pas. Le fait est que mes élèves de la défunte TS savaient résoudre une équation du second degré (il y avait une formule) mais pas celles du premier degré (il fallait réfléchir). Et encore, si jamais je proposais z² + 3 z = 5, ils ne reconnaissaient pas le second degré, faisaient z (z + 3) = 5 (il "faut" factoriser), et restaient coincés, ou alors proposaient z = 1 ou z = 2. Ne parlons pas de 3 z + 5 = 1 - z, qui met les 3/4 des élèves en PLS. Ajouter, soustraire, diviser, multiplier, ce sont juste des touches de la calculatrice. Sur le papier, avec des nombres et des lettres, panique. Beaucoup de mes élèves de seconde n'ont jamais accepté que 4 * (1/4) = 1 sans passer par l'étape 4 * 0.25 et bien sûr l'utilisation d'une calculatrice.
J'ai personnellement appris comme Ycombe, en "faisant passer", mais quelqu'un qui aurait confondu le "faire passer" de l'addition et celui de la multiplication ... ben, ça n'existait tout simplement pas, ou pas longtemps.

Tu pointes là sur ce que j'ai remarqué au fur et à mesure de ma carrière. Des propositions d'explications : effet de la massification ? de l'idéologie : pas d'exercices répétitifs en maths ? le manque d'exercices concrets où il faut enchaîner deux voire trois opérations au cours moyen ? le recours systématique à la calculette des adultes quand ils ne baissent pas les bras en affirmant : "j'ai jamais rien compris en maths" ? la façon dont on mâche le travail dans la vie courante :en période de soldes les étiquettes donnent désormais les résultats ? la diminution drastique des horaires en élémentaire et au secondaire ?

Hélips a écrit:
Mais là, ce n'est pas un souci de calcul, c'est un souci de bon sens.

Le calcul, c'est beaucoup de bon sens quand même.
Le calcul c'est un mélange de raisonnement et réflexe, on commence par faire acquérir la partie réflexe aux enfants mais il faut préparer la composante raisonnement.

Le problème du passer de l'autre côté, c'est que c'est présenter les maths comme des règles un peu absurdes et arbitraires, et non du bon sens et des raisonnements.
Les élèves en difficulté en maths le sont souvent car ils ont cette vision des maths comme des règles à apprendre et appliquer. Être matheux ou avoir le déclic en maths, c'est juste interioriser que les maths se sont des raisonnements et du bon sens.

Pour moi, un élève qui a suffisamment répété avec du je passe de l'autre côté, le met dans la catégorie réflexe, et cela ne l'empêchera pas d'aller du côté des raisonnements.
Un élève qui a appris avec le je passe de l'autre côté mais qui n'a pas assez pratiqué le laissera sous forme de règle, il aura besoin d'utiliser sa mémoire pour se rappeler de la règle, et risque de tomber dans le cercle vicieux, du j'apprends des règles et je les applique, qui est l'équivalent mathématiques de foncer droit dans le mur.

Au passage celui qui enseigne le on divise de chaque côté comme une règle fait autant de mal que le je passe de l'autre côté. L'usage du bon vocabulaire n'étant pas le fond du problème ici.

Pour revenir au sujet initial, quelqu'un qui a fait des études relativement sérieuses et qui se plantent deux fois au capes de maths est probablement atteint de ce mal: apprendre des règles et à les appliquer plutôt que de produire des raisonnements (en s'appuyant parfois sur des réflexes).

Simeon a écrit:

Hélips a écrit:
Mais là, ce n'est pas un souci de calcul, c'est un souci de bon sens.

Le calcul, c'est beaucoup de bon sens quand même.
Le calcul c'est un mélange de raisonnement et réflexe, on commence par faire acquérir la partie réflexe aux enfants mais il faut préparer la composante raisonnement.

Le problème du passer de l'autre côté, c'est que c'est présenter les maths comme des règles un peu absurdes et arbitraires, et non du bon sens et des raisonnements.
Les élèves en difficulté en maths le sont souvent car ils ont cette vision des maths comme des règles à apprendre et appliquer. Être matheux ou avoir le déclic en maths, c'est juste intérioriser que les maths se sont des raisonnements et du bon sens.

Pour moi, un élève qui a suffisamment répété avec du je passe de l'autre côté, le met dans la catégorie réflexe, et cela ne l'empêchera pas d'aller du côté des raisonnements.
Un élève qui a appris avec le je passe de l'autre côté mais qui n'a pas assez pratiqué le laissera sous forme de règle, il aura besoin d'utiliser sa mémoire pour se rappeler de la règle, et risque de tomber dans le cercle vicieux, du j'apprends des règles et je les applique, qui est l'équivalent mathématiques de foncer droit dans le mur.

Au passage celui qui enseigne le on divise de chaque côté comme une règle fait autant de mal que le je passe de l'autre côté.  L'usage du bon vocabulaire n'étant pas le fond du problème ici.

Pour revenir au sujet initial, quelqu'un qui a fait des études relativement sérieuses et qui se plantent deux fois au capes de maths est probablement atteint de ce mal: apprendre des règles et à les appliquer plutôt que de produire des raisonnements (en s'appuyant parfois sur des réflexes).

Je partage tout à fait toutes tes réflexions.

Je suis d'accord aussi, mais j'essaye de faire le contraire autant que possible: le raisonnement avant et pour que cela devienne un réflexe.

jaybe a écrit:

meskiangasher a écrit:

Feyn a écrit:Certains PE disant que deux droites parallèles sont deux droites "à la même distance", hum hum...

Il est difficile de vouloir être rigoureux en géométrie élémentaire car on arrive très vite à des questions de choix de définitions et de systèmes axiomatiques...

On peut dire tout simplement que l'écart(ement) entre deux droites parallèles est constant, ce qui est une meilleure formulation et ne nécessite pas tout cela.

D'expérience, je constate que souvent, des formulations maladroites - pour ne pas dire fautives - sont utilisées alors qu'il existe des façons plus appropriées de formuler la même idée tout en restant au même niveau de langage.

On s'écarte du sujet, mais je ne vois pas pourquoi cette formulation est plus claire et surtout plus rigoureuse. Comment définit-on "l'écart" entre deux droites ? Plus précisément, comment définit-on l'écart entre deux droites sécantes ?

Pourquoi ne pas définir tout simplement deux droites parallèles comme deux droites qui n'ont pas de point d'intersection ?

Sachant que je suis d'accord avec meskiangasher, si on entre dans ce type de réflexion, il faudrait déjà -ce que les programmes ne font plus jamais, dans l'enseignement secondaire- être clair sur le système d'axiomes utilisé.

Daphné a écrit:

nicole 86 a écrit:Je (vielle prof   ) dirais :
Je calcule le prix des sept cassettes ..............
Je calcule le prix d'une cassette .................

:dehors2:

Moi zaussi.
Je suis une vieille prof en retraite et pas prof de maths en plus

De mon temps on nous apprenait les choses simplement et logiquement, enfin je trouve.
Quand la maîtresse nous a expliqué la règle de trois en CM1 puis CM2 j'ai trouvé ça clair simple logique.

Mes enfants n'ont jamais appris la règle de trois mais m'ont parlé de produit en croix et m'ont expliqué, je n'ai rien compris !

Je pense qu'il est probable que de n'importe quel temps, du moins depuis Jules Ferry, le passage par les inconnues, les équations et l'algèbre était enseigné dès le collège ou son équivalent.

En l'occurrence ce problème se résout arithmétiquement, une opération à la fois, sans nécessiter d'algèbre,
puisqu'on peut d'abord calculer le prix des K7 puis celui d'une K7.

Je faisais référence au problème :

Tu achètes un magnétoscope à 260 francs et 7 cassettes VHS. Tu payes 421 francs. Quel est le prix d'une cassette VHS ?

(voir page 2)

qui est typiquement un problème de CM2 et pour lequel la mise en équation alourdit inutilement la résolution. Un entrainement intensif sur ce type de problèmes procure par contre le sens des opérations et facilite ensuite la résolution des équations.

ben2510 a écrit:En l'occurrence ce problème se résout arithmétiquement, une opération à la fois, sans nécessiter d'algèbre,
puisqu'on peut d'abord calculer le prix des K7 puis celui d'une K7.

Certes. Comme tous les problèmes du premier degré d'ailleurs. Mais je pense que même dans "l'ancien temps", on ne s'en tenait pas à ce type de méthodes une fois dépassé le niveau du certificat d'étude. On peut difficilement réduire l'algèbre à une de ces lubies de professeurs modernes qui font rien qu'à expliquer de façon compliquée.

Prezbo a écrit:

ben2510 a écrit:En l'occurrence ce problème se résout arithmétiquement, une opération à la fois, sans nécessiter d'algèbre,
puisqu'on peut d'abord calculer le prix des K7 puis celui d'une K7.

Certes. Comme tous les problèmes du premier degré d'ailleurs. Mais je pense que même dans "l'ancien temps", on ne s'en tenait pas à ce type de méthodes une fois dépassé le niveau du certificat d'étude. On peut difficilement réduire l'algèbre à une de ces lubies de professeurs modernes qui font rien qu'à expliquer de façon compliquée.

Nos professeurs nous donnaient de longues séries d'équations à résoudre sans proposer d'habillage pseudo-concret, de plus en plus compliquées et lorsque la technique était acquise on passait aux équations produits puis aux systèmes. La mise en équation intervenait à ce moment-là (si ma mémoire et bonne).

Plutôt comme tout ce qui se met en équation sous forme canonique (l'inconnue n'apparaît qu'une seule fois dans l'équation).
Tu as des problèmes du premier degré dont la mise en équation ne débouche pas sur une forme canonique susceptible de se résoudre arithmétiquement,
sauf à ruser un peu trop ; c'est précisément ce genre d'équations qu'on a besoin de mettre en avant lorsqu'on introduit la démarche algébrique ;
je pense à des choses comme x/(x+3)=5/7 issues de situations de Thalès, p.ex.

nicole 86 a écrit:

Prezbo a écrit:

ben2510 a écrit:En l'occurrence ce problème se résout arithmétiquement, une opération à la fois, sans nécessiter d'algèbre,
puisqu'on peut d'abord calculer le prix des K7 puis celui d'une K7.

Certes. Comme tous les problèmes du premier degré d'ailleurs. Mais je pense que même dans "l'ancien temps", on ne s'en tenait pas à ce type de méthodes une fois dépassé le niveau du certificat d'étude. On peut difficilement réduire l'algèbre à une de ces lubies de professeurs modernes qui font rien qu'à expliquer de façon compliquée.

Nos professeurs nous donnaient de longues séries d'équations à résoudre sans proposer d'habillage pseudo-concret, de plus en plus compliquées et lorsque la technique était acquise on passait aux équations produits puis aux systèmes. La mise en équation intervenait à ce moment-là (si ma mémoire et bonne).

Lorsque j'enseignais au collège, j'aimais finir l'année de quatrième sur la pelouse en distribuant à des groupes d'élèves des équations de plus en plus compliquées, on finissait avec des choses du type 2/3(y-6)+5(y-3/7)=1,2(x+1/3)-0,5(3x+1)/8, les élèves aimaient bien (j'improvisais des équations en fonction de la façon dont le groupe avait su gérer l'équation précédente).

ben2510 a écrit:Plutôt comme tout ce qui se met en équation sous forme canonique (l'inconnue n'apparaît qu'une seule fois dans l'équation).
Tu as des problèmes du premier degré dont la mise en équation ne débouche pas sur une forme canonique susceptible de se résoudre arithmétiquement,
sauf à ruser un peu trop ; c'est précisément ce genre d'équations qu'on a besoin de mettre en avant lorsqu'on introduit la démarche algébrique ;
je pense à des choses comme x/(x+3)=5/7 issues de situations de Thalès, p.ex.

Ce n'est justement plus vraiment du premier degré (même si ça peut s'y ramener).

Bon, la question "A quoi ça sert tout ça, avec la méthode de mon instit de CM2 ça marchait aussi et c'était plus simple", fût-elle naïve, n'est pas si ininteressante. Il y a une vraie difficulté pédagogique à justifier l'introduction du calcul algébrique. Je dirais qu'il y a trois stades.

1) Celui où la méthode algébrique permet de résoudre des équations qui se résoudraient plus simplement par un raisonnement arithmétique élémentaire.

2) Celui où le raisonnement par calcul arithmétique reste théoriquement possible, mais alambiqué, et où la méthode algébrique commence à apparaître comme plus rapide et plus universelle.

3) Celui où la méthode algébrique permet de résoudre de nouvelles familles d'équations, inabordables précédemment.

Le problème est qu'une bonne partie des bacheliers ne dépassera pas le stade 1), ou trop superficiellement pour réutiliser ses connaissances à l'âge adulte.