[Maths] variations d'une fonction

Bonjour à tous,

Je me penche en ce moment sur la partie du programme de seconde qui concerne "les variations d'une fonction".
Comme d'habitude, le B.O est assez flou sur les détails précis du contenu à enseigner, notamment je voulais savoir si vous apprenez la différence à vos élève entre la croissance et la stricte croissance? Et quelle signification leur donnez vous pour les flèches montantes du tableau de variation : celle de la croissance ou de la stricte croissance?

Merci!

Pour les flèches du tableau c'est la stricte monotonie: c'est précisé dans le presque obsolète programme de TS.

On convient que les flèches obliques d’un tableau de variation traduisent la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l’intervalle considéré.

Du point de vue mathématique (pas pour les élèves !) on peut justifier que cela suffit au niveau du lycée par le fait que lorsqu'on étudie une fonction analytique non constante f, les zéros de la fonction analytique f' sont isolés, ce qui implique que l'ensemble de définition de f est découpable en intervalles où f est strictement monotone, ce nombre d'intervalles étant fini lorsque f est étudiée sur un intervalle borné (sinon, la fonction sinus est un contre-exemple).

Je pense donc que tu peux t'en tenir à la stricte monotonie, à moins que tu sois prêt à passer une heure à démontrer « f strictement croissante ­⇒ f croissante » par disjonction de cas (cette notion de logique étant au programme).

Il n'y a besoin que de quelques minutes pour passer de la stricte croissance à la croissance...

Je distingue les 2, et prouve l'équivalence avec le signe du taux d'accroissement. Après, ça dépend grandement du niveau des classes (je suis dans un très bon lycée).

Erbma a écrit:Il n'y a besoin que de quelques minutes pour passer de la stricte croissance à la croissance...

Pour nous, oui. Pour un élève de seconde moyen, si on veut qu'il comprenne…

Erbma a écrit:Je distingue les 2, et prouve l'équivalence avec le signe du taux d'accroissement.

Le signe de (f(y)-f(x))/(y-x) ? Quid du cas y=x ?
Dans la définition d'une fonction croissante, si x≤y est le prémisse, la caractérisation par le quotient n'est pas évidente, et si on choisit x < y, on ne peut plus composer directement les fonctions croissantes.

Oui, bien sûr, mais c'est pareil pour toutes les démonstrations du nouveau programme.

Il est clair que ce qu'on peut faire dans de très bonnes classes est impossible à faire dans des classes moyennes.

Cette année, j'ai fait directement des exercices du type : prouver que si un nombre premier p est supérieur à 6, alors le reste de la division euclidienne de p par 6 est différent de 0,2,3 et 4, sans problème.

Le taux d'accroissement n'est défini que pour x différent de y.

Ca dépend de la définition de "fonction croissante sur un intervalle I (d'intérieur non vide)" : Pour tout x,y de I, x < y implique f(x) inférieur ou égal à f(y), et hop, plus de problème!

Mathador a écrit:

Erbma a écrit:Il n'y a besoin que de quelques minutes pour passer de la stricte croissance à la croissance...

Pour nous, oui. Pour un élève de seconde moyen, si on veut qu'il comprenne…

C'est typiquement le trucs qui est devenu inabordable faute de prérequis dans les établissements où j'enseigne et ai enseigné, sauf à faire son show tous seul au tableau en larguant 90% de la classe...Ce n'est pas que ça m'amuse d'y renoncer, parce que la difficulté passée sous silence finit toujours par réapparaître plus tard, mais...

Merci à tous.

Bien vu pour le programme de TS : n'ayant pas ce niveau à enseigner je n'étais pas allez fouiner dans ce B.O. ci, qui pour le coup est beaucoup plus précis que le nouveau B.O de seconde sur cet aspect...Et donc si vous leur donnez le graphe d'une fonction constante (par exemple y=3), vous faites dessinez une flèche horizontale dans le tableau de variation?

Temps qu'on est dans les subtilités : quand vous enseignez le tableau de signes à vos élèves de seconde, quel "sens mathématique" leur donnez vous pour le signe "plus" qu'on met dans la deuxième ligne du tableau de signes d'une fonction affine par exemple? Vous rattachez cela à de la positivité ou à de la stricte positivité?

Flèche horizontale pour une fonction constante.

Dans un tableau de signes, + veut dire strictement positif.

Bonjour,

Je reviens sur ce sujet des variations (enseignement de seconde) pour dissiper un doute.

Dans plusieurs manuels, j'ai vu ce critère :

"fonction croissante : quand x augmente, f(x) augmente aussi"

Je suis un peu mal à l'aise avec cela car pour moi, je dirai plutôt cela pour de la stricte croissance.
En effet, si on prend n'importe quelle fonction constante, celle ci répond à la définition usuelle d'une fonction croissante (on dit que f est croissante sur I lorsque, pour tout a, b de I tels que a≤b, on a f(a)≤f(b)), mais ne vérifie pas le critère.

Qu'en pensez vous?

Merci par avance!

raboteux a écrit:Bonjour,

Je reviens sur ce sujet des variations (enseignement de seconde) pour dissiper un doute.

Dans plusieurs manuels, j'ai vu ce critère :

"fonction croissante : quand x augmente, f(x) augmente aussi"

Je suis un peu mal à l'aise avec cela car pour moi, je dirai plutôt cela pour de la stricte croissance.
En effet, si on prend n'importe quelle fonction constante, celle ci répond à la définition usuelle d'une fonction croissante (on dit que f est croissante sur I lorsque, pour tout a, b de I tels que a≤b, on a f(a)≤f(b)), mais ne vérifie pas le critère.

Qu'en pensez vous?

Merci par avance!

J'ai échappé aux classes de Seconde cette année, mais avec l'ancien programme, après un rapide exercice d'introduction en guise d'exemple, j'utilisais en cours une caractérisation du type "fonction croissante : quand x augmente, f(x) augmente aussi" dans un premier paragraphe consacré à une approche "intuitive" sans évoquer la question "stricte ou pas" à ce stade (il faudrait pour cela définir le terme "augmente" et donc décider d'une convention précisant si, en maths, une augmentation est stricte ou pas ; du coup, on en revient à la stricte croissance et  on tourne en rond).

Ensuite, après quelques exercices de lectures graphiques pour construire des tableaux de variations, dans un deuxième paragraphe de cours, je définissais "proprement" les fonctions strictement croissantes/décroissantes avec les inégalités ; j'évoquais alors brièvement le cas des fonctions croissantes/décroissantes au sens large avec une illustration graphique mais sans m'étendre trop longtemps dessus (il suffit de préciser qu'avec les fonctions du lycée, cela n'arrive vraiment pas souvent).

Le premier paragraphe avec l'approche "intuitive" n'est pas totalement rigoureux ni très académique, mais ça permettait de faire passer la pilule à ma majorité d'élèves faibles avant d'attaquer les choses sérieuses et de les larguer complètement.

Bonjour,

Le terme "augmenter", c'est bien ce qui me gêne : dans mon inconscient, augmenter c'est "devenir strictement plus grand"

Et dans l'inconscient des élèves?

Merci pour ta réponse en tous les cas...

Moonchild a écrit:

Ensuite, après quelques exercices de lectures graphiques pour construire des tableaux de variations, dans un deuxième paragraphe de cours, je définissais "proprement" les fonctions strictement croissantes/décroissantes avec les inégalités ; j'évoquais alors brièvement le cas des fonctions croissantes/décroissantes au sens large avec une illustration graphique mais sans m'étendre trop longtemps dessus (il suffit de préciser qu'avec les fonctions du lycée, cela n'arrive vraiment pas souvent).

A bon, les fonctions constantes ne sont pas fréquentes au lycée?

A propos des fonctions ( ou des suites ), j'aime poser la question aux élèves "Existe t il des fonctions croissantes et décroissantes ?"

Bon effectivement, comme il n'y a que des fonctions analytiques au programme ( ou presque ) il n'y a pas trop de cas pathologiques. Cependant dans le cadre du TVI, il peut être intéressant de comprendre quand on a l'unicité ou pas et le lien avec la stricte croissance, mais c'est plus pour les terminales que les secondes.

raboteux a écrit:Bonjour,

Le terme "augmenter", c'est bien ce qui me gêne : dans mon inconscient, augmenter c'est "devenir strictement plus grand"

Et dans l'inconscient des élèves?

Merci pour ta réponse en tous les cas...

C'est pour ça que, dans le premier paragraphe du cours, j'en reste à une approche "intuitive" où je me suis bien gardé d'écrire "définition" et où je ne cherche pas à dissiper le flou entre croissance et croissance stricte ; flou qui est d'ailleurs d'autant plus simple à dissimuler qu'il n'existe sans doute pas encore dans l'esprit des élèves car je suis prêt à parier que dans leur inconscient une augmentation est certainement aussi perçue comme stricte - en tout cas, je n'ai pas le souvenir qu'un élève ait spontanément envisagé le contraire avant qu'on ne lui mette le nez sur cette éventualité.

Le terme "augmenter" est effectivement trop flou pour qu'on puisse s'appuyer durablement sur lui, mais dire que "quand x augmente, f(x) augmente aussi" donne une première idée générale de la notion, explique plutôt bien le choix du vocabulaire croissante vs décroissante et, par la suite, cette première approche est censée laisser place aux définitions avec inégalités.

Si j'avais des classes de bon niveau, j'attaquerais directement par la définition de la stricte croissance/décroissance avec les inégalités et je ne mentionnerais cette histoire d'augmentation que lors d'une remarque orale, mais en faisant ça dans mon lycée, je perdrais d'emblée la majorité de la classe, d'où mon compromis.

Avatar des Abysses a écrit:

Moonchild a écrit:

Ensuite, après quelques exercices de lectures graphiques pour construire des tableaux de variations, dans un deuxième paragraphe de cours, je définissais "proprement" les fonctions strictement croissantes/décroissantes avec les inégalités ; j'évoquais alors brièvement le cas des fonctions croissantes/décroissantes au sens large avec une illustration graphique mais sans m'étendre trop longtemps dessus (il suffit de préciser qu'avec les fonctions du lycée, cela n'arrive vraiment pas souvent).

A bon, les fonctions constantes ne sont pas fréquentes au lycée?

A propos des fonctions ( ou des suites ), j'aime poser la question aux élèves "Existe t il des fonctions croissantes et décroissantes ?"

Bon effectivement, comme il n'y a que des fonctions analytiques au programme ( ou presque ) il n'y a pas trop de cas pathologiques. Cependant dans le cadre du TVI, il peut être intéressant de comprendre quand on a l'unicité ou pas et le lien avec la stricte croissance, mais c'est plus pour les terminales que les secondes.

D'accord. Mais j'avais en tête mon exemple de fonction croissante pas strictement croissante et pas constante non plus ; ça, ça n'arrive vraiment pas souvent au lycée.
Quant aux fonctions constantes, va-t-on fréquemment en Seconde multiplier les exercices où on demande d'étudier leurs variations et de construire leurs tableaux de variations ? Et dans un tel exercice avec une fonction f constante, se satisferait-on de la réponse "f est croissante" ou de la réponse "f est décroissante" ?
La question "Existe t il des fonctions croissantes et décroissantes ?" est intéressante mais, dans mon lycée, je ne m'y risquerais pas avant la Terminale S, et même là...

oui il faut savoir adapter le discours au publique...je compatis.

Avant (les boomers me comprendront), on utilisait abondamment les fonctions en escalier. Constantes par morceaux, elles peuvent cependant être croissantes, par exemple la fonction partie entière E (x). Mais bien sûr elle n'est pas strictement croissante. C'est très réducteur, la stricte croissance (sauf bien sûr pour le TVI dans le cadre des fonctions continues).

Mathador a écrit:Lorsqu'on étudie une fonction analytique non constante f, les zéros de la fonction analytique f' sont isolés, ce qui implique que l'ensemble de définition de f est découpable en intervalles où f est strictement monotone, ce nombre d'intervalles étant fini lorsque f est étudiée sur un intervalle borné

Il faut que ce soit un segment, non ? Un intervalle borné me semble insuffisant. sin(1/x) prise sur l'intervalle ]0;1] va changer de sens de variation une infinité de fois.

Et puis, toutes les fonctions ne sont pas analytiques et, pour des lycéens, c'est pas un concept très utile non plus. J'aime bien donner l'exemple de xsin(1/x) (prolongée en 0) à des TS quand on parle de la dérivabilité pour leur montrer que ne pas être dérivable en un point ça ne veut pas forcément dire avoir une tangente verticale. Celle-ci est même continue sur [0;1] et bon courage pour donner son tableau de variation (sans utiliser de pointillés !)