[Maths] Probabilités conditionnelles 1ere

Mon cerveau étant complètement submergé par l'angoisse du confinement actuel, je n'arrive plus à réfléchir ! Du coup, je n'arrive pas à trouver pourquoi la probabilité de A sachant B est définie comme étant le quotient P(A inter B)/P(B) et non card(A inter B)/card(B).
Merci !

Pour plus de généralité. Tant que tu travailles avec des probas sur des univers finis, le coup des cardinaux fonctionnera nickel, mais quand tu veux passer aux probas à lois continues, ça te fait des trucs bizarres, les cardinaux.

Ok, je vois, mais en 1ère, ce ne serait pas plus à la portée des élèves de commencer par un quotient de cardinaux ? ou y a-t-il autre chose qui cloche à ce niveau-là ?

chmarmottine a écrit:Ok, je vois, mais en 1ère, ce ne serait pas plus à la portée des élèves de commencer par un quotient de cardinaux ?  ou y a-t-il autre chose qui cloche à ce niveau-là ?

Je donne les deux formules en démontrant la première à partir de la seconde.

OK, merci !

chmarmottine a écrit:Ok, je vois, mais en 1ère, ce ne serait pas plus à la portée des élèves de commencer par un quotient de cardinaux ?  ou y a-t-il autre chose qui cloche à ce niveau-là ?

Je n'ai pas regardé le programme de première d'assez près, mais quand je faisais ça en terminale ES, je m'appuyais, comme c'était prévu par le programme, sur les fréquences conditionnelles qu'ils avaient vues en première, ce qui revient exactement à faire ce que tu proposes.

Hélips a écrit:

chmarmottine a écrit:Ok, je vois, mais en 1ère, ce ne serait pas plus à la portée des élèves de commencer par un quotient de cardinaux ?  ou y a-t-il autre chose qui cloche à ce niveau-là ?

Je n'ai pas regardé le programme de première d'assez près, mais quand je faisais ça en terminale ES, je m'appuyais, comme c'était prévu par le programme, sur les fréquences conditionnelles qu'ils avaient vues en première, ce qui revient exactement à faire ce que tu proposes.

Donc, mon cerveau n'est pas si confiné que ça, finalement ! Je vais aller relire les nouveaux programmes de 1ere. Merci.

Mais non, il a l'air tout à fait opérationnel, ce cerveau

Hélips a écrit:Pour plus de généralité. Tant que tu travailles avec des probas sur des univers finis, le coup des cardinaux fonctionnera nickel, mais quand tu veux passer aux probas à lois continues, ça te fait des trucs bizarres, les cardinaux.

Même sur un univers fini, je crois que le truc avec les cardinaux commence déjà à cafouiller dès qu'il n'y a plus équiprobabilité.

chmarmottine a écrit:Ok, je vois, mais en 1ère, ce ne serait pas plus à la portée des élèves de commencer par un quotient de cardinaux ?  ou y a-t-il autre chose qui cloche à ce niveau-là ?

Oui, ce serait sans doute plus à la portée des élèves s'ils étaient familiers avec la notion de cardinal ; mais comme elle n'est plus au programme depuis belle lurette, il faudrait introduire à la hussarde un terme de vocabulaire et des notations supplémentaires qui nous semblent naturels mais n'en seront pas moins de nouvelles sources de confusion pour les élèves (quand je vois ce que peut devenir un simple P(X=5) après avoir été torturé par le stylo d'un élève...).
Avec des élèves qui auraient préalablement acquis le vocabulaire ensembliste, on pourrait dans un premier temps définir les probabilités conditionnelles par le quotient des cardinaux dans le cas d'équiprobabilité, puis observer que ça ne marche plus quand il n'y a pas équiprobabilité mais que la formule avec le quotient des probabilités peut alors être généralisée ; le risque serait que certains élèves restent crispés sur la première définition qu'ils ont rencontrée et qu'ils continuent à l'employer hors de son contexte.

Oups, oui, je n'avais pas décollé mon cerveau de mon exemple d'introduction, la honte...

Hélips a écrit:Oups, oui, je n'avais pas décollé mon cerveau de mon exemple d'introduction, la honte...

C'est le problème avec les exemples d'introduction : s'ils arrivent parfois à retenir notre cerveau en otage, vous imaginez tout le mal qu'ils peuvent faire aux neurones si innocents de nos élèves ?

Pour ma part, je vois les probabilités conditionnelles de la façon suivante : le nouvel univers est B, par conséquent il faut renormaliser le calcul de la probabilité de A pour obtenir p(A|B) et par la condition p(B | B)=1. Un petit diagramme de Venn peut aider aussi.
On voit tellement d'équiprobabilité qu'on en oubli les événements non vide de probabilité nulle...et pleins d'autres d'ailleurs.

renormaliser, ça me rappelle un élève. Il gérait moyennement bien les arrondis en dressant ses arbres pondérés :  son 'total' était de 0,96 au lieu de 1, une fois en contrôle. Ce qui m'a surpris, c'est que pour calculer p(A), il a renormalisé avec son 0,96.

Avatar des Abysses a écrit:Pour ma part, je vois les probabilités conditionnelles de la façon suivante : le nouvel univers est B, par conséquent il faut renormaliser le calcul de la probabilité de A pour obtenir p(A|B) et par la condition p(B | B)=1. Un petit diagramme de Venn peut aider aussi.
On voit tellement d'équiprobabilité qu'on en oubli les événements non vide de probabilité nulle...et pleins d'autres d'ailleurs.

Je voudrais bien savoir comment présenter les choses de cette façon ... à distance !

Hélips a écrit:Pour plus de généralité. Tant que tu travailles avec des probas sur des univers finis, le coup des cardinaux fonctionnera nickel, mais quand tu veux passer aux probas à lois continues, ça te fait des trucs bizarres, les cardinaux.

Comme l'a dit Moonchild, la formule avec les cardinaux n'est plus vraie dès que tu n'as plus équiprobabilité...

Prenons un dé à 6 faces pipé tel que p(X=6)=1/2 et p(X=1)=p(X=2)=p(X=3)=p(X=4)=p(X=5)=1/10.

Le cardinal ne l'ensemble des nombres pairs est 3, mais la probabilité de tirer 6 sachant qu'on a tiré un nombre pair n'est pas 1/3.

(Ou plus simple même : si B désigne l'ensemble de tout les résultats possible, la probabilité de tirer 6 sachant B n'est pas 1/6.)

Hélips a écrit:

chmarmottine a écrit:Ok, je vois, mais en 1ère, ce ne serait pas plus à la portée des élèves de commencer par un quotient de cardinaux ?  ou y a-t-il autre chose qui cloche à ce niveau-là ?

Je n'ai pas regardé le programme de première d'assez près, mais quand je faisais ça en terminale ES, je m'appuyais, comme c'était prévu par le programme, sur les fréquences conditionnelles qu'ils avaient vues en première, ce qui revient exactement à faire ce que tu proposes.

Je sais que c'était l'esprit du programme, mais cette façon de définir les probabilités à partir des fréquences me semble bien caractéristique de la façon aberrante dont on a voulu enseigner les stats et les probas dans le secondaire à partir de 2003. Peut-être que ça a un sens pour les gens qui font de l'estimation de risque (je ne sais pas, je ne suis pas compétant), mais axiomatiquement et pédagogiquement, c'est un non sens...J'aurais espéré que le rapport TV soit l'occasion de se débarasser définitvement de cetta approche.

Prezbo a écrit:

Hélips a écrit:Pour plus de généralité. Tant que tu travailles avec des probas sur des univers finis, le coup des cardinaux fonctionnera nickel, mais quand tu veux passer aux probas à lois continues, ça te fait des trucs bizarres, les cardinaux.

Comme l'a dit Moonchild, la formule avec les cardinaux n'est plus vraie dès que tu n'as plus équiprobabilité...

Prenons un dé à 6 faces pipé tel que p(X=6)=1/2 et p(X=1)=p(X=2)=p(X=3)=p(X=4)=p(X=5)=1/10.

Le cardinal ne l'ensemble des nombres pairs est 3, mais la probabilité de tirer 6 sachant qu'on a tiré un nombre pair n'est pas 1/3.

(Ou plus simple même : si B désigne l'ensemble de tout les résultats possible, la probabilité de tirer 6 sachant B n'est pas 1/6.)

Hélips a écrit:

chmarmottine a écrit:Ok, je vois, mais en 1ère, ce ne serait pas plus à la portée des élèves de commencer par un quotient de cardinaux ?  ou y a-t-il autre chose qui cloche à ce niveau-là ?

Je n'ai pas regardé le programme de première d'assez près, mais quand je faisais ça en terminale ES, je m'appuyais, comme c'était prévu par le programme, sur les fréquences conditionnelles qu'ils avaient vues en première, ce qui revient exactement à faire ce que tu proposes.

Je sais que c'était l'esprit du programme, mais cette façon de définir les probabilités à partir des fréquences me semble bien caractéristique de la façon aberrante dont on a voulu enseigner les stats et les probas dans le secondaire à partir de 2003. Peut-être que ça a un sens pour les gens qui font de l'estimation de risque (je ne sais pas, je ne suis pas compétant), mais axiomatiquement et pédagogiquement, c'est un non sens...J'aurais espéré que le rapport TV soit l'occasion de se débarasser définitvement de cetta approche.

Comment procéder, du coup, pour que les élèves de 1ere comprennent un minimum la formule de départ de P(A/B) ?
Je veux bien leur balancer la formule, mais bon, c'est un peu rude, non ?

J’ai toujours procédé ainsi en Terminale et j’ai fait la même chose en 1G cette année (ça a toujours bien fonctionné) : calculs de probabilités conditionnelles à l’aide d’un tableau (possible en réalité dès le collège ou la Seconde sauf qu’on ne leur dit pas que c’est une proba conditionnelle), calcul de la probabilité de A et de la probabilité de l’intersection qui va bien (toujours directement à partir du tableau) : résultats sous formes fractionnaires évidemment. De là certains s’apercevront du lien entre les différentes proba (les meilleurs!) et verront qu’on obtient l’une par division des deux autres. Après ça on passe au cours et la généralisation les convainc largement.

+1 Badiste75

chmarmottine a écrit:
Comment procéder, du coup, pour que les élèves de 1ere comprennent un minimum la formule de départ de P(A/B) ?
Je veux bien leur balancer la formule, mais bon, c'est un peu rude, non ?

Ben, non, pas tant que ça. En tout cas moins risqué qu'avec un exemple d'introduction qui va leur laisser croire des choses fausses.

Avec cette lubie de tout vouloir rendre « naturel », on en arrive à avoir peur de faire un cours de maths, c'est-à-dire donner des définitions.

Je ne dis pas qu'il ne faut pas expliquer que dans les cas d'équiprobabilité ça revient à faire le quotient des cardinaux (ou à compter des croix dans des patates), mais, très honnêtement, j'ai toujours d'abord donné la définition « abstraite ». Ça ne perturbe pas les élèves plus que ça.
Il faut aussi admettre que, parfois, la compréhension peut venir après l'apprentissage.

Badiste75 a écrit:J’ai toujours procédé ainsi en Terminale et j’ai fait la même chose en 1G cette année (ça a toujours bien fonctionné) : calculs de probabilités conditionnelles à l’aide d’un tableau (possible en réalité dès le collège ou la Seconde sauf qu’on ne leur dit pas que c’est une proba conditionnelle), calcul de la probabilité de A et de la probabilité de l’intersection qui va bien (toujours directement à partir du tableau) : résultats sous formes fractionnaires évidemment. De là certains s’apercevront du lien entre les différentes proba (les meilleurs!) et verront qu’on obtient l’une par division des deux autres. Après ça on passe et on cours et la généralisation les convainc largement.

C'était mon idée de départ (partir de calculs avec un tableau, mais comme je n'ai aucun recul (pas de Tale), je n'imaginais pas que les élèves pouvaient deviner la formule à partir d'un exemple.

Merci pour votre aide.

VinZT a écrit:

chmarmottine a écrit:
Comment procéder, du coup, pour que les élèves de 1ere comprennent un minimum la formule de départ de P(A/B) ?
Je veux bien leur balancer la formule, mais bon, c'est un peu rude, non ?

Ben, non, pas tant que ça. En tout cas moins risqué qu'avec un exemple d'introduction qui va leur laisser croire des choses fausses.

Avec cette lubie de tout vouloir rendre « naturel », on en arrive à avoir peur de faire un cours de maths, c'est-à-dire donner des définitions.

Je ne dis pas qu'il ne faut pas expliquer que dans les cas d'équiprobabilité ça revient à faire le quotient des cardinaux (ou à compter des croix dans des patates), mais, très honnêtement, j'ai toujours d'abord donné la définition « abstraite ». Ça ne perturbe pas les élèves plus que ça.
Il faut aussi admettre que, parfois, la compréhension peut venir après l'apprentissage.

Je suis bien d'accord avec toi. Je ne fais que très rarement des activités ou exemples introductifs, mais en enseignement à distance, je ne sais pas trop comment faire ...

chmarmottine a écrit:

Je suis bien d'accord avec toi. Je ne fais que très rarement des activités ou exemples introductifs, mais en enseignement à distance, je ne sais pas trop comment faire ...

Je suis sans doute influencée par mes convictions a priori, mais je pense que l'enseignement à distance devrait nous inciter encore plus à revenir à des processus très classiques. Se lancer dans une activité d'introduction, encore mieux avec usage des TICE, si l'on ne peut pas avoir les retours des élèves en direct...

Prezbo a écrit:

chmarmottine a écrit:

Je suis bien d'accord avec toi. Je ne fais que très rarement des activités ou exemples introductifs, mais en enseignement à distance, je ne sais pas trop comment faire ...

Je suis sans doute influencée par mes convictions a priori, mais je pense que l'enseignement à distance devrait nous inciter encore plus à revenir à des processus très classiques. Se lancer dans une activité d'introduction, encore mieux avec usage des TICE, si l'on ne peut pas avoir les retours des élèves en direct...

Pas faux.
Inévitablement, il faut aller à l'essentiel.
Je risque de finir le programme plus vite que prévu, en fait !!!

chmarmottine a écrit:

Badiste75 a écrit:J’ai toujours procédé ainsi en Terminale et j’ai fait la même chose en 1G cette année (ça a toujours bien fonctionné) : calculs de probabilités conditionnelles à l’aide d’un tableau (possible en réalité dès le collège ou la Seconde sauf qu’on ne leur dit pas que c’est une proba conditionnelle), calcul de la probabilité de A et de la probabilité de l’intersection qui va bien (toujours directement à partir du tableau) : résultats sous formes fractionnaires évidemment. De là certains s’apercevront du lien entre les différentes proba (les meilleurs!) et verront qu’on obtient l’une par division des deux autres. Après ça on passe et on cours et la généralisation les convainc largement.

C'était mon idée de départ (partir de calculs avec un tableau, mais comme je n'ai aucun recul (pas de Tale), je n'imaginais pas que les élèves pouvaient deviner la formule à partir d'un exemple.

Merci pour votre aide.

Comme Badiste, en Terminale je commence par un exemple d'introduction avec des calculs de probabilités conditionnelles à l’aide d’un tableau où les élèves utilisent spontanément - et sans le savoir - la formule avec les cardinaux et c'est moi qui en classe les aiguille immédiatement vers le quotient des probabilités en leur faisant observer que ça donne les mêmes résultats et en précisant que c'est cette formule qu'on donnera comme définition en cours juste après (s'ils demandent pourquoi, je réponds que ça marche mieux dans le cas général et, s'ils insistent, je botte en touche en leur disant que parfois on ne connaît pas les effectifs mais on connaît les probabilités grâce à des pourcentages). Dans l'ensemble, ça passe comme une lettre à la poste (voire mieux, la poste n'est plus ce qu'elle était) et, pour une fois, je trouve que l'exemple d'introduction n'est pas inutile car il évite que la définition ne paraisse "parachutée".

Cette année, en première générale, j'ai repris cette introduction en ajoutant une question sur un arbre pondéré à compléter avec les probabilités conditionnelles pour préparer ce qu'on fera ensuite avec la formule des probabilités totales et j'ai aussi ajouté un deuxième exercice d'introduction classique avec deux tirages sans remise qui amènent "naturellement" à un arbre pondéré. En fait, j'ai procédé à ces ajouts car je me suis rendu compte qu'avec les nouveaux programmes, lorsqu'ils attaquent les probabilités conditionnelles, les élèves de première G ont à tout prendre moins de recul sur les arbres pondérés que n'en avaient les élèves de terminale et, du coup, la présentation de mon cours était sans doute un peu trop abrupte en arrivant très vite à un arbre pondéré dans le cas général.

Cela dit, cette partie du cours repose effectivement beaucoup sur l'interaction en classe et ce doit être un gros travail pour mettre par écrit des balises de guidage palliant l'absence d'explications orales (en particulier pour expliquer la différence entre P(A inter B), P_A(B) et P_B(A) que les élèves confondent souvent - et ce n'est pas très étonnant car ces trois probabilités concernent le même sous-ensemble d'éléments).