[Maths 1re] Progression rentrée 2019

Mathador a écrit:

Moonchild a écrit:En fait, si on y tient à tout prix, il n'est pas complètement impossible de parler du produit scalaire avant la trigo : par exemple en commençant par le traitement analytique, mais ça oblige alors à couper ce chapitre d'une manière qui ne me semble pas vraiment convaincante.

Cela correspond à la structure du chapitre (unique) sur le produit scalaire dans le Transmath de 1990: on le définit par xx'+yy', on utilise la formule de polarisation pour démontrer que cette formule marche dans toutes les BON, on étudie les propriétés algébriques puis la projection permet d'établir la formule avec le cosinus.
Et il ne me semble effectivement pas envisageable de faire tout cela sans avoir revu la trigo dans la mesure où l'on utilise des cosinus d'angles obtus.
Pour ce qui des applications du produit scalaire, je ne vois guère que le théorème de la médiane (et donc également la puissance d'un point par rapport à un cercle) qui peut être abordé sans la formule utilisant le cosinus, ainsi que tout ce qui se ramène au théorème de Pythagore.

Parmi les intervenants sur ce fil et vos collègues, il y en a beaucoup qui n'ont pas traité le chapitre de trigonométrie de seconde cette année 2018-2019 ?
Le cosinus d'un angle obtus était toujours au programme, cette année.

Sur 10 classes de 2de, 10 classes n'ont pas fait la trigo.

ben2510 a écrit:Le cosinus d'un angle obtus était toujours au programme, cette année.

Non, c'est le cosinus d'un nombre entre pi/2 et pi (ainsi que du reste des réels) qui était au programme. Le lien entre les deux n'était au programme que pour les angles aigus.

Donc le chapitre de trigo est plus court que je l'imaginais. S'il n'y a pas les équations, c'est quand même très maigre ...

Concernant les suites, si vous faites les variations avant d'avoir abordé la dérivation, alors vous ne pouvez pas étudier les variations des suites explicites à l'aide d'une fonction ? Ou alors vous vous limitez aux fonctions du second degré et affines ?

Je réfléchis encore mais je trouve plus agréable de faire suites arithmétiques / géométriques d'abord puis plus tard sens de variation et limite. Mais il y a peut-être des arguments intéressants pour faire l'inverse.

Savez-vous où l'on peut trouver le texte qui indique les périodes des E3C ? Je n'ai rien vu au sujet d'épreuve en mars/avril.

Ici : https://www.education.gouv.fr/pid285/bulletin_officiel.html?cid_bo=144063

on parle du 3eme trimestre.

Mathador a écrit:

ben2510 a écrit:Le cosinus d'un angle obtus était toujours au programme, cette année.

Non, c'est le cosinus d'un nombre entre pi/2 et pi (ainsi que du reste des réels) qui était au programme. Le lien entre les deux n'était au programme que pour les angles aigus.

Je ne comprends pas ta réponse.

ben2510 a écrit:

Mathador a écrit:

ben2510 a écrit:Le cosinus d'un angle obtus était toujours au programme, cette année.

Non, c'est le cosinus d'un nombre entre pi/2 et pi (ainsi que du reste des réels) qui était au programme. Le lien entre les deux n'était au programme que pour les angles aigus.

Je ne comprends pas ta réponse.

Si je cite les items du programme:

« Enroulement de la droite numérique » sur le cercle trigonométrique et définition du sinus et du cosinus d’un nombre réel.

On définit donc cosinus et sinus d'un nombre réel.

On fait le lien avec les valeurs des sinus et cosinus des angles de 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.
On fait le lien avec la trigonométrie du triangle rectangle vue au collège. La notion de radian n’est pas exigible.
⇄Réfraction (optique).

On voit donc le rapport entre le cosinus et le sinus d'un angle aigu vus au collège, et les nouvelles fonctions de la variable réelle cos et sin.

Il n'est donc nulle part dans le programme question du cosinus d'un angle obtus, qu'il soit orienté ou géométrique.
C'est confirmé par l'ancien manuel Sésamath, qui n'en parle pas alors qu'il dépasse pourtant le programme en définissant la tangente d'un nombre réel.

Pas de trigo pour moi en 2nde l’an dernier, je me suis adapté en cours d’année comme recommandé. Enfin je dirais plutôt que j’ai bricolé! Les puissances en fin d’année c’était pédagogiquement très fort... Moonchild un moyen très simple de forcer les élèves à ne pas utiliser le discriminant lorsqu’on peut faire autrement : les évaluer en questions flash sur des équations à résoudre avant d’avoir vu le discriminant. Perso, je n’hésiterais pas à mettre 0,25 (histoire de pas mettre 0...) s’il y en a un qui a vu par lui-même ou avec un tiers la méthode qui marche tout le temps (delta!) pour non respect des consignes. En gérant bien le chrono, ils n’auront de toute façon pas le temps de discriminer totalement... Sadique moi?

Mathador a écrit:

ben2510 a écrit:

Mathador a écrit:

ben2510 a écrit:Le cosinus d'un angle obtus était toujours au programme, cette année.

Non, c'est le cosinus d'un nombre entre pi/2 et pi (ainsi que du reste des réels) qui était au programme. Le lien entre les deux n'était au programme que pour les angles aigus.

Je ne comprends pas ta réponse.

Si je cite les items du programme:

« Enroulement de la droite numérique » sur le cercle trigonométrique et définition du sinus et du cosinus d’un nombre réel.

On définit donc cosinus et sinus d'un nombre réel.

On fait le lien avec les valeurs des sinus et cosinus des angles de 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.
On fait le lien avec la trigonométrie du triangle rectangle vue au collège. La notion de radian n’est pas exigible.
⇄Réfraction (optique).

On voit donc le rapport entre le cosinus et le sinus d'un angle aigu vus au collège, et les nouvelles fonctions de la variable réelle cos et sin.

Il n'est donc nulle part dans le programme question du cosinus d'un angle obtus, qu'il soit orienté ou géométrique.
C'est confirmé par l'ancien manuel Sésamath, qui n'en parle pas alors qu'il dépasse pourtant le programme en définissant la tangente d'un nombre réel.

"Le cercle trigonométrique permet ainsi de généraliser le cosinus et le sinus à des angles pas forcément aigus, éventuellement négatifs, que ces angles soient en radians ou en degrés". Cela ne prend pas beaucoup de temps à dire, même si bien sûr il faut ensuite quelques exercices.
Ce n'est pas parce que ce n'est pas écrit explicitement dans le programme qu'il ne faut pas le faire !
Le programme est un espèce de résidu d'influences diverses ; nous sommes des fonctionnaires de catégorie A/A+, hautement qualifiés, cela fait partie de notre travail de mettre en cohérence les éléments du programme pour les enseigner de façon compréhensible.

ben2510 a écrit:
"Le cercle trigonométrique permet ainsi de généraliser le cosinus et le sinus à des angles pas forcément aigus, éventuellement négatifs, que ces angles soient en radians ou en degrés". Cela ne prend pas beaucoup de temps à dire, même si bien sûr il faut ensuite quelques exercices.
Ce n'est pas parce que ce n'est pas écrit explicitement dans le programme qu'il ne faut pas le faire !
Le programme est un espèce de résidu d'influences diverses ; nous sommes des fonctionnaires de catégorie A/A+, hautement qualifiés, cela fait partie de notre travail de mettre en cohérence les éléments du programme pour les enseigner de façon compréhensible.

Tout à fait ! Il faudra bien entendu voir les angles associés en trigonométrie avant de se lancer sur le PS avec la formule du cosinus et la projection orthogonale (au fait combien l'auront traité en 2nde ???).
Par ailleurs, personnellement, je démontrais aussi toutes ses propriétés à partir de sa définition avec les coordonnées... et je pense continuer !

La projection orthogonale, même pas faite en Seconde, n’est pas ce qui posera le plus de problème. C’était déjà le cas avant. On peut encore tout démontrer en partant du cosinus, c’est chiant mais ça se fait, en tout cas j’ai construit mon cours comme ça.

Sans prétendre à l'originalité, bien au contraire, je pars de la forme polaire dans un triangle, ce qui permet de faire le lien avec Pythagore.
En posant d=1/2(AB² +AC²-BC²), on a évidemment d=0 ssi ABC est rectangle en A, et d<0 si "l'hypoténuse" est trop grande, d>0 si elle est trop petite.
En commençant par montrer que d ne dépend pas de la position de C mais seulement de celle de son projeté orthogonal H sur (AB),
on a immédiatement la forme avec le p.o. et celle avec le cosinus.
Enfin en remarquant que les coordonnées des vecteurs AB et AC sont celles des points B et C pour peu qu'on se place dans un r.o.n d'origine A,
on arrive à xx'+yy'.

En une heure on a établi les quatre formes, on peut enchaîner quelques exercices (en particulier avec des vecteurs normaux et des équations de droites, des équations de cercle...), établir Al-Kashi, faire isoler le cosinus, puis plus tard utiliser p.ex la forme analytique pour les détails (forme bilinéaire symétrique définie positive).

Les prérequis : Pythagore, cosinus dans un triangle rectangle, cosinus d'un angle obtus, Pythagore en analytique.
Les enjeux : des calculs de triangle, de la géo ana (reprise de la condition analytique de colinéarité, établissement de celle d'orthogonalité, équations de cercle, problèmes d'intersections et de systèmes de degré 1 ou 2, tangence, paramètres et raisonnements par équivalence), un réinvestissement léger de la trigo de collège (en y ajoutant Al-Kashi) et d'un des (nombreux) aspects intéressants du cercle trigo.

Bref je ne comprends pas trop l'intérêt de partir de xx'+yy' ?
Et encore moins celui de partir de la forme avec le cosinus ?

Ce n’est pas moi qui en vois un intérêt gigantesque (si ce n’est qu’on peut très vite parler du travail d’une force), c’est ce que demande le BO, je ne fais pas partie du CSP

Le BO demande, grand bien lui fasse.
On demande, parfois on obtient.

Badiste75 a écrit:Moonchild un moyen très simple de forcer les élèves à ne pas utiliser le discriminant lorsqu’on peut faire autrement : les évaluer en questions flash sur des équations à résoudre avant d’avoir vu le discriminant. Perso, je n’hésiterais pas à mettre 0,25 (histoire de pas mettre 0...) s’il y en a un qui a vu par lui-même ou avec un tiers la méthode qui marche tout le temps (delta!) pour non respect des consignes. En gérant bien le chrono, ils n’auront de toute façon pas le temps de discriminer totalement... Sadique moi?

Oui peut-être, mais je fais partie des derniers irréductibles à ne pas faire de questions flash. Même si ça donne l'impression que cela fait - superficiellement ? - progresser certains élèves, je trouve que ce genre de pratique est un peu infantilisante pour le lycée... et puis je suis tout simplement incapable de mettre ça en place en terme de gestion de la classe et du temps, ça partirait très vite en vrille.
Quant à forcer les élèves à ne pas utiliser le discriminant, c'est ce que je faisais déjà parfois avec les programmes d'avant 2011 dans certains contrôles où je faisais en sorte d'indiquer une racine d'un trinôme et je demandais ensuite d'en déduire ses racines sans calculer le discriminant (sinon pas de point), mais je constatais que la question restait souvent non traitée en dehors même de la pression du chrono. Et puis le problème n'est pas tant de les "forcer" artificiellement à ne pas utiliser le discriminant que d'arriver à ce que, spontanément, ils ne l'utilisent pas lorsqu'il n'est pas nécessaire.

Badiste75 a écrit:La projection orthogonale, même pas faite en Seconde, n’est pas ce qui posera le plus de problème. C’était déjà le cas avant. On peut encore tout démontrer en partant du cosinus, c’est chiant mais ça se fait, en tout cas j’ai construit mon cours comme ça.

Dans le programme actuel de première S,  à l'instar de tous les autres collègues de mon lycée, j'ai fini par laisser tomber la formule du produit scalaire avec la projection orthogonale car elle était très peu utilisée (et presque toujours contournable avec la bilinéarité sauf dans certains exercices géométrico-géométriques qui ne sont plus vraiment d'actualité) et qu'elle était en général très mal comprise par des élèves qui la plupart du temps essayaient de l'appliquer en projetant - parfois orthogonalement, par accident - les deux vecteurs sur une même troisième direction. J'en suis donc arrivé à la conclusion que cette formule, qui était pourtant celle avec laquelle j'avais découvert le produit scalaire en seconde (mais à l'époque, on avait les mesures algébriques qui facilitaient la définition), posait beaucoup plus de problèmes que je ne l'aurais imaginé initialement ; cela dit, ce n'est pas si surprenant que ça puisque dans ma génération, les projections - pas toutes orthogonales - étaient étudiées vers la classe de cinquième et souvent réutilisées ensuite donc, quand on arrivait en seconde, on avait du recul sur le sujet.

Sinon, ça m'intéressait d'avoir la trame de ta progression en partant de la formule du cosinus parce que, à brûle-pourpoint, je ne vois pas de démonstration simple de la bilinéarité à partir de cette définition.

Toujours à propos du lien entre trigo et produit scalaire, les angles orientés ne sont plus mentionnés dans le programme qui se limite à l'enroulement pour la définition du cosinus et du sinus d'un nombre réel. J'en déduis que les angles orientés ne sont plus au programme mais sans eux la formule du produit scalaire avec le cosinus risque d'être beaucoup plus délicate à énoncer...

ben2510 a écrit:Bref je ne comprends pas trop l'intérêt de partir de xx'+yy' ?
Et encore moins celui de partir de la forme avec le cosinus ?

Partir de la formule xx'+yy' se justifie assez facilement devant les élèves en disant qu'on recherche un critère d'orthogonalité qui serait l'analogue du déterminant pour la colinéarité ; dans le fond cela revient à reprendre ton critère de calcul de d=1/2(AB² +AC²-BC²) en lien avec Pythagore mais dans une version analytique (et d'ailleurs, la présence du 1/2 apparaît plus naturelle car, dans ton schéma, le calcul de AB² +AC²-BC² s'imposerait de façon plus évidente à première vue).
Mais je vois un autre intérêt à partir de la formule xx'+yy' ou de celle avec le cosinus : donner comme définition du produit scalaire l'une des deux formes qui sont les plus souvent employées en pratique dans le cadre des programmes actuels. Les premières fois que j'ai traité ce chapitre, je partais de la formule pompeusement appelé identité de polarisation et je me suis rendu compte que ça traumatisait pas mal d'élèves qui par la suite n'arrivaient plus à se détacher de ce "premier contact" et voulaient absolument utiliser cette formule à toutes les sauces même lorsqu'elle était inapplicable dans le contexte. Bien sûr, devant de bons élèves, le problème ne se poserait pas avec la même intensité, il arriveraient à prendre de la distance par rapport à la première définition donnée et à ses variantes, mais concrètement je dois faire avec mes élèves.
Pour terminer, je privilégie le départ par la formule xx'+yy' car cela permet de tout démontrer plus facilement qu'en partant de la formule du cosinus.

Pour les démos en partant du cosinus, le but est de démontrer toutes les définitions du PS avant d’établir la bilinéarité avec xx’+yy’. Si tu as le Declic (nouveau) tu peux regarder. Pour les questions flash, j’ai pas encore testé mais si je ne fais pas ça je vais encore avoir de telles moyennes que le proviseur va encore me tomber dessus (fini à 6 en Seconde l’an dernier). J’espère qu’avec ça ils vont comprendre l’intérêt de retravailler le cours à chaque séance et que ça permettra de gonfler artificiellement les moyennes. Niveau gestion, je vais voir si je m’en sors, ça me fait un peu peur aussi mais paraît-il que ça marche assez bien.

Moonchild a écrit:Sinon, ça m'intéressait d'avoir la trame de ta progression en partant de la formule du cosinus parce que, à brûle-pourpoint, je ne vois pas de démonstration simple de la bilinéarité à partir de cette définition.

• La formule avec la projection se déduit de celle avec le cosinus.
  
• La projection étant linéaire, le produit scalaire est linéaire d'un côté.
  
• Vu qu'il est symétrique (la formule du cosinus l'étant), il est donc bilinéaire.
  

Ce n'est pas très compliqué en soi mais cela risque tout de même de l'être pour des élèves non habitués aux mesures algébriques (autrement dit, au repérage 1D). De plus pour être rigoureux cela demande de justifier que la projection orthogonale (définie sur les points) « passe aux vecteurs »: la preuve que j'ai en tête utilise les angles correspondants, qui ne sont plus au programme du collège depuis #PerdoSapientiam2016.
Sinon, en passant par les coordonnées d'abord cela peut fonctionner aussi, mais le passage rigoureux d'une forme à l'autre me semble plus difficile dans ce sens.

Moonchild a écrit:Toujours à propos du lien entre trigo et produit scalaire, les angles orientés ne sont plus mentionnés dans le programme qui se limite à l'enroulement pour la définition du cosinus et du sinus d'un nombre réel. J'en déduis que les angles orientés ne sont plus au programme mais sans eux la formule du produit scalaire avec le cosinus risque d'être beaucoup plus délicate à énoncer...

Elle fonctionne tout aussi bien en utilisant un angle géométrique (pouvant être supposé saillant) entre les vecteurs, ce dernier étant bien défini en raison de la conservation des angles géométriques par les translations.

PS: j'ai regardé le cours du nouveau Sésamath. Il commence par la formule avec le cosinus (de l'angle géométrique entre deux vecteurs, défini sans justifier le caractère univoque de la définition), établit la projection et le cas particulier des vecteurs colinéaires avant de passer à la polarisation (justifiée avec le théorème d'al-Kashi, ce dernier étant démontré sans les vecteurs en activité d'introduction !) puis à la formule des coordonnées.

Badiste75 a écrit:Pour les démos en partant du cosinus, le but est de démontrer toutes les définitions du PS avant d’établir la bilinéarité avec xx’+yy’. Si tu as le Declic (nouveau) tu peux regarder. Pour les questions flash, j’ai pas encore testé mais si je ne fais pas ça je vais encore avoir de telles moyennes que le proviseur va encore me tomber dessus (fini à 6 en Seconde l’an dernier). J’espère qu’avec ça ils vont comprendre l’intérêt de retravailler le cours à chaque séance et que ça permettra de gonfler artificiellement les moyennes. Niveau gestion, je vais voir si je m’en sors, ça me fait un peu peur aussi mais paraît-il que ça marche assez bien.

Je n'ai pas le nouveau Declic, d'ailleurs je n'ai reçu qu'un seul spécimen (variations de chez Hatier) ; à croire que les éditeurs ont compris que je n'utilise aucun livre en classe.
Quant à mes moyennes de classe, je vais devoir tricher autrement.

Mathador a écrit:

Moonchild a écrit:Sinon, ça m'intéressait d'avoir la trame de ta progression en partant de la formule du cosinus parce que, à brûle-pourpoint, je ne vois pas de démonstration simple de la bilinéarité à partir de cette définition.

• La formule avec la projection se déduit de celle avec le cosinus.
  
• La projection étant linéaire, le produit scalaire est linéaire d'un côté.
  
• Vu qu'il est symétrique (la formule du cosinus l'étant), il est donc bilinéaire.
  

Ce n'est pas très compliqué en soi mais cela risque tout de même de l'être pour des élèves non habitués aux mesures algébriques (autrement dit, au repérage 1D). De plus pour être rigoureux cela demande de justifier que la projection orthogonale (définie sur les points) « passe aux vecteurs »: la preuve que j'ai en tête utilise les angles correspondants, qui ne sont plus au programme du collège depuis #PerdoSapientiam2016.
Sinon, en passant par les coordonnées d'abord cela peut fonctionner aussi, mais le passage rigoureux d'une forme à l'autre me semble plus difficile dans ce sens.

Je vois quand même quelques obstacles pour arriver à rendre ça accessible pour les élèves.
Sans mesure algébrique, je crois que la formule avec la projection ne se déduit de celle avec le cosinus qu'au prix d'une pénible discussion sur la position relative des points permettant de représenter les vecteurs concernés.
Et puis, surtout, la linéarité de la projection ne me semble pas évidente à justifier en n'utilisant que des outils des programmes actuels.

Mathador a écrit:

Moonchild a écrit:Toujours à propos du lien entre trigo et produit scalaire, les angles orientés ne sont plus mentionnés dans le programme qui se limite à l'enroulement pour la définition du cosinus et du sinus d'un nombre réel. J'en déduis que les angles orientés ne sont plus au programme mais sans eux la formule du produit scalaire avec le cosinus risque d'être beaucoup plus délicate à énoncer...

Elle fonctionne tout aussi bien en utilisant un angle géométrique (pouvant être supposé saillant) entre les vecteurs, ce dernier étant bien défini en raison de la conservation des angles géométriques par les translations.

Donc, pour éviter le problème, il va falloir tourner autour du pot en parlant de la mesure de l'angle géométrique formé par deux représentants des vecteurs u et v ayant même origine.

Moonchild, tu peux aller voir sur le site des éditeurs, tous les manuels sont feuilletables. Je ne me gêne pas pour faire des captures d’écran d’ailleurs pour récupérer telle ou telle chose à droite, à gauche.

Moonchild a écrit:Sans mesure algébrique, je crois que la formule avec la projection ne se déduit de celle avec le cosinus qu'au prix d'une pénible discussion sur la position relative des points permettant de représenter les vecteurs concernés.

Si l'on ne se repose que sur la trigonométrie du triangle rectangle vue au collège, il faudra de toute façon faire une disjonction de cas et utiliser la formule cos(pi-x)=-cos(x) pour se ramener à un angle aigu.

Moonchild a écrit:Et puis, surtout, la linéarité de la projection ne me semble pas évidente à justifier en n'utilisant que des outils des programmes actuels.

Étape 1: si on note p la projection sur (d), vec(p(A)p(B)) ne dépend que de vec(AB).
Pour cela il suffit de constater que les angles et sens de projection sont les mêmes quelque soit le représentant vec(AB)=vec(CD). Pour cela, on projette A sur p(A), C sur p(C) puis on construit B' tel que vec(AB)=vec(p(A)B') et D' tel que vec(CD)=vec(p(C)D'). Alors (p(A)B') et (p(C)D') sont parallèles car ayant des vecteurs directeurs égaux. Si on note y une direction de (d), alors les angles géométriques B'p(A)y et D'p(C)y sont correspondants sur des droites parallèles et ont donc même mesure. Le fait que les projections soient de même sens pourrait se justifier en considérant les projections des deux autres côtés du parallélogramme ABDC, ce qui montre que p(A)p(B)p(D)p(C) est un parallélogramme aplati, ce qui « verrouille » les configurations possibles.
Étape 2: additivité de p.
Il suffit de remarquer que p(vec(AC)) = vec(p(A)p(C)) = vec(p(A)p(B)) + vec(p(B)p(C)) = p(vec(AB)) + p(vec(BC)).
Étape 3: multiplicativité de p par rapport au produit externe.
Si A est sur (d) et que vec(AC)=alpha*vec(AB), alors la figure de projection de A,B et C est une figure sur laquelle s'applique le théorème de Thalès, qui permet de conclure.

Les angles correspondants ne sont certes plus au programme, mais les angles alternes-internes et opposés au sommet le sont encore.
Bref, c'est largement faisable. Est-ce que je recommanderais cela en classe ? C'est une autre histoire .

Moonchild a écrit:

Mathador a écrit:

Moonchild a écrit:Toujours à propos du lien entre trigo et produit scalaire, les angles orientés ne sont plus mentionnés dans le programme qui se limite à l'enroulement pour la définition du cosinus et du sinus d'un nombre réel. J'en déduis que les angles orientés ne sont plus au programme mais sans eux la formule du produit scalaire avec le cosinus risque d'être beaucoup plus délicate à énoncer...

Elle fonctionne tout aussi bien en utilisant un angle géométrique (pouvant être supposé saillant) entre les vecteurs, ce dernier étant bien défini en raison de la conservation des angles géométriques par les translations.

Donc, pour éviter le problème, il va falloir tourner autour du pot en parlant de la mesure de l'angle géométrique formé par deux représentants des vecteurs u et v ayant même origine.

Il n'y a pas réellement besoin de tourner autour du pot: cet angle est bien défini. Il suffit de justifier qu'il y a un seul résultat possible quels que soient les représentants, soit par l'intuition (si on fait glisser sans tourner, les angles restent les mêmes), soit par triangles égaux (les deux vecteurs, avec une même origine, font des triangles dont les trois côtés ont les mêmes longueurs ||u||, ||v|| et ||v-u||).

Pour alimenter la discussion, voilà comment je procède habituellement.

TP élèves

Mathador a écrit:

Moonchild a écrit:Sans mesure algébrique, je crois que la formule avec la projection ne se déduit de celle avec le cosinus qu'au prix d'une pénible discussion sur la position relative des points permettant de représenter les vecteurs concernés.

Si l'on ne se repose que sur la trigonométrie du triangle rectangle vue au collège, il faudra de toute façon faire une disjonction de cas et utiliser la formule cos(pi-x)=-cos(x) pour se ramener à un angle aigu.

Moonchild a écrit:Et puis, surtout, la linéarité de la projection ne me semble pas évidente à justifier en n'utilisant que des outils des programmes actuels.

Étape 1: si on note p la projection sur (d), vec(p(A)p(B)) ne dépend que de vec(AB).
Pour cela il suffit de constater que les angles et sens de projection sont les mêmes quelque soit le représentant vec(AB)=vec(CD). Pour cela, on projette A sur p(A), C sur p(C) puis on construit B' tel que vec(AB)=vec(p(A)B') et D' tel que vec(CD)=vec(p(C)D'). Alors (p(A)B') et (p(C)D') sont parallèles car ayant des vecteurs directeurs égaux. Si on note y une direction de (d), alors les angles géométriques B'p(A)y et D'p(C)y sont correspondants sur des droites parallèles et ont donc même mesure. Le fait que les projections soient de même sens pourrait se justifier en considérant les projections des deux autres côtés du parallélogramme ABDC, ce qui montre que p(A)p(B)p(D)p(C) est un parallélogramme aplati, ce qui « verrouille » les configurations possibles.
Étape 2: additivité de p.
Il suffit de remarquer que p(vec(AC)) = vec(p(A)p(C)) = vec(p(A)p(B)) + vec(p(B)p(C)) = p(vec(AB)) + p(vec(BC)).
Étape 3: multiplicativité de p par rapport au produit externe.
Si A est sur (d) et que vec(AC)=alpha*vec(AB), alors la figure de projection de A,B et C est une figure sur laquelle s'applique le théorème de Thalès, qui permet de conclure.

Les angles correspondants ne sont certes plus au programme, mais les angles alternes-internes et opposés au sommet le sont encore.
Bref, c'est largement faisable. Est-ce que je recommanderais cela en classe ? C'est une autre histoire .

C'est bien ce que je me disais, c'est faisable... mais il vaut mieux ne pas le faire en classe.

Badiste75 a écrit:Moonchild, tu peux aller voir sur le site des éditeurs, tous les manuels sont feuilletables. Je ne me gêne pas pour faire des captures d’écran d’ailleurs pour récupérer telle ou telle chose à droite, à gauche.

Merci pour l'indication ; c'est idiot mais je suis loin d'avoir intégré l'habitude d'aller chercher l'info sur ces sites et pourtant j'avais reçu sur ma messagerie académique un paquet de messages des éditeurs m'indiquant que les nouveaux manuels étaient consultables en ligne...

J'ai donc jeté un oeil à ce que propose le Déclic et, bien que ce soit à mon avis plus accessible que la démarche décrite par Mathador, ça ne déclenche pas chez moi un grand enthousiasme : la façon dont on obtient l'identité de polarisation à partir de la définition avec les cosinus est astucieuse, mais cette démonstration me paraît quand même un peu parachutée avec son détour par les coordonnées ; quant à l'activité 1, elle n'est pas inintéressante, mais elle me semble chronophage alors qu'on peut obtenir beaucoup plus vite et facilement la formule avec les projections si on a d'abord démontré la bilinéarité.
Bref, je persiste à penser que, si on veut tout démontrer, c'est plus simple et plus "fluide" en partant de la définition analytique qui a aussi l'avantage de permettre d'aborder tout de suite des exercices classiques préfigurant ce qui est fait en terminale dans la plupart des exercices de géométrique dans l'espace (à voir si ce sera encore vrai après la réforme). Je ne vois donc pas de raison de s'imposer le départ par la formule avec le cosinus quand bien même le programme le demanderait - ce qui d'ailleurs ne me semble pas si clair que ça.

Il me semble qu'un point important est que les quatre formes étant établies, on peut choisir la plus adaptée pour chaque propriété qu'on souhaite démontrer.
Mais l'idée qu'il puisse y avoir plusieurs définitions équivalentes est difficile pour les élèves (on trouve le même problème avec exp).

Je viens de regarder les documents d'accompagnement de Mathématiques de l'Enseignement scientifique... il vaudrait surement mieux revoir la place des fonctions trigonométriques et ne pas attendre la fin de l'année...

https://www.geogebra.org/m/gq4ewapb#chapter/379205

Regarder en particulier le thème 4

Vous en pensez quoi ?

J'en pense que les programmes ne brillent pas par leur cohérence, et que les collègues qui enseigneront l'enseignement scientifique se démerderont comme des grands.

De ce que j'en ai compris — je parle de l'enseignement scientifique — rien de technique, mathématiquement parlant, n'est exigé. On se contentera donc d'analyse de textes, de deux trois calculs élémentaires (quatre opérations, règle de trois), d'animations vidé-projetées, et, si le temps le permet, de trucs sur tableur et de recopies de programmes python.