L'évolution des performances en calcul des élèves de CM2 à trente ans d'intervalle (1987-2017)

Je pense qu'on est tous formatés par la façon dont on a nous-mêmes appris...
J'ai appris le proportionnalité par les tableaux, pour moi c'est quelque chose de naturel. Mais ça ne l'est visiblement pas autant pour mes élèves que pour moi. Et je me souviens que pour ma mère, qui jetait un oeil à mes devoirs, ces tableaux c'était du chinois !
A la réflexion, le retour à l'unité est beaucoup plus naturel et donne du sens. D'ailleurs, j'ai demandé un jour à une collègue retraitée  ce qu'était cette fameuse règle de trois que je n'avais jamais apprise... et bien c'était le retour à l'unité, formalisé exactement comme l'a écrit Ycombe (et pour elle, non, le produit en croix, ce n'est pas la règle de trois, contrairement à ce que j'avais toujours cru, c'est juste une autre méthode plus rapide mais plus "formule magique").
Ça n'empêche pas que les tableaux sont utiles quand on a toute une floppée de valeurs à calculer... et que leur usage présente l'inconvénient de formater certains élèves : dès qu'ils voient un tableau à compléter, ils pensent "produit en croix" ou coefficient... même quand il n'y a pas de proportionnalité !


Et je conviens que les maths modernes, en primaire, on devrait s'en passer... quoique, s'habituer aux patates et aux flèches, en guise d'illustration et sans vocabulaire derrière, c'est pas mal pour la suite, mais ça devrait s'arrêter là. Les changement de base, franchement... à la limite, pour l'ouverture d'esprit, en guise de curiosité, pour expliquer que notre système n'est pas universel, mais sans formaliser !
Mais si j'avais su qu'on faisait des patates en primaire, j'aurais pu rétorquer à mon inspecteur qui me reprochait de dessiner des patates à mes élèves pour expliquer que les carrés font partie des rectangles et eux-mêmes des parallélogrammes... lui, il voulait que je passe par des arbres avec des caractères qui se différencient, pour moi ça n'était absolument pas naturel et bien moins clair... lui me disait que les patates, ils n'en avaient jamais vu et que ça ne représentait rien pour eux, qu'ils ne pouvaient pas visualiser ainsi une inclusion... C'était il y a des années, je manquais d'expérience, et ce fut ma première révélation sur les "modes" dans les façons d'enseigner...

on ne peut pas s'en passer sans refonder entièrement la didactique des maths actuelles...

C'est très facile dans l'absolu. Il faut être progressif, formuler tout ça avec des phrases et rester proche des grandeurs et de leurs avatars "concrets", je suis cependant d'accord sur le fait qu'il faille être à contre-courant et c'est ça qui est parfois difficile dans les divers contextes auxquels les PE sont confrontés.

je sais, j'utilise Compter Calculer depuis 10 ans.

Volubilys a écrit:je sais, j'utilise Compter Calculer depuis 10 ans.

et c'est justement en faisant autrement que le côté maths modernes/brassage d'air me saute aux yeux...

Pat B a écrit:D'ailleurs, j'ai demandé un jour à une collègue retraitée  ce qu'était cette fameuse règle de trois que je n'avais jamais apprise... et bien c'était le retour à l'unité, formalisé exactement comme l'a écrit Ycombe (et pour elle, non, le produit en croix, ce n'est pas la règle de trois, contrairement à ce que j'avais toujours cru, c'est juste une autre méthode plus rapide mais plus "formule magique").

Règle de trois: calcul avec trois nombres, une multiplication et une division utilisé pour trouver le quatrième nombre dans une situation de proportionalité.
Exemple: 300/6*5, en général on écrit (300*5)/6 (avec un trait de fraction).

Retour à l'unité: méthode pour trouver la règle de trois, c'est à dire l'enchainement des calculs à faire. On se ramène à l'unité sur la grandeur qui indique la valeur de départ et d'arrivée.
Exemple: 6 éléphants coûtent 300 lampes, combien coûtent 5 éléphants? On connait le départ (6) et l'arrivée (5) pour les éléphants, on va calculer pour l'unité: 1 éléphant, en divisant par 6. Plus qu'à multiplier par 5 pour finir. Cela donne 300/6*5, qu'on écrit (300*5)/6 pour faire plus joli en fraction. Cette dernière expression est une règle de trois.

Quatrième proportionnelle: autre méthode pour trouver la règle de trois, qui consiste à écrire les nombres au bon endroit dans un tableau à deux lignes et deux colonnes et à multiplier ceux qui sont en diagonale et diviser par le troisième.

Le calcul dans le tableau passe en général par le calcul du coefficient de proportionnalité, méthode ignorée par les anciens à cause de la difficulté qu'il peut y avoir à trouver un sens concret au coefficient (nombre concret: nombre avec unité). On peut aussi utiliser le tableau pour calculer par combinaison linéaire des colonnes, c'est pour cette raison qu'il a été introduit  lors de la réforme des maths modernes.

Je maintiens qu'aujourd'hui, traîner ce tableau dans l'enseignement de la proportionnalité au primaire est plus un handicap qu'autre chose.

Et je rajouterais...

Produits en croix : Calculs qui permettent de déterminer si un tableau est de proportionnalité, ou si deux fractions sont égales : a/b = c/d <=> ad = bc.

On utilise une des 3 méthodes citées par Ycombe quand on sait déjà qu'on a une situation de proportionnalité.
On utilise la règle des produits en croix pour démontrer qu'on a (ou pas) une situation de proportionnalité.

Dans la pratique, nombre d'élèves (et même d'adultes) utilisent la règle de trois pour montrer qu'on a (ou pas) proportionnalité. Et c'est moche.

William Foster a écrit:Et je rajouterais...

Produits en croix : Calculs qui permettent de déterminer si un tableau est de proportionnalité, ou si deux fractions sont égales : a/b = c/d <=> ad = bc.

On utilise une des 3 méthodes citées par Ycombe quand on sait déjà qu'on a une situation de proportionnalité.
On utilise la règle des produits en croix pour démontrer qu'on a (ou pas) une situation de proportionnalité.

Dans la pratique, nombre d'élèves (et même d'adultes) utilisent la règle de trois pour montrer qu'on a (ou pas) proportionnalité. Et c'est moche.

Et nombre d'élèves utilisent l'existence d'un tableau à deux lignes pour justifier qu'une situation est de proportionnalité.

Pat B a écrit:Mais si j'avais su qu'on faisait des patates en primaire, j'aurais pu rétorquer à mon inspecteur qui me reprochait de dessiner des patates à mes élèves pour expliquer que les carrés font partie des rectangles et eux-mêmes des parallélogrammes... lui, il voulait que je passe par des arbres avec des caractères qui se différencient, pour moi ça n'était absolument pas naturel et bien moins clair...

Merci Pat B, je constate que je ne suis pas le seul... Et si un jour un inspecteur me dit qu'ils n'ont jamais vu de patates, je peux au moins répondre que si, avec moi en 6ème je fais la même chose pour les nombres entiers, décimaux, les autres et en 3ème on ajoute les rationnels et irratinnels.

Quand je parle de patates, je ne sais pas si ce sont des maths modernes ou pas, mais l'idée derrière tout cela c'est d'avoir des situations simples et concrètes qui vont nous guider vers l'abstraction. Je pense qu'actuellement le coeur du problème est là, on a peur de traumatiser les élèves avec de l'abstraction mais sans abstraction on ne fera jamais de maths.

Pour revenir sur la règle de trois ou le produit en croix, pour moi c'est la même chose avec une présentation différente. Et pour beaucoup la règle de trois c'est exactement la technique liées aux produits en croix dans un tableau. Dans les deux cas, on applique une formule efficace, mais ces formules n'aident pas à comprendre la proportionnalité.

Pour le retour à l'unité, je souhaite toujours faire le lien avec le prix unitaire, le prix au kg, la part pour une personne, et finalement on parle du coefficient de proportionnalité.

William Foster a écrit:Dans la pratique, nombre d'élèves (et même d'adultes) utilisent la règle de trois pour montrer qu'on a (ou pas) proportionnalité. Et c'est moche.

Dans la pratique, la technique "du produit en croix" c'est pareil que la règle de trois, on multiplie en diagonale les deux nombres connus et on divise par celui qui est en diagonale avec la case vide.

Dans l'exemple suivant :
[ 4  ][ 8 ]
[150][290]

On peut écrire :
a) 4*2 = 8 et 150 * 2 = 300 et comme 300 n'est pas égal à 290 alors ce n'est pas une situation de proportionnalité.
b) 8 * 150 / 4 = 300 et comme 300 n'est pas égal à 290 alors ce n'est pas une situation de proportionnalité.
c) Les produits en crois sont-ils égaux ?  4 * 290 = 1160 et 8 * 150 = 1200 comme ils ne sont pas égaux alors ce n'est pas une situation de proportionnalité.
d) 150/4 = 37,5, 290/8 = 36,25 les quotients ne sont pas égaux alors ce n'est pas une situation de proportionnalité.
e) 150/4 = 37,5 et 8 * 37,5 = 300 et comme 300 n'est pas égal à 290 alors ce n'est pas une situation de proportionnalité.

Toutes ces méthodes sont valables, et certainement équivalentes donc je ne vois pas pourquoi l'une serait plus moche que les autres ou alors elles le sont toutes, non ?

J'ajouterai presque que la méthode c) avec les produits en croix peut devenir incomplète dans un tableau avec plus de 2 colonnes car avec 3 colonnes par exemple la plupart du temps on accepte seulement 2 vérifications alors qu'il y a trois égalités de produits en croix et pourtant avec seulement 2 vérifications sur 3 on annonce : tous les produits en croix sont égaux donc c'est un tableau de proportionnalité.

Pat B a écrit:Mais si j'avais su qu'on faisait des patates en primaire, j'aurais pu rétorquer à mon inspecteur qui me reprochait de dessiner des patates à mes élèves pour expliquer que les carrés font partie des rectangles et eux-mêmes des parallélogrammes... lui, il voulait que je passe par des arbres avec des caractères qui se différencient, pour moi ça n'était absolument pas naturel et bien moins clair...

Je ne pense pas que ce soit une bonne idée de mettre en concurrence plusieurs types de représentations qui ont chacune leur intérêt selon le contexte. Les diagrammes de Venn sont plus précis, mais l'ensemble des relations entre les différentes classes d'objets peut être bien compliqué à gérer pour leur construction (la maison des quadrilatères, très utilisée en Allemagne, se lit nettement mieux sous forme d'arbre). On peut trouver quelques arbres dans des manuels du milieu du siècle dernier (j'ai un exemple précis en tête mais il faut que je retrouve la référence exacte).

Manu7 a écrit:J'ajouterai presque que la méthode c) avec les produits en croix peut devenir incomplète dans un tableau avec plus de 2 colonnes car avec 3 colonnes par exemple la plupart du temps on accepte seulement 2 vérifications alors qu'il y a trois égalités de produits en croix et pourtant avec seulement 2 vérifications sur 3 on annonce : tous les produits en croix sont égaux donc c'est un tableau de proportionnalité.

Cette méthode n'est mise en défaut que si une colonne du milieu est composée uniquement de 0: dans le cas contraire la condition est suffisante car la colinéarité est une relation transitive (et même une relation d'équivalence, dont les classes d'équivalence sont les droites vectorielles privées de 0) sur les vecteurs non nuls, et la colinéarité de proche en proche suffit alors pour établir que la matrice étudiée est de rang 1.

Manu7 a écrit:
Toutes ces méthodes sont valables, et certainement équivalentes donc je ne vois pas pourquoi l'une serait plus moche que les autres ou alors elles le sont toutes, non ?

Théoriquement, oui. Elles sont toutes équivalentes.
Mais démontrer qu’un tableau est de proportionnalité en faisant les produits en croix ne coûte que deux multiplications. Utiliser la règle de trois ou l’égalité des coefs sur chaque colonne coûte au moins une division... Et les divisions coûtent cher aux élèves : difficulté de poser une division ou de la faire de tête, ou avec la calculette risque d’arrondi intempestif... Autant de soucis qui ne se posent pas avec les produits en croix.

Bien sûr, dans un monde idéal, les divisions ne devraient pas être gênantes. Et ce genre d’exercice devrait être une bonne occasion de faire des divisions.
Je préfère quand même distinguer les deux questions, avec deux méthodes différentes, ne serait-ce que pour éviter qu’ils pensent que tous les tableaux sont de proportionnalité.

Très intéressant mais ça n'a pas grand chose à voir avec les résultats à des tests en CM2.

Je suggère à ceux qui ont du mal à faire accepter leurs patates par leurs inspecteurs d'appeler ça par leur vrai nom, ça fera tout de suite plus chic.

Ce sont des diagrammes de Venn d'Euler.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Diagramme_de_Venn
https://fr.wikipedia.org/wiki/Diagramme_d%27Euler

ycombe a écrit:Ce sont des diagrammes d'Edwards Venn.

J'aime bien celui-là : coloré et esthétique !

Mes secondes cette année n'ont pas le "produit en croix", ils appliquent exclusivement la "quatrième proportionnelle". Et bien, pour résoudre (3 -x)/3 = x/4 (on cherchait "le" carré inscrit dans un triangle rectangle de côtés 3, 4, 5), ça n'a pas été simple : on passe par 3 - x = 3 (x/4), puis 3 - x = (3x)/ 4, puis ... alors qu'avec le produit en croix c'est assez instantané !

Mathador a écrit:Cette méthode n'est mise en défaut que si une colonne du milieu est composée uniquement de 0: dans le cas contraire la condition est suffisante car la colinéarité est une relation transitive (et même une relation d'équivalence, dont les classes d'équivalence sont les droites vectorielles privées de 0) sur les vecteurs non nuls, et la colinéarité de proche en proche suffit alors pour établir que la matrice étudiée est de rang 1.

[mode humour]
Que de complications... Il est beaucoup plus naturel de se placer dans le cadre de la géométrie projective (exit le (0,0)) : chaque colonne correspond alors à un point de la droite projective, et le tableau est de proportionnalité si et seulement si les points sont tous égaux.
[/mode humour]

Call_BB5A a écrit:Que de complications...

J'aime bien les écrits de Mathador : c'est de la poésie... en fin comme l'entendait Mallarmé.

Verdurette a écrit:Les bijections, les patates etc ... j'ai subi cela en début de collège (vers 1971/1974), donc c'est assez flou dans mon souvenir,  mais dans la mesure où je n'ai pas fait d'études de mathématiques, je n'y ai pas trouvé de sens. Ne me sautez pas à la gorge, je n'ai pas écrit qu'il n'y en a pas, je dis juste que pour ce que j'en ai vu, et tel qu'on me l'a enseigné, je n'ai pas vu où ça pouvait bien mener.  OK, on a des ensembles, des petites croix, des flèches, des injections, des bijections, des surjections ...  et après ????

Je ne sais pas si ma réponse va vraiment t'éclairer, mais les patates sont une méthode de représentation qui est assez efficace par la suite dans certains domaines, en particulier pour les probabilités ; plus globalement la notion d'ensemble induit l'idée qu'en maths on classe les objets selon leur nature (le parallèle avec la géométrie pouvait être fait dès le collège). Quant aux flèches entre les patates, ça préparait quand même plutôt bien à la notion de fonction qui est devenue très floue aujourd'hui pour les élèves et cela permettait de faire le lien avec les transformations géométriques (le vocabulaire étant commun : images, antécédents,...). Et, bien qu'on ne s'en rende réellement compte que dans les études supérieures, le cas particulier de la bijection est central car il permet d'identifier deux ensembles (dans le sens où deux ensembles à première vue différents sont en réalité mathématiquement la même chose) et, avec quelques conditions supplémentaires selon le domaine étudié, de transférer à l'un des deux les propriétés démontrées pour l'autre.
Personnellement, je crois que cela m'a beaucoup aidé dans mes études d'avoir étudié tout ça vers la sixième ou la cinquième (sauf qu'étant passé un peu après toi, au collège je n'ai pas eu droit aux injections et surjections que je n'ai découvertes qu'en prépa) mais je comprends que pour quelqu'un qui n'a pas poursuivi les maths au delà du lycée, l'utilité puisse en rester assez mystérieuse. Enfin, je ne me prononcerai pas sur la pertinence des patates au primaire, je n'ai pas les compétences pour ça.

Sinon, poursuite du HS :

William Foster a écrit:Théoriquement, oui. Elles sont toutes équivalentes.
Mais démontrer qu’un tableau est de proportionnalité en faisant les produits en croix ne coûte que deux multiplications. Utiliser la règle de trois ou l’égalité des coefs sur chaque colonne coûte au moins une division... Et les divisions coûtent cher aux élèves : difficulté de poser une division ou de la faire de tête, ou avec la calculette risque d’arrondi intempestif... Autant de soucis qui ne se posent pas avec les produits en croix.

Oui, j'aime bien la méthode des produits en croix pour démontrer que c'est proportionnel, mais dans les tableaux avec 6 colonnes cela donne 10 multiplications alors que si on détermine un coef par une division et qu'ensuite on effectue 5 multiplications alors on peut s'interroger est-ce que 5 multiplications c'est plus simple qu'une division ?

Mathador a écrit:Cette méthode n'est mise en défaut que si une colonne du milieu est composée uniquement de 0: dans le cas contraire la condition est suffisante car la colinéarité est une relation transitive (et même une relation d'équivalence, dont les classes d'équivalence sont les droites vectorielles privées de 0) sur les vecteurs non nuls, et la colinéarité de proche en proche suffit alors pour établir que la matrice étudiée est de rang 1.

Oui justement, comment expliquer aux élèves de collège combien il faut vérifier de produits en croix pour prouver qu'un tableau est proportionnel ?

Souvent on accepte que si on fait tous les produits en croix de proche en proche cela est suffisant mais on ne parle jamais du cas (0;0) alors qu'on le rencontre facilement si on part d'un graphique et qu'on veut évoquer la différence entre l'observation visuelle de l'alignement avec l'origine et la méthode sûre par le calcul.

Et pour être franc, pour ma part, je dis aux élèves qu'ils faut que tous les produits en croix soient égaux alors que je parle uniquement des produits de proche en proche...

Les bons élèves voient bien qu'il y a un problème surtout quand je déconseille la règle de trois de proche en proche à cause des erreurs en cascade...

Manu7 a écrit:mais on ne parle jamais du cas (0;0)

C'est parce que le couple (0;0) n'est pas sensé se trouver dans un tableau de proportionnalité.
Un tableau de deux lignes est de proportionnalité si et seulement si les colonnes correspondent à des proportions qui sont toutes égales.

Code:

+----+----+----+----+
| 36 |  9 | 27 | 18 |
+----+----+----+----+
| 20 |  5 | 15 | 10 |
+----+----+----+----+


C'est un tableau de proportionnalité car les proportions sont toutes égales : 36÷20 = 9÷5 = 27÷15 = 18÷10   (= 1,8)

Le couple (0;0) ne correspond à aucune proportion car 0÷0 n'est pas défini.

C'est à l'image du vecteur nul qu'on ignore volontairement lorsqu'on parle de colinéarité.

Et si on définit un tableau de proportionnalité par l'existence d'un coefficient constant transformant les nombres de la première ligne en les nombres correspondants de la deuxième?

Call_BB5A a écrit:C'est parce que le couple (0;0) n'est pas sensé se trouver dans un tableau de proportionnalité.
Un tableau de deux lignes est de proportionnalité si et seulement si les colonnes correspondent à des proportions qui sont toutes égales.

Je suis d'accord avec Anaxagore, je pense plutôt que deux grandeurs sont proportionnelles si et seulement si on peut passer de l'une à l'autre en multipliant par un même nombre. Je ne pense pas que la propriété donnée par Call_BB5A soit vraie, elle est vraie uniquement dans les tableaux qui n'ont pas de colonnes nulles, cela n'implique pas que c'est interdit d'avoir une colonne nulle dans un tableau de proportionnalité.

C'est d'ailleurs un cas que je demande de vérifier à mes élèves pour savoir si une situation est proportionnelle, par exemple j'aime bien l'âge et la taille, si à 1 an on mesure 60 cm alors peut-on en déduire la taille à 2 ans ? On se rend compte que c'est absurde mais les élèves sont amusés quand je leur demande quelle serait notre taille le jour de notre naissance si c'était proportionnel. C'est important d'insister justement sur ce couple (0;0) ainsi on risque moins de parler de proportionnalité quand les points d'un graphique sont alignés mais pas avec l'origine. Bref pour ma part je mets des zéros dans les tableaux de proportionnalité, surtout quand je fais l'activité avec les graphiques...

En troisième, on fait le lien entre les tableaux de proportionnalité et les tableaux de valeurs des fonctions linéaires, il serait étrange de dire qu'il ne faut pas mettre l'image de zéro dans les tableaux.