Mathématiques appliquées bénéfice maximal, polynôme

Bonsoir,

je suis bloqué dans le cadre d'un devoir de préparation du Capes de SES.

On cherche à déterminer le bénéfice maximal sur I=[1;15], la fonction bénéfice étant exprimée par B(x)=8-[(16x²+11x+60)/(x+14)]

Pour trouver la solution je voudrais calculer l'expression de la dérivée afin de trouver l'extremum quand celle-ci s'annule. C'est là que les problèmes commencent...

L'expression étant de la forme u/v je trouve B'(x)=8-(16x²+470x+214/x²+28x+196)
Je n'arrive pas à simplifier cette expression, comment résoudre ce problème?

Merci par avance pour votre aide

Tu es sûr de ta dérivée ?

B(x)=8x-[(16x²+11x+60)/(x+14)]
j'ai oublié le x pardon

En effet c'est ce que je trouve vu que c'est de la forme (u/v)'

On pourrait garder le (x+14)² dans la mesure où on en connait le signe mais je ne vois pas non plus comment résoudre à partir de là

Utopique a écrit:B(x)=8x-[(16x²+11x+60)/(x+14)]
j'ai oublié le x pardon

En effet c'est ce que je trouve vu que c'est de la forme (u/v)'

C'est bien ce qu'il me semblait, mais es-tu sûr de ton numérateur ?

Il faut tout mettre au même dénominateur, le signe du dénominateur est toujours positif sur [1; 15] et il reste un polynôme du second degré au numérateur à étudier.

sur [1;15]

Edité

J'ai fait une erreur de signe!

en corrigeant je trouve B'(x) 8- (16x²+448x+94)/(x+14)²

En utilisant le solveur de ma calculatrice je peux résoudre l'équation, je trouve alors x=5,5 ce qui correspond à la représentation graphique
Aurait-il été possible de se passer de la calculatrice?

Il faut commencer par réduire au même dénominateur la dérivée.

Utopique a écrit:J'ai fait une erreur de signe!

en corrigeant je trouve B'(x) 8- (16x²+448x+94)/(x+14)²

En utilisant le solveur de ma calculatrice je peux résoudre l'équation, je trouve alors x=5,5 ce qui correspond à la représentation graphique
Aurait-il été possible de se passer de la calculatrice?

chmarmottine a écrit:Il faut commencer par réduire au même dénominateur la dérivée.

En faisant ce que tu chmarmottine te recommande, tu obtiens une expression qui s'annule pour la valeur annulant le numérateur (la valeur x=-14 étant une valeur interdite puisqu'elle annule le dénominateur EDIT : mais comme on est sur [1 ; 15], la précision n'est peut-être pas nécessaire). Il te faut donc résoudre l'équation : 8(x+14)² - (16x² + 448x + 94) = 0

EDIT : Pardon, chers et chères collègues de maths, si j'écorche un peu le vocabulaire

Je dirai plutôt étudier le signe de l'expression pour en déduire les variations de la fonction de départ.
J'ignore l'énoncé, si on sait qu'il y a un maximum, on peut se contenter en effet de chercher la valeur qui donne zéro dans [1 , 15] j'ignore le niveau de rédaction demandé.

Je te conseille de télécharger photomath sur ton mobile, tu prends une photo du calcul et il le fait pour toi avec les étapes intermédiaires, il résous aussi les équations. Si tu n'es pas très sur de toi en calcul, cela peut aider.

On peut faire à la main, avec:
16x²+11x+60 = (x+14)(16x-213) +3042
En notant que 3042 = 13*13*3*3*2 , on se ramène à un a²-b² facilement factorisable.

Frimeur Pis il est où ton a² ?
Sans rire, je pense qu'un calcul de discriminant, puis de x1 et x2, suffit largement à ce niveau !
Il faut, par contre, savoir ramener au même dénominateur l'expression trouvée, puis réduire le numérateur, sinon on ne peut aboutir à rien.
Mais je pense aussi qu'il faut étudier le signe de la dérivée, faire un tableau de variations et en déduire le maximum ; c'est ce qu'on fait en maths en 1ère ES...

Utopique a écrit:J'ai fait une erreur de signe!

en corrigeant je trouve B'(x) 8- (16x²+448x+94)/(x+14)²

En utilisant le solveur de ma calculatrice je peux résoudre l'équation, je trouve alors x=5,5 ce qui correspond à la représentation graphique
Aurait-il été possible de se passer de la calculatrice?

Oui, bien entendu. C'est même plus facile sans calculatrice.

Tu mets ton B'(x) sur le même dénominateur qui est un carré. B'(x) a donc le signe du numérateur qui, lui, est une fonction polynôme du second degré du type ax²+bx+c dont on connaît le signe (signe de a à l'extérieur des racines) et dont on sait calculer les racines éventuelles avec le delta, machin, tout ça.

Tu trouves une racine dans [1;15], à savoir -14+2√95 qui n'est pas très loin de 5,5, effectivement. le a étant négatif B'(x) est positif avant cette racine et négatif après puisque l'autre racine est négative (-14-2√95) -33,5. Ce qui donne un maximum pour ta fonction sur [1;15], en x=-5,5.

Il ne reste plus qu'à calculer ce maximum.

En fait, il me semble évident que l'usage de la calculatrice est ici une erreur: elle ne donne pas la valeur exacte mais une valeur approchée, et elle ne t'aide pas à voir si tu obtiens un maximum ou un minimum (il faut le signe de B'(x) pour cela).

Bref les maths appli, c'est beurk, mais c'est quand même mieux quand on a fait un peu de (vraies) mathématiques avant. Sinon ça devient un amoncellement de boites noires dont on ne sait rapidement plus ce qu'elles font.

J'avais trouvé 11/2 à la main ,mais je l'ai fait rapidement sur un bout de facture, donc l'erreur est possible
8x-[(16x²+11x+60)/(x+14)]
C'est équivalent à
8x-16x+213-3042/( x+14)
On dérive le bouzin
-8=-3042/( x+14)²
Soit
8*(x+14)²-2(13*3)²
Soit
2(2x+28-39)(2x+28+39)

fifi51 a écrit:J'avais trouvé 11/2 à la main ,mais je l'ai fait rapidement sur un bout de facture, donc l'erreur est possible
8x-[(16x²+11x+60)/(x+14)]
C'est équivalent à
8x-16x+213-3042/( x+14)
On dérive le bouzin
-8=-3042/( x+14)²
Soit
8*(x+14)²-2(13*3)²
Soit
2(2x+28-39)(2x+28+39)

Autant pour moi. Un calcul de tête qui me donne un 1472 au lieu de 1474 et j'ai planté la suite. Tu as raison, bien sûr. je n'ai pas pensé à commencer par une division suivant les puissances décroissantes mais pour le calcul à la main, c'est plus simple.