fonction polynôme du 2d degré

Une fonction définie par f(x) = 2x²*(1-0.5*1/x) + 3 peut-elle être qualifiée de "fonction polynôme du 2d degré" ?

Oui absolument , je le confirme.

Spoiler:

Je vote non : pas définie en 0.
Par contre, elle est prolongeable par continuité en 0 en 2x² - x + 3 qui est une fonction polynôme de degré 2.

C'est le "x²/x" qui est foireux puisque pour simplifier par x, il faut qu'il soit différent de 0...

C'est bien ce que je pensais.
Donc, dans la définition d'une fonction polynôme du second degré, il faut inclure une fonction est une fonction polynôme du second degré si elle est définie sur R et si elle s'écrit ..."
Ce qui est en gras doit obligatoirement faire partie de la définition ?

aaargh j'y étais presque !

Il me semble que je tourne la chose de la façon suivante :
"soit f une fonction définie sur R. On dit que c'est une fonction polynôme du second degré lorsque blablabla".
Je jette donc un voile pudique sur ce problème en seconde.

William Foster a écrit:Je vote non : pas définie en 0.
Par contre, elle est prolongeable par continuité en 0 en 2x² - x + 3 qui est une fonction polynôme de degré 2.

C'est le "x²/x" qui est foireux puisque pour simplifier par x, il faut qu'il soit différent de 0...

D'accord avec toi. D'autant que si on revient à Boubaki, on définit d'abord polynômes formels sur un anneau, puis fonctions polynômes à partir d'un polynôme formel, ce qui exclut les formes du type proposé.
Peut-être pourrait-on plutôt dire qu'elle est égale à la restriction sur IR* d'une fonction polynôme de degré 2, ce qui évite de parler de continuité qui n'est pas une notion implicite dans la définition d'une fonction.

celinesud a écrit:C'est bien ce que je pensais.
Donc, dans la définition d'une fonction polynôme du second degré, il faut inclure une fonction est une fonction polynôme du second degré si elle est définie sur R et si elle s'écrit ..."
Ce qui est en gras doit obligatoirement faire partie de la définition ?

Ou bien de manière équivalente :
Une fonction f est une fonction polynôme du second degré s'il existe des réels a, b et c avec a non nul tels que, pour tout x réel, f(x)=ax²+bx+c.

Quant à la fonction définie par f(x) = 2x²*(1-0.5*1/x) + 3, elle n'est tout au plus que la restriction d'une fonction polynôme à R\{0}, ce qui est quand même beaucoup moins prestigieux.  

Vrai que c'est un peu la honte pour une fonction de ne pas être définie sur R

Moonchild a écrit:

celinesud a écrit:C'est bien ce que je pensais.
Donc, dans la définition d'une fonction polynôme du second degré, il faut inclure une fonction est une fonction polynôme du second degré si elle est définie sur R et si elle s'écrit ..."
Ce qui est en gras doit obligatoirement faire partie de la définition ?

Ou bien de manière équivalente :
Une fonction f est une fonction polynôme du second degré s'il existe des réels a, b et c avec a non nul tels que, pour tout x réel, f(x)=ax²+bx+c.

Et la fonction définie sur [0 ; 5] par f(x)=2x²-x+3 ne serait donc pas une fonction polynôme du second degré ?

neo-fit a écrit:

Moonchild a écrit:
Ou bien de manière équivalente :
Une fonction f est une fonction polynôme du second degré s'il existe des réels a, b et c avec a non nul tels que, pour tout x réel, f(x)=ax²+bx+c.

Et la fonction définie sur [0 ; 5] par f(x)=2x²-x+3 ne serait donc pas une fonction polynôme du second degré ?

Personnellement, je répondrais non : c'est la restriction à l'intervalle [0;5] d'une fonction polynôme du second degré.

On peut ensuite remarquer que deux fonctions polynômes du second degré ayant la même restriction sur [0;5] sont identiques.

Spoiler:

Prezbo a écrit:

neo-fit a écrit:

Moonchild a écrit:
Ou bien de manière équivalente :
Une fonction f est une fonction polynôme du second degré s'il existe des réels a, b et c avec a non nul tels que, pour tout x réel, f(x)=ax²+bx+c.

Et la fonction définie sur [0 ; 5] par f(x)=2x²-x+3 ne serait donc pas une fonction polynôme du second degré ?

Personnellement, je répondrais non : c'est la restriction à l'intervalle [0;5] d'une fonction polynôme du second degré.

On peut ensuite remarquer que deux fonctions polynômes du second degré ayant la même restriction sur [0;5] sont identiques.

Spoiler:

D'accord avec toi pour la restriction et pour les diptères.

En fait ce n'était pas vraiment une question et je suis d'accord pour restriction.
Je pensais aux situations en seconde qui peuvent conduire à ce genre de fonctions.
Vous dites bien fonction polynôme du second degré sans préciser restriction (en désaccord avec la définition, ouille), si ? non ?

J'ai un clair souvenir, mais c'était en 1ère, de notre prof de maths nous donnant un exemple qui ressemble à ça, et d'en conclure que ce n'était pas un polynôme tel qu'il était défini plus haut dans le cours. (J'en ai un très mauvais souvenir, ça m'a perturbé :'( )

neo-fit a écrit:
En fait ce n'était pas vraiment  une question et je suis d'accord pour restriction.
Je pensais aux situations en seconde qui peuvent conduire à ce genre de fonctions.
Vous dites bien fonction polynôme du second degré sans préciser restriction (en désaccord avec la définition, ouille), si ? non ?

Il suffit d'éviter les exercices avec des "situations concrètes" pour ne pas être confronté à ce genre de désagrément ; je sais que ce n'est pas du tout dans l'esprit du programme de seconde, mais vu que le programme de maths de seconde est plus ou moins conçu pour nous empêcher de faire des maths, il ne faut pas hésiter à prendre des distances. :diable:

Et si vraiment, par malchance, on croise telle situation au détour d'un chemin, on peut louvoyer en disant que f(x) est une "expression polynomiale du second degré" ; de toute façon les élèves n'y verront aucune différence.

neo-fit a écrit:
En fait ce n'était pas vraiment  une question et je suis d'accord pour restriction.
Je pensais aux situations en seconde qui peuvent conduire à ce genre de fonctions.
Vous dites bien fonction polynôme du second degré sans préciser restriction (en désaccord avec la définition, ouille), si ? non ?

Pour être honnête, en seconde, je compte ne plus parler des fonctions polynômes du second degré cette année, du moins ne pas prononcer le terme. (Oui, je ne respecte pas le programme.) Je ne comprends pas pourquoi elles ont été introduites à ce niveau, mais je me souviens que c'était apparu par surprise lors du dernier changement de programme, alors qu'elles n'étaient pas présentes dans les documents préparatoires.

Le problème est qu'on les introduit et qu'on n'en fait rien : les élèves n'ont qu'à apprendre par cœur l'allure de la courbe représentative et la formule donnant l'abscisse du sommet de la parabole. J'ai le sentiment que cela ne prépare pas à l'introduction de la forme canonique en première mais que cela gène cette introduction : puisque les élèves connaissent déjà une formule par cœur, ils ont tendance à vouloir se raccrocher à l'utilisation de la formule, sans voir l'intérêt des savants calculs algébriques qu'on leur demande.

J'ai l'impression que la meilleure chose à faire en seconde pour préparer la première est de bien insister sur les développement, factorisation et équations produit.

Ensuite, quand je parle d'une fonction polynôme définie sur R, j'évite de me retreindre arbitrairement à un intervalle borné et je me place en général sur R, quitte à passer sous silence les problèmes de limites.

Tout ceci étant dit, si je me retrouvais dans le cadre d'un exercice utilisant une fonction définie sur un intervalle borné par une expression du type f(x)=ax^2+bx+c, au niveau lycée, je crois que j'arriverais à me faire violence et à l'appeler fonction polynôme du second degré.

Edit : je n'avais pas pensé au cas des situations concrètes évoquées par Moonchild. Effectivement, on peut trouver des situation menant de façon assez naturelle à l'étude d'une fonction qui est la restriction d'une fonction polynôme du second degré. (Exemple : quelle est l'aire maximale d'un carré de périmètre 4m.) Dans ce cas, je ne jurerais pas ne pas avoir déjà fait un abus de langage.

Prezbo a écrit:Pour être honnête, en seconde, je compte ne plus parler des fonctions polynômes du second degré cette année, du moins ne pas prononcer le terme. (Oui, je ne respecte pas le programme.) Je ne comprends pas pourquoi elles ont été introduites à ce niveau, mais je me souviens que c'était apparu par surprise lors du dernier changement de programme, alors qu'elles n'étaient pas présentes dans les documents préparatoires.

Le problème est qu'on les introduit et qu'on n'en fait rien : les élèves n'ont qu'à apprendre par cœur l'allure de la courbe représentative et la formule donnant l'abscisse du sommet de la parabole. J'ai le sentiment que cela ne prépare pas à l'introduction de la forme canonique en première mais que cela gène cette introduction : puisque les élèves connaissent déjà une formule par cœur, ils ont tendance à vouloir se raccrocher à l'utilisation de la formule, sans voir l'intérêt des savants calculs algébriques qu'on leur demande.

J'ai l'impression que la meilleure chose à faire en seconde pour préparer la première est de bien insister sur les développement, factorisation et équations produit.

Je partage à 100% ce diagnostic.
Il n'y a aucun bénéfice à parler ainsi des trinômes en seconde et, effectivement, cela interfère avec le travail de première qui se retrouve partiellement mal prémâché. Soit on fait le boulot complètement comme en première, soit on n'y touche pas du tout, mais il est absurde de s'engager dans cette voie pour s'arrêter au milieu (tiers ? quart ?) du gué.

Pour moi, la formule de l'abscisse du sommet n'est pas au programme de Seconde puisqu'on ne doit pas mettre sous forme canonique. Le programme stipule qu'il faut choisir la forme la plus adaptée pour résoudre un problème posée. Si j'ai bien compris, on doit se contenter de donner la canonique, leur faire développer éventuellement si la développée est donnée pour vérifier l'égalité. Le seul programme parlant de mise sous forme canonique est celui de 1S et donc il n'y aurait qu'en S qu'alpha = -b/2a serait au programme.

Badiste75 a écrit:alpha = -b/2a

alpha = -b/(2a)

D'accord avec ta lecture du programme. Je trouve ce programme particulièrement incohérent, d'ailleurs, et j'approfondis ce chapitre de seconde jusqu'à des exercices du type "f(x)=-2x²+6x+1, variations et signe, ainsi que FC et FF" (bon variations et FC c'est pareil, FF et signe itou).

Evidemment, pour justifier en première la pertinence du discriminant en 1ère, il faut donner des exercices qui dépassent le trivial "signe du tsd", p.ex discuter le nombre de solutions avec un paramètre.

Pour moi, en seconde, le programme se limite à connaitre l'allure de la courbe correspondant à une forme canonique donnée, et savoir bien sûr développer une forme canonique pour retrouver la forme développée (voire factoriser quand on a une IR évidente à voir). La formule donnant l'abscisse du sommet n'est pas exigible (mais certains de mes collègues la demandent).
En pratique, la forme canonique permet de jouer un peu avec les inégalités pour démontrer le sens de variations, mais pour beaucoup d'élèves c'est beaucoup trop compliqué et ils se contentent d'apprendre par coeur la valeur de alpha et l'allure de la courbe (ou, en première, passeront par la dérivée).

Et effectivement, je n'avais jamais tilté sur le problème du domaine de définition, honte à moi... (sauf bien sûr dans le cas donné en exemple initial, mais par contre je n'avais jamais tilté sur le souci d'un intervalle, cas effectivement assez fréquent).... erreur de débutante...

Badiste75 a écrit:Pour moi, la formule de l'abscisse du sommet n'est pas au programme de Seconde puisqu'on ne doit pas mettre sous forme canonique. Le programme stipule qu'il faut choisir la forme la plus adaptée pour résoudre un problème posée. Si j'ai bien compris, on doit se contenter de donner la canonique, leur faire développer éventuellement si la développée est donnée pour vérifier l'égalité. Le seul programme parlant de mise sous forme canonique est celui de 1S et donc il n'y aurait qu'en S qu'alpha = -b/2a serait au programme.

Le « pour moi » qui débute le message et les réponses de chacun montrent bien que cette rédaction floue des programmes est sujette à diverses interprétations, ce qui ne devrait pas être le cas.
La mienne : il n’est exigible qu’un élève sache seul passer de la forme développée à la canonique et que la preuve du fait que toute fonction polynôme du second degré admette une forme canonique est réservée à la 1s.
Si on ne dispose que de la forme développée, on peut justifier par symétrie de la courbe, que l’abscisse du sommet est -b/2a milieu des abscisses des deux points de « même hauteur » c.
C’est même pas mal puisqu’on revoit ainsi les résolutions d’équations du type ax^2+bx=0.
Disposer du -b/2a, permet de répondre à quelques problèmes d’optimisation pour lesquels on aboutit à une forme développée sans guider la résolution en donnant la forme canonique.
Ce sont plutôt les problèmes de résolution d’équations qui posent problème parce que là il faut bien donner une écriture adaptée et on arrive à des énoncés plutôt artificiels qui n’auront plus de raison d’être dès que les outils pour résoudre les équations peu importe leur écriture seront disponibles.

Moonchild a écrit:

Prezbo a écrit:Pour être honnête, en seconde, je compte ne plus parler des fonctions polynômes du second degré cette année, du moins ne pas prononcer le terme. (Oui, je ne respecte pas le programme.) Je ne comprends pas pourquoi elles ont été introduites à ce niveau, mais je me souviens que c'était apparu par surprise lors du dernier changement de programme, alors qu'elles n'étaient pas présentes dans les documents préparatoires.

Le problème est qu'on les introduit et qu'on n'en fait rien : les élèves n'ont qu'à apprendre par cœur l'allure de la courbe représentative et la formule donnant l'abscisse du sommet de la parabole. J'ai le sentiment que cela ne prépare pas à l'introduction de la forme canonique en première mais que cela gène cette introduction : puisque les élèves connaissent déjà une formule par cœur, ils ont tendance à vouloir se raccrocher à l'utilisation de la formule, sans voir l'intérêt des savants calculs algébriques qu'on leur demande.

J'ai l'impression que la meilleure chose à faire en seconde pour préparer la première est de bien insister sur les développement, factorisation et équations produit.

Je partage à 100% ce diagnostic.
Il n'y a aucun bénéfice à parler ainsi des trinômes en seconde et, effectivement, cela interfère avec le travail de première qui se retrouve partiellement mal prémâché. Soit on fait le boulot complètement comme en première, soit on n'y touche pas du tout, mais il est absurde de s'engager dans cette voie pour s'arrêter au milieu (tiers ? quart ?) du gué.

Je partage vos avis et notamment le côté complètement bancal du truc et c’est rassurant de se sentir  moins seule (cela ne semble pas émouvoir mes collègues et inspectrice).
C’est vraiment dommage que cette partie n’ait pas été retouchée à l’occasion des aménagements.
Je me demande si on ne va pas se retrouver de nouveau dans cette situation inconfortable vis à vis de l’année suivante avec l’interprétation graphique des systèmes de deux équations à deux inconnues qui font leur retour sans les équations cartésiennes seulement au programme de 1s.

Moonchild a écrit:

neo-fit a écrit:
En fait ce n'était pas vraiment  une question et je suis d'accord pour restriction.
Je pensais aux situations en seconde qui peuvent conduire à ce genre de fonctions.
Vous dites bien fonction polynôme du second degré sans préciser restriction (en désaccord avec la définition, ouille), si ? non ?

Il suffit d'éviter les exercices avec des "situations concrètes" pour ne pas être confronté à ce genre de désagrément ; je sais que ce n'est pas du tout dans l'esprit du programme de seconde, mais vu que le programme de maths de seconde est plus ou moins conçu pour nous empêcher de faire des maths, il ne faut pas hésiter à prendre des distances. :diable:
Et si vraiment, par malchance, on croise telle situation au détour d'un chemin, on peut louvoyer en disant que f(x) est une "expression polynomiale du second degré" ; de toute façon les élèves n'y verront aucune différence.

Je pensais plus aux problèmes d’optimisation d’origine géométrique qu’aux problèmes concrets.
Quitte à ce qu’ils n’y voient aucune différence pourquoi ne pas dire « fonction …» pour se laisser accès aux résultats établis pour ces fonctions ?
Et si un perspicace identifie le conflit avec la définition, approuver, évoquer un « abus de langage », et en profiter pour rectifier en parlant de « restriction de … à … »
Ou alors on cerne le problème et son ensemble de définition, on définit et étudie la fonction sur IR puis on conclut par restriction ?