Les nouveaux programmes de maths en collège à la rentrée 2018

Al9 a écrit:Le ratio ? Je ne vois pas l'intérêt non plus.

Effectivement, les inéquations disparaissent et pour le coup je trouve cela dommage. C'était intéressant pour faire le lien avec les intervalles en seconde.
Je n'avais pas vu que le volume du prisme avait disparu, ni les angles complémentaires. On le faisait toujours....

Je suis mitigé...

Pour le ratio, cela me semble intéressant pour avoir une image simple de certaines situation de proportionnalité: par exemple dans une recette de cocktail avec 180 mL et 120 mL, on peut remarquer les multiples de 60, et ainsi en déduire que les ingrédients sont en 3:2. Ainsi on voit que le premier ingrédient fait 3/5, et je pense que ce sera plus simple pour certains que de diviser 180 par 300.

Moonchild a écrit:Et du coup, si cela se confirme, il va falloir rajouter les inéquations en seconde... en plus de la fournée de l'an dernier avec les équations produit, les identités remarquables et une bonne partie des factorisations (celles qui ne sont pas totalement évidentes).
Le problème c'est qu'à force de repousser des notions aussi élémentaires d'algèbre, le lycée ne pourra jamais combler le vide et préparer les élèves pour les filières scientifiques du supérieur. Même avec plus d'heures de cours (que nous n'auront pas), les élèves ont besoin d'un temps de maturation des notions et il me semble néfaste de vouloir tardivement précipiter les choses après avoir autant différé et affaibli les connaissances de base. Sauf si on reporte aussi d'un an certaines notions au programme du lycée, les élèves qui n'auront quasiment jamais travaillé sur la manipulation d'inégalités au collège vont devoir durant l'année de seconde découvrir les inéquations puis travailler sur le signe des fonctions affines et aussi sur les variations de fonctions ; cela promet de belles confusions...

1) Avec l'algo, il semble évident qu'il faut enseigner l'instruction conditionnelle (qu'elle reste explicitement au programme ou non…), et lorsqu'on fait if(x*x<37) on teste une solution éventuelle d'inéquation. Ainsi je considère que j'ai déjà initié mes élèves aux inéquations… en 5^ème.
2) Pas besoin d'inéquation pour le signe d'une fonction affine (de toute façon, si on veut passer par là et être rigoureux, il faut 2 inéquations, ou une inéquation et une équation): le plus simple est clairement d'utiliser les variations, sans oublier d'indiquer qu'une flèche dans un tableau de variation désigne un intervalle de monotonie stricte.

Moonchild a écrit:

Al9 a écrit:Qu'est ce que tu appelles les factorisations pas totalement évidentes ?

En gros quand le facteur commun n'est pas explicitement visible et que cela demande un travail préliminaire pour le faire apparaître.
Autrement dit :
f(x)=(x+3)(x-5)+(x+8)(x-5)   ----> factorisation "évidente"
g(x)=(x+3)(x-5)+(x-5)²   ----> factorisation "déjà moins évidente"
h(x)=(x+3)(2x-10)+(x+8)(x-5)   ----> factorisation "pas totalement évidente"
k(x)=(x+3)(2x-10)+(x+8)(3x-15)    ----> factorisation "totalement pas évidente"
Je ne dis pas que les trois derniers exemples ne sont pas du tout traités actuellement par les collègues de collège, mais même si cela a été fait, en seconde il n'en reste quasiment rien chez les élèves que j'ai pu observer récemment.

Sinon, pour en revenir aux démonstrations, je crois qu'il est dommage que les identités remarquables aient été supprimées du programme de collège car leur démonstrations algébriques à partir de la double distributivité me semblent raisonnablement accessibles à ce niveau ; dans ce cas là, une démonstration me paraît utile - ou du moins pas totalement inutile.

k(x) reste gentillet: pour moi une factorisation vraiment experte ce serait plutôt du type l(x) = (a+b)²-4ab+(a-b)(a-2b) :diable: .

Badiste75 a écrit:L’équation produit nul fait son retour, ainsi que x^2=a. Ça s’en va et ça revient! On aurait pu espérer le retourner de la racine carrée... mais raté 😂 En tous les cas, on ne peut pas dire, au risque de 5 % de se tromper, que le calcul algébrique est encore plus amputé.

C'est au programme: il faut savoir « passer d'une représentation d'un nombre à une autre », et donc notamment transformer racine(3) en valeur décimale approchée .

Je voulais bien entendu parler des propriétés de calcul de la racine carrée...

Il me semblerait plus intéressant que les élèves sachent calculer des racines carrées à la main plutôt que de savoir les manipuler de façon algébrique.
Pour les propriétés de calcul, cela poserait aussi peut-être moins de problème si l'on enseignait qu'une racine carrée c'est une puissance 1/2 et qu'il suffit alors d'utiliser les règles de calculs sur les puissances, tout en limitant leur validité aux bases positives.

En maths, avant on avait les repères de progressivité à l'intérieur d'un cycle.

Maintenant on a :

La logique de cycle doit assurer la stabilité et la pérennité des apprentissages. Afin d’éviter le risque de reporter à la dernière année du cycle les apprentissages jugés délicats, la plupart des notions doivent être abordées dès la première année du cycle puis approfondies et enrichies au cours des deux années ultérieures.

Pour moi, ces ajustements ne sont que poudre aux yeux, ne constituent en rien une avancée.
Blanquer avait annoncé il y a plusieurs mois des attendus par année.
Je constate qu'il n'en est rien.
La promesse n'est donc pas tenue.
C'est ce qu'il faut acter.

Sur Eduscol :

Franck059 a écrit:La logique de cycle doit assurer la stabilité et la pérennité des apprentissages. Afin d’éviter le risque de reporter à la dernière année du cycle les apprentissages jugés délicats, la plupart des notions doivent être abordées dès la première année du cycle puis approfondies et enrichies au cours des deux années ultérieures.

Cela annonce une année de 5^ème très lourde… c'est certes la façon la plus appropriée d'exploiter les cycles (avec un temps passé dans le cycle qui doit être variable pour que cela ait un intérêt) mais cela ne me semble pas raisonnable à ce stade de la scolarité.

"seront plus précisément développés"

Je suppose que cela va arriver bientôt avec un BO comportant les ajustements mentionnés; non ?

William Foster a écrit:

RogerMartin a écrit:J'expie ma grande, ma très grande faute sur l'autel du pédagogisme
Voilà ce que c'est que d'être passée entre les gouttes de l'IUFM

Vous réciterez 2 pater, 3 ave, et vous retwitterez 15 phrases du dernier discours de Meirieu.

J'ai toujours su que les matheux étaient de cruels tortionnaires, mais là...

Proton a écrit:"seront plus précisément développés"

Je suppose que cela va arriver bientôt avec un BO comportant les ajustements mentionnés; non ?

Le 12 septembre, si j'ai bien suivi ce fil.

Mathador a écrit:1) Avec l'algo, il semble évident qu'il faut enseigner l'instruction conditionnelle (qu'elle reste explicitement au programme ou non…), et lorsqu'on fait if(x*x<37) on teste une solution éventuelle d'inéquation. Ainsi je considère que j'ai déjà initié mes élèves aux inéquations… en 5^ème.
2) Pas besoin d'inéquation pour le signe d'une fonction affine (de toute façon, si on veut passer par là et être rigoureux, il faut 2 inéquations, ou une inéquation et une équation): le plus simple est clairement d'utiliser les variations, sans oublier d'indiquer qu'une flèche dans un tableau de variation désigne un intervalle de monotonie stricte.

Pour le 1), c'est une réponse digne d'un inspecteur qui se cache derrière son petit doigt : "vous voyez bien que les élèves ont traité des problèmes avec des inéquations ; inutile de s'embarrasser avec davantage de la technicité calculatoire, cela peut attendre !".
Quant au 2), je maintiens que premièrement faire le détour par les variations pour un problème qui peut être traité aussi simplement de manière algébrique est un non-sens mathématique (certes suggéré par le programme de seconde actuel), que deuxièmement cela favorise en fin de compte les confusions entre signe et sens de variations et que troisièmement, pour démontrer les résultats sur les variations des fonctions affines, il faut quand même passer par une étape de calcul algébrique où on manipule des inégalités (sauf si on en reste à l'évidence de l'observation graphique : la courbe est une droite donc...).

Mathador a écrit:k(x) reste gentillet: pour moi une factorisation vraiment experte ce serait plutôt du type l(x) = (a+b)²-4ab+(a-b)(a-2b) :diable:

L'élève qui répond que la fonction l est constante et qu'il n'y a donc pas grand chose d'intéressant à factoriser, tu lui mets tous les points ?  

Mathador a écrit:Il me semblerait plus intéressant que les élèves sachent calculer des racines carrées à la main plutôt que de savoir les manipuler de façon algébrique.
Pour les propriétés de calcul, cela poserait aussi peut-être moins de problème si l'on enseignait qu'une racine carrée c'est une puissance 1/2 et qu'il suffit alors d'utiliser les règles de calculs sur les puissances, tout en limitant leur validité aux bases positives.

Je trouve au contraire que les manipulations algébriques seront par la suite plus importantes que le calcul à la main des racines carrées. Dans la mesure du possible, il est préférable de travailler avec des valeurs exactes quitte à manipuler des expressions formelles ; quant aux valeurs approchées, je dirais qu'il est utile de savoir déterminer de tête un ordre de grandeur (plus généralement, c'est même indispensable si on veut comprendre les règles de calculs sur les limites), mais qu'en ce qui concerne le calcul d'une valeur approchée d'une racine carrée au centième près, pour une fois il me semble que le recours à la calculatrice n'est pas infondé. De plus, même s'ils ne sont pas totalement dénués d'intérêt, les algorithmes d'extraction de racines carrées n'occupent pas une place centrale dans la formation mathématique (pas autant que celui de la division par exemple).

Quant à utiliser les règles de calculs sur les puissances, il faudrait déjà qu'elles soient maîtrisées par les élèves, or ce n'est pas le cas pour la majorité en terminale S alors au collège...
Ensuite, il y a un problème de cohérence mathématique : ce n'est pas parce qu'on note la racine carrée sous la forme puissance 1/2 qu'elle aurait tout d'un coup acquis les propriétés algébriques des puissances, c'est parce qu'on a démontré préalablement qu'elle vérifie les mêmes propriétés algébriques que les puissances entières qu'on s'est autorisé la notation puissance 1/2. Et puis si on définit la racine carrée comme la puissance 1/2, alors il faut définir la puissance 1/2 autrement que comme la racine carrée...

Franck059 a écrit:En maths, avant on avait les repères de progressivité à l'intérieur d'un cycle.

Maintenant on a :

La logique de cycle doit assurer la stabilité et la pérennité des apprentissages. Afin d’éviter le risque de reporter à la dernière année du cycle les apprentissages jugés délicats, la plupart des notions doivent être abordées dès la première année du cycle puis approfondies et enrichies au cours des deux années ultérieures.

Bonjour le saupoudrage...

Mathador a écrit:Il me semblerait plus intéressant que les élèves sachent calculer des racines carrées à la main plutôt que de savoir les manipuler de façon algébrique.
Pour les propriétés de calcul, cela poserait aussi peut-être moins de problème si l'on enseignait qu'une racine carrée c'est une puissance 1/2 et qu'il suffit alors d'utiliser les règles de calculs sur les puissances, tout en limitant leur validité aux bases positives.

Je ne suis pas du tout d’accord. Il me semble important se savoir manipuler des expressions symboliques.
Et peu intéressant de savoir calculer la racine carrée de 2018 à la main.

verdurin a écrit:

Mathador a écrit:Il me semblerait plus intéressant que les élèves sachent calculer des racines carrées à la main plutôt que de savoir les manipuler de façon algébrique.
Pour les propriétés de calcul, cela poserait aussi peut-être moins de problème si l'on enseignait qu'une racine carrée c'est une puissance 1/2 et qu'il suffit alors d'utiliser les règles de calculs sur les puissances, tout en limitant leur validité aux bases positives.

Je ne suis pas du tout d’accord. Il me semble important se savoir manipuler des expressions symboliques.
Et peu intéressant de savoir calculer la racine carrée de 2018 à la main.

Pourquoi, ayant déjà vu les propriétés algébriques des racines carrées en 3^ème, attendait-on encore plusieurs années avant d'aborder les nombres complexes, qui ne soulevaient presque aucune difficulté supplémentaire (ce qu'on sait faire algébriquement avec racine(2), on peut le faire avec racine(-1)) ? Parce que le fait que la racine carrée (d'un réel positif) soit un nombre réel est ce qui concrétise cette notion et lui donne un intérêt immédiat dans la résolution de problèmes concrets. Et cela découle du fait que l'on peut l'encadrer aussi précisément qu'on veut, et c'est pourquoi il me semble indispensable de le faire (avec plusieurs radicandes et plusieurs étapes) avec les élèves; de plus cet algorithme est assez facile à contextualiser si l'on se repose sur des changements d'unité.
Dernière remarque: on pourrait dire sur la division des choses similaires à ce que tu dis, et cela suggérerait de cesser l'enseignement de la division à quotient décimal pour se reposer uniquement sur les fractions. Serait-ce bien raisonnable ?

Mathador a écrit:

verdurin a écrit:

Mathador a écrit:Il me semblerait plus intéressant que les élèves sachent calculer des racines carrées à la main plutôt que de savoir les manipuler de façon algébrique.
Pour les propriétés de calcul, cela poserait aussi peut-être moins de problème si l'on enseignait qu'une racine carrée c'est une puissance 1/2 et qu'il suffit alors d'utiliser les règles de calculs sur les puissances, tout en limitant leur validité aux bases positives.

Je ne suis pas du tout d’accord. Il me semble important se savoir manipuler des expressions symboliques.
Et peu intéressant de savoir calculer la racine carrée de 2018 à la main.

Pourquoi, ayant déjà vu les propriétés algébriques des racines carrées en 3^ème, attendait-on encore plusieurs années avant d'aborder les nombres complexes, qui ne soulevaient presque aucune difficulté supplémentaire (ce qu'on sait faire algébriquement avec racine(2), on peut le faire avec racine(-1)) ? Parce que le fait que la racine carrée (d'un réel positif) soit un nombre réel est ce qui concrétise cette notion et lui donne un intérêt immédiat dans la résolution de problèmes concrets. Et cela découle du fait que l'on peut l'encadrer aussi précisément qu'on veut, et c'est pourquoi il me semble indispensable de le faire (avec plusieurs radicandes et plusieurs étapes) avec les élèves; de plus cet algorithme est assez facile à contextualiser si l'on se repose sur des changements d'unité.
Dernière remarque: on pourrait dire sur la division des choses similaires à ce que tu dis, et cela suggérerait de cesser l'enseignement de la division à quotient décimal pour se reposer uniquement sur les fractions. Serait-ce bien raisonnable ?

L'approximation d'une racine carrée par des encadrements successifs est à mon avis très intéressante (en arrière plan, il y a l'idée de la complétude de R qu'un collégien normalement constitué ne pourra évidemment pas formaliser mais qu'il est possible de faire intuitivement appréhender en faisant observer qu'un nombre réel ayant un développement décimal illimité peut être "cerné" sur la droite des réels avec de plus en plus de précision en effectuant des zooms successifs) ; si on avait le temps de le faire correctement, ce serait sans doute même une approche possible sur des exemples pour faire intuitivement accepter l'existence des racines carrées de 2, de 3 ou de 5.
Si je ne me trompe pas, l'algorithme d'extraction des racines carrées (pensons-nous bien au même ?) repose quand même un peu sur l'identité remarquable (a+b)² et je ne suis pas persuadé qu'il soit si simple à "contextualiser". Je n'ai pas notion non plus que cet algorithme soit réemployé dans un autre domaine usuel des mathématiques jusqu'au niveau bac+2 au moins ; quoi qu'il en soit, il n'était pas enseigné aux élèves de ma génération et je n'ai pas souvenir que cela ait été pénalisant pour la suite des études en mathématiques.
L'algorithme de division est quand même beaucoup plus élémentaire car il est directement lié à la multiplication et sa place est loin d'être anecdotique car non seulement il donne des valeurs approchées pour les fractions, mais il est aussi à l'origine l'algorithme de la bonne vielle division euclidienne des entiers avec reste et joue donc un rôle central en arithmétique ; il sera d'ailleurs ensuite recyclé pour la division des polynômes avec des puissances tantôt décroissantes, tantôt croissantes. L'impasse sur cet algorithme aurait quand même beaucoup plus de conséquences que dans le cas de celui de la racine carrée.

Mathador a écrit:

verdurin a écrit:

Mathador a écrit:Il me semblerait plus intéressant que les élèves sachent calculer des racines carrées à la main plutôt que de savoir les manipuler de façon algébrique.
Pour les propriétés de calcul, cela poserait aussi peut-être moins de problème si l'on enseignait qu'une racine carrée c'est une puissance 1/2 et qu'il suffit alors d'utiliser les règles de calculs sur les puissances, tout en limitant leur validité aux bases positives.

Je ne suis pas du tout d’accord. Il me semble important se savoir manipuler des expressions symboliques.
Et peu intéressant de savoir calculer la racine carrée de 2018 à la main.

Pourquoi, ayant déjà vu les propriétés algébriques des racines carrées en 3^ème, attendait-on encore plusieurs années avant d'aborder les nombres complexes, qui ne soulevaient presque aucune difficulté supplémentaire (ce qu'on sait faire algébriquement avec racine(2), on peut le faire avec racine(-1)) ? Parce que le fait que la racine carrée (d'un réel positif) soit un nombre réel est ce qui concrétise cette notion et lui donne un intérêt immédiat dans la résolution de problèmes concrets. Et cela découle du fait que l'on peut l'encadrer aussi précisément qu'on veut, et c'est pourquoi il me semble indispensable de le faire (avec plusieurs radicandes et plusieurs étapes) avec les élèves; de plus cet algorithme est assez facile à contextualiser si l'on se repose sur des changements d'unité.
Dernière remarque: on pourrait dire sur la division des choses similaires à ce que tu dis, et cela suggérerait de cesser l'enseignement de la division à quotient décimal pour se reposer uniquement sur les fractions. Serait-ce bien raisonnable ?

Je ne comprends pas le sens de ton message.
En tout cas, il y a une chose qu'on ne peut pas faire avec rac(-1) et qu'on peut faire avec rac(2) :
2=(rac(2))^2=rac(2)*rac(2)=rac(2*2)=rac(4)
-1=rac(-1))^2=rac(-1)*rac(-1)=rac((-1)^2)=rac(1)

Moonchild a écrit:L'approximation d'une racine carrée par des encadrements successifs est à mon avis très intéressante (en arrière plan, il y a l'idée de la complétude de R qu'un collégien normalement constitué ne pourra évidemment pas formaliser mais qu'il est possible de faire intuitivement appréhender en faisant observer qu'un nombre réel ayant un développement décimal illimité peut être "cerné" sur la droite des réels avec de plus en plus de précision en effectuant des zooms successifs) ; si on avait le temps de le faire correctement, ce serait sans doute même une approche possible sur des exemples pour faire intuitivement accepter l'existence des racines carrées de 2, de 3 ou de 5.
Si je ne me trompe pas, l'algorithme d'extraction des racines carrées (pensons-nous bien au même ?) repose quand même un peu sur l'identité remarquable (a+b)² et je ne suis pas persuadé qu'il soit si simple à "contextualiser". Je n'ai pas notion non plus que cet algorithme soit réemployé dans un autre domaine usuel des mathématiques jusqu'au niveau bac+2 au moins ; quoi qu'il en soit, il n'était pas enseigné aux élèves de ma génération et je n'ai pas souvenir que cela ait été pénalisant pour la suite des études en mathématiques.
L'algorithme de division est quand même beaucoup plus élémentaire car il est directement lié à la multiplication et sa place est loin d'être anecdotique car non seulement il donne des valeurs approchées pour les fractions, mais il est aussi à l'origine l'algorithme de la bonne vielle division euclidienne des entiers avec reste et joue donc un rôle central en arithmétique ; il sera d'ailleurs ensuite recyclé pour la division des polynômes avec des puissances tantôt décroissantes, tantôt croissantes. L'impasse sur cet algorithme aurait quand même beaucoup plus de conséquences que dans le cas de celui de la racine carrée.

Les deux algorithmes ont un mécanisme sous-jacent commun: on cherche un antécédent par une fonction simple (linéaire dans un cas, carré sur R+ dans l'autre), en utilisant la croissance de la fonction pour déterminer une par une les décimales de l'antécédent.
Pour la contextualisation de l'algorithme, je peux même proposer un schéma de contextualisation commun à la division et à la racine carrée. Exemple avec des valeurs concrètes:
-Un rectangle de largeur 3 m a un aire de 14 m². Quelle est sa longueur ? (division 14÷3)
-Un carré a une aire de 14 m². Quel est son côté ? (racine de 14)
Dans chaque cas, on regarde combien de m on peut mettre sans dépasser l'aire requise (4 m, resp. 3 m), puis on détermine l'aire restante (2 m², resp. 5 m²).
Ensuite on convertit en dm (il reste donc 200, resp. 500 dm²), puis on peut essayer de rajouter un certain nombre de dm.
Si, dans le cas de la racine carrée, on regarde géométriquement ce qui reste après avoir enlevé le carré trop petit, on obtient deux rectangles et un petit carré: c'est là où l'on retrouve l'identité remarquable (a+b)².
(bien sûr, dans le cas de la division, utiliser les aires plutôt que les longueurs complique inutilement les choses)

ben2510 a écrit:Je ne comprends pas le sens de ton message.
En tout cas, il y a une chose qu'on ne peut pas faire avec rac(-1) et qu'on peut faire avec rac(2) :
2=(rac(2))^2=rac(2)*rac(2)=rac(2*2)=rac(4)
-1=rac(-1))^2=rac(-1)*rac(-1)=rac((-1)^2)=rac(1)

Ce que je veux dire, c'est que si l'on sait faire toutes les opérations sur Q[rac(2)] ~ Q[X]/(X²-2) (et je l'ai fait en 3^ème en tant qu'élève, division incluse), on peut les faire sur R[i] ~ R[X]/(X²+1) avec exactement les mêmes techniques.
La propriété rac(a)rac(b)=rac(ab) n'est utile que si l'on utilise plusieurs radicaux distincts, ce qui n'est pas le cas ici.

Belle intox du Café pédagogique de ce jour, je cite :

Les "connaissances et compétences associées" et les "exemples de situation" sont réécrits à tous les niveaux ainsi que les argumentaires qui les encadrent. Plus que d'ajustements il s'agit bien d'une réécriture détaillée des programmes qui s'accompagne de "repères" largement décrits pour chaque classe du collège.


C'est évidemment faux.
Mais visiblement ce serait trop leur demander que de vérifier auparavant.

Bonjour,

Ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi, à chaque changement de programme, c'est aux profs de faire le différentiel avec l'ancien programme, de trouver ce qui a été retiré, ajouté, déplacé.... Pourquoi n'y a t'il pas un document officiel là dessus ? (je viens d'avoir le CAPES 3ème concours, peut-être que ma question est naïve ?)

Mathador a écrit:

Moonchild a écrit:L'approximation d'une racine carrée par des encadrements successifs est à mon avis très intéressante (en arrière plan, il y a l'idée de la complétude de R qu'un collégien normalement constitué ne pourra évidemment pas formaliser mais qu'il est possible de faire intuitivement appréhender en faisant observer qu'un nombre réel ayant un développement décimal illimité peut être "cerné" sur la droite des réels avec de plus en plus de précision en effectuant des zooms successifs) ; si on avait le temps de le faire correctement, ce serait sans doute même une approche possible sur des exemples pour faire intuitivement accepter l'existence des racines carrées de 2, de 3 ou de 5.
Si je ne me trompe pas, l'algorithme d'extraction des racines carrées (pensons-nous bien au même ?) repose quand même un peu sur l'identité remarquable (a+b)² et je ne suis pas persuadé qu'il soit si simple à "contextualiser". Je n'ai pas notion non plus que cet algorithme soit réemployé dans un autre domaine usuel des mathématiques jusqu'au niveau bac+2 au moins ; quoi qu'il en soit, il n'était pas enseigné aux élèves de ma génération et je n'ai pas souvenir que cela ait été pénalisant pour la suite des études en mathématiques.
L'algorithme de division est quand même beaucoup plus élémentaire car il est directement lié à la multiplication et sa place est loin d'être anecdotique car non seulement il donne des valeurs approchées pour les fractions, mais il est aussi à l'origine l'algorithme de la bonne vielle division euclidienne des entiers avec reste et joue donc un rôle central en arithmétique ; il sera d'ailleurs ensuite recyclé pour la division des polynômes avec des puissances tantôt décroissantes, tantôt croissantes. L'impasse sur cet algorithme aurait quand même beaucoup plus de conséquences que dans le cas de celui de la racine carrée.

Les deux algorithmes ont un mécanisme sous-jacent commun: on cherche un antécédent par une fonction simple (linéaire dans un cas, carré sur R+ dans l'autre), en utilisant la croissance de la fonction pour déterminer une par une les décimales de l'antécédent.
Pour la contextualisation de l'algorithme, je peux même proposer un schéma de contextualisation commun à la division et à la racine carrée. Exemple avec des valeurs concrètes:
-Un rectangle de largeur 3 m a un aire de 14 m². Quelle est sa longueur ? (division 14÷3)
-Un carré a une aire de 14 m². Quel est son côté ? (racine de 14)
Dans chaque cas, on regarde combien de m on peut mettre sans dépasser l'aire requise (4 m, resp. 3 m), puis on détermine l'aire restante (2 m², resp. 5 m²).
Ensuite on convertit en dm (il reste donc 200, resp. 500 dm²), puis on peut essayer de rajouter un certain nombre de dm.
Si, dans le cas de la racine carrée, on regarde géométriquement ce qui reste après avoir enlevé le carré trop petit, on obtient deux rectangles et un petit carré: c'est là où l'on retrouve l'identité remarquable (a+b)².
(bien sûr, dans le cas de la division, utiliser les aires plutôt que les longueurs complique inutilement les choses)

Ouais, à la rigueur ça peut peut-être passer auprès des élèves qui maîtrisent la conversion de m² en dm², s'il en reste...

Sinon, en dehors de cette petite réserve, je ne dirais pas que tout ça est inintéressant mais je me demande quand même s'il est vraiment prioritaire d'y consacrer autant d'énergie compte tenu du peu de réinvestissement ultérieur de cet algorithme ; il y a à mon avis plein d'autres choses plus importantes tout en restant sur des notions encore élémentaires.

Mathador a écrit:

ben2510 a écrit:Je ne comprends pas le sens de ton message.
En tout cas, il y a une chose qu'on ne peut pas faire avec rac(-1) et qu'on peut faire avec rac(2) :
2=(rac(2))^2=rac(2)*rac(2)=rac(2*2)=rac(4)
-1=rac(-1))^2=rac(-1)*rac(-1)=rac((-1)^2)=rac(1)

Ce que je veux dire, c'est que si l'on sait faire toutes les opérations sur Q[rac(2)] ~ Q[X]/(X²-2) (et je l'ai fait en 3^ème en tant qu'élève, division incluse), on peut les faire sur R[ i ] ~ R[X]/(X²+1) avec exactement les mêmes techniques.

Mais tu suggérais aussi qu'on enseigne qu'une racine carrée c'est une puissance 1/2 et qu'il suffit alors d'utiliser les règles de calculs sur les puissances, ce qui me semble clairement impliquer la règle suivante : x^np=(xⁿ)^p et comme np=pn cela donne (xⁿ)^p=(x^p)ⁿ.
Pourquoi cette règle qui marche avec 2^1/2 ne marcherait pas avec (-1)^1/2 ?

Mathador a écrit:La propriété rac(a)rac(b)=rac(ab) n'est utile que si l'on utilise plusieurs radicaux distincts, ce qui n'est pas le cas ici.

La nécessité de la propriété rac(a)rac(b)=rac(ab) déboule quand même assez vite dans le cursus d'un élève ne serait-ce qu'avec les simplifications pour retrouver les valeurs remarquables des cosinus et sinus.
Si on trouve qu'un cosinus est égal à rac(75)/10, il ne sera pas d'une grande utilité de savoir retrouver à la main qu'il vaut approximativement 0,8660254...

mouais, un coup d'épée dans l'eau.

Sachant que ces programmes sont un "minimum des attendus", ou en tout cas nous ont été présentés comme tel en formation il y a deux ans, on peut continuer de faire comme on veut à la marge. Je n'ai pas arrêté de définir les angles correspondants, pas plus que j'ai laissé tomber le volume du prisme, encore moins les équations produit nul par exemple. Je me contente en revanche de passer très vite sur les chapitres cosmétiques (rotations/translation par exemple, qui n'apporte rien). Donc là j'annonce : je continuerai les identités remarquables ("la vie de moi m'sieur l'inspecteur, c'est une contextualisation de la double distributivité") et les inéquations quand j'aurais des troisièmes.

Fenrir a écrit:mouais, un coup d'épée dans l'eau.

Sachant que ces programmes sont un "minimum des attendus", ou en tout cas nous ont été présentés comme tel en formation il y a deux ans, on peut continuer de faire comme on veut à la marge. Je n'ai pas arrêté de définir les angles correspondants, pas plus que j'ai laissé tomber le volume du prisme, encore moins les équations produit nul par exemple. Je me contente en revanche de passer très vite sur les chapitres cosmétiques (rotations/translation par exemple, qui n'apporte rien). Donc là j'annonce : je continuerai les identités remarquables ("la vie de moi m'sieur l'inspecteur, c'est une contextualisation de la double distributivité") et les inéquations quand j'aurais des troisièmes.

Ayant à la fois des 3èmes et des lycéens, je vais en faire tout autant !

Question: C'est moi ou on il semble que la partie algorithmique s'est réduite comme peau de chagrin ?

Oui la partie "Algo" s'est réduite.

De toute façon, cela pourrait devenir à terme une coquille vide du programme.

Les premières salles pupitre tombent en désuétude, et le matériel n'est pas remplacé faute de moyen à certains endroits.

Une de mes collègues (gros collège de 900 élèves) a même l'une d'entre elles qui est supprimée pour récréer une salle de classe (indispensable pour une meilleure faisabilité des EDT). I

Moonchild a écrit:Sinon, en dehors de cette petite réserve, je ne dirais pas que tout ça est inintéressant mais je me demande quand même s'il est vraiment prioritaire d'y consacrer autant d'énergie compte tenu du peu de réinvestissement ultérieur de cet algorithme ; il y a à mon avis plein d'autres choses plus importantes tout en restant sur des notions encore élémentaires.

Cela me semble indispensable pour installer la notion de nombre réel; avec un traitement adéquat des notions d'analyse au cycle 4 on pourrait même aller jusqu'à envisager que les élèves de 1^ère (S ?) comprennent vraiment ce qu'est une dérivée…
Et la contextualisation de l'aire du carré vers le côté n'est pas perdue: si l'on démontre Pythagore par les aires, on a directement la version géométrique. Ainsi on pourrait rester dans le cadre géométrique en 4^ème (et donc avoir des racines toujours positives), puis présenter x²=a en 3^ème en mentionnant les deux solutions dès que l'on passe au cadre algébrique.
Un dernier intérêt de cet algorithme (et pas des moindres) est de pouvoir bannir les calculatrices de l'intégralité du collège si l'on se contente de jeux de données simples en stats et que l'on fournit des tables pour la trigo.

Moonchild a écrit:

Mathador a écrit:

ben2510 a écrit:Je ne comprends pas le sens de ton message.
En tout cas, il y a une chose qu'on ne peut pas faire avec rac(-1) et qu'on peut faire avec rac(2) :
2=(rac(2))^2=rac(2)*rac(2)=rac(2*2)=rac(4)
-1=rac(-1))^2=rac(-1)*rac(-1)=rac((-1)^2)=rac(1)

Ce que je veux dire, c'est que si l'on sait faire toutes les opérations sur Q[rac(2)] ~ Q[X]/(X²-2) (et je l'ai fait en 3^ème en tant qu'élève, division incluse), on peut les faire sur R[ i ] ~ R[X]/(X²+1) avec exactement les mêmes techniques.

Mais tu suggérais aussi qu'on enseigne qu'une racine carrée c'est une puissance 1/2 et qu'il suffit alors d'utiliser les règles de calculs sur les puissances, ce qui me semble clairement impliquer la règle suivante : x^np=(xⁿ)^p et comme np=pn cela donne (xⁿ)^p=(x^p)ⁿ.
Pourquoi cette règle qui marche avec 2^1/2 ne marcherait pas avec (-1)^1/2 ?

Mathador a écrit:La propriété rac(a)rac(b)=rac(ab) n'est utile que si l'on utilise plusieurs radicaux distincts, ce qui n'est pas le cas ici.

La nécessité de la propriété rac(a)rac(b)=rac(ab) déboule quand même assez vite dans le cursus d'un élève ne serait-ce qu'avec les simplifications pour retrouver les valeurs remarquables des cosinus et sinus.
Si on trouve qu'un cosinus est égal à rac(75)/10, il ne sera pas d'une grande utilité de savoir retrouver à la main qu'il vaut approximativement 0,8660254...

Ma remarque sur les nombres complexes reposait sur le traitement fortement algébrique de la racine carrée dans les anciens programmes du collège. Une puissance non entière d'un nombre positif ne pose aucun problème, tandis que pour d'autres valeurs de la base cela demande dans le cas général à choisir une détermination du logarithme complexe, ce qui casse les identités algébriques sur les puissances…
Et pour ce qui est des puissances 1/2, il est vrai que même si je vois l'intérêt immédiat de son usage, il se peut que la contrainte supplémentaire pour aⁿ selon laquelle (a>0 ou n entier) rende les puissances fractionnaires souhaitables uniquement dans le cas général, qui semble difficile à traiter avant la fin de la seconde.

PS: en ce qui concerne l'algo, peut-être que l'ancienne version ne sera conservée qu'en techno, ce qui n'est pas plus mal vu comment on nous demandait de la traiter.

Une autre preuve que ces programmes sont mal construits, mal pensés, écrits par des incompétents, tout juste bons à dresser des listes à la Prévert.

Au cycle 4, les parallélogrammes particuliers ont été oubliés.
On pourrait rétorquer qu'ils sont naturellement intégrés à la notion générale de parallélogramme.
Oui mais il est signalé entre parenthèses pour le parallélogramme  qu' une définition et une propriété caractéristique sont attendues (donc quadrilatère ayant ses côtés opposés parallèles deux à deux et quadrilatère ayant ses diagonales se coupant en leur milieu).

Le lien n'est donc pas exigé entre cette figure générale qu'est le parallélogramme et les quadrilatères particuliers abordés au cycle 3 (essentiellement de façon descriptive).

Que faut-il en plus à un parallélogramme pour qu'il devienne rectangle, losange, carré ? a été éludé (consciemment ou pas).
Une partie du raisonnement déductif en géométrie plane est ainsi oubliée dans la rédaction de ces ajustements de programme pour le cycle 4

Je pense que c’est volontaire. Ça fait bien longtemps que je n’ai pas vu un exercice de la sorte dans un sujet de DNB. Je pense que ce ne serait pas hors programme néanmoins si ça arrivait, qu’on considérerait ça comme de la prise d’initiative et du raisonnement à valoriser. Ça explique aussi pourquoi en Seconde (et même après en S), ils ont du mal avec ça dans les démos sur le repérage.

Ok mais dans ce cas, l'étude du parallélogramme au collège devient inopportune.
Même les transformations, en particulier la translation, n'ont pas à être définies ponctuellement, donc... ?

Vous vous prenez la tête. En traitant le programme de manière cohérente et en bouchant les trous on rend service à tout le monde. Il n'y a aucun doute à avoir.