Y a-t-il un infini plus grand qu'un autre ?

Fort naïvement : si l'infini (ici l'ensemble N donc) n'existait pas, les paradoxes de Zénon ne nous poseraient-ils pas un très sérieux problème ?

JPhMM a écrit:Fort naïvement : si l'infini (ici l'ensemble N donc) n'existait pas, les paradoxes de Zénon ne nous poseraient-ils pas un très sérieux problème ?

Bah même avec l'infini ils me posent encore problème, personnellement...

Que d'un seul trait continu on puisse atteindre l'infini me laisse encore coi de temps à autres. Un peu comme la fonction de Peano évoquée plus haut dans le fil. C'est le genre de raisonnement que je trouve hypnotique et sur lequel je peux rester éberlué des heures.

Je le comprends aisément, puisque je partage cette impression.

(Je bloque un peu sur l'idée qu'Achille arrive à rattraper la tortue. Cette histoire selon laquelle 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... atteindrait 1, extrémité de l'intervalle fermé [0;1] me gratouillera toujours un peu aux entournures. Topologiquement, ça a un côté urtiquant, je trouve.)

Les paradoxes de Zénon sont liés à la confusion entre l'infini en puissance et l'infini en acte. En suivant Aristote, on peut dire que l'infini n'existe pas en acte, mais seulement en puissance. Le continu est divisible à l'infini, mais pour autant il n'est pas divisé à l'infini. En traçant une ligne, je ne trace pas une infinité de points, mais je fais apparaître une divisibilité infinie dans le continu.

Le problème étant de savoir s'il est possible de suivre Aristote, justement. Tiens, au nombre des heureuses (et heureusement nombreuses) exceptions dont je parlais tout à l'heure, il y a, de Jean-Louis Gardies, Pascal entre Eudoxe et Cantor chez Vrin.

Je vais commencer par l'ouvrage recommandé plus haut. Mais celui-ci a l'air aussi rudement intéressant.
Je me demande si Husserl ne s'est pas intéressé aussi de près à ces questions, étant mathématicien de formation.

JPhMM a écrit:Je le comprends aisément, puisque je partage cette impression.

(Je bloque un peu sur l'idée qu'Achille arrive à rattraper la tortue. Cette histoire selon laquelle 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... atteindrait 1, extrémité de l'intervalle fermé [0;1] me gratouillera toujours un peu aux entournures. Topologiquement, ça a un côté urtiquant, je trouve.)

Moi aussi, l'argument à base de convergence a du mal à me convaincre entièrement.

Un joli paradoxe qui semble difficile à trouver en français, en voici une version probablement un peu différente de celle originelle : paradoxe de Benardete (certains auteurs l'ont qualifié de "new Zeno paradox").

Un homme veut se rendre d'une ville A à une ville B.
Sur sa route, une infinité dénombrable de démons veut l'empêcher d'atteindre la ville B.

Pour tout n entier naturel, le démon n décide que lorsque l'homme aura parcouru 1/2^(n+1) du chemin, il dressera aussitôt devant lui un mur infranchissable (le démon 0 décide que lorsque l'homme aura parcouru la moitié du chemin, il dressera aussitôt devant lui un mur infranchissable ; le démon 1 décide que lorsque l'homme aura parcouru le quart du chemin, il dressera aussitôt devant lui un mur infranchissable, etc.).

Si le démon n fabrique le mur qui bloque l'homme, cela implique que le démon n+1 n'a pas fait son boulot, donc aucun démon ne construit de mur et l'homme atteint la ville B.

On dirait un peu le paradoxe du prisonnier en version "infini".

C'est génial

PauvreYorick a écrit:C'est peut-être moi qui comprends mal l'axiome de l'infini. Mais très grossièrement j'y vois une façon de postuler que N, ou un ensemble similaire, existe.

Ah oui, l'existence de N est bien une conséquence de l'axiome de l'infini. C'est amusant, effectivement, puisqu'on à une infinité de cardinaux infinis...A condition d'admettre qu'on en a au moins un.

En fait, je suis comme la plupart des matheux : je me suis intéressé un jour aux fondements des mathématiques, puis une fois que j'ai eu le sentiment que tout était réglé, je me suis mis à travailler au quotidien sans forcément me demander dans quelle axiomatique je me place. Et je ne connais même pas par cœur les axiomes de ZF.

La logique était une passion de jeunesse, au point d'avoir validé le DEA (à l'époque) "Logiques et fondement de l'informatique" de Paris VII, et commencé une thèse de théorie des modèles. Puis je je me suis rendu compte que c'était très technique quand même, et j'ai bifurqué.

Ce fil me fait rajeunir de vingt ans.

Sirgab a écrit:Les paradoxes de Zénon sont liés à la confusion entre l'infini en puissance et l'infini en acte. En suivant Aristote, on peut dire que l'infini n'existe pas en acte, mais seulement en puissance. Le continu est divisible à l'infini, mais pour autant il n'est pas divisé à l'infini. En traçant une ligne, je ne trace pas une infinité de points, mais je fais apparaître une divisibilité infinie dans le continu.

Le vocabulaire n'est plus celui qui nous serait familier aujourd'hui, mais franchement, je suis soufflé par l'intuition d'Aristote, si c'est bien sa présentation.

jaybe a écrit:Un joli paradoxe qui semble difficile à trouver en français, en voici une version probablement un peu différente de celle originelle : paradoxe de Benardete (certains auteurs l'ont qualifié de "new Zeno paradox").

Un homme veut se rendre d'une ville A à une ville B.
Sur sa route, une infinité dénombrable de démons veut l'empêcher d'atteindre la ville B.

Pour tout n entier naturel, le démon n décide que lorsque l'homme aura parcouru 1/2^(n+1) du chemin, il dressera aussitôt devant lui un mur infranchissable (le démon 0 décide que lorsque l'homme aura parcouru la moitié du chemin, il dressera aussitôt devant lui un mur infranchissable ; le démon 1 décide que lorsque l'homme aura parcouru le quart du chemin, il dressera aussitôt devant lui un mur infranchissable, etc.).

Si le démon n fabrique le mur qui bloque l'homme, cela implique que le démon n+1 n'a pas fait son boulot, donc aucun démon ne construit de mur et l'homme atteint la ville B.

   

Comme quoi, on ne peut pas compter jusqu'à l'infini dans les deux sens.

C'est une présentation très fidèle à ce que dit Aristote. (On suppose qu'Euclide et lui pourraient avoir profité d'un enseignement semblable, je le rappelle: c'est chez Platon qu'on apprenait les meilleures mathématiques de l'époque )

laMiss a écrit:J'ai cliqué par curiosité sur ce topic, sachant pertinemment que je serai larguée et en effet, je me suis arrêtée à  "bijection" p.1 !
Je repasserai peut-être poser des questions quand mes neurones se montreront plus tenaces que ce soir !

Bijection est un bien grand mot pour dire rapidement ce que tout le monde fait sans le savoir lorsqu'il compte :
Par exemple, lorsque vous comptez le nombre d'allumettes (représentés par la lettre i majuscule ci-dessous : I)
I -> 1
II -> 2
III -> 3
IIII -> 4
IIIII -> 5
etc

A chaque paquet d'allumettes correspond un seul nombre et vice versa, à chaque nombre correspond un seul paquet d'allumette. Il y a une bijection entre les paquets d'allumettes et les nombres entiers.

Cette façon de compter qui est la façon de compter « naturelle » pose problème.

Il existe une histoire d'un dialogue de deux mathématiciens Grecs (j'ai oublié lesquels, si quelqu'un sait ?) dans lequel le premier dit au second :
- dans les vingt premiers nombres entiers (1; 2; 3; ...; 20) [le zéro n'existait pas à l'époque] combien y a t-il de nombres pair ?
- assurément la moitié (soit 10) répond le second : 2; 4; 6; 8;10;12;14;16; 18; 20
- le premier lui dit alors « Considère l'ensemble de tous les nombres entiers, combien y-a t-il de nombres pair ? »
- assurément la moitié lui répond le second.

Et le premier lui montre qu'il se trompe, il y en a autant !

Pour ce faire, il considère l'ensemble des nombres entiers 1; 2; 3; 4; 5; 6; etc
puis il multiple par 2 chacun de ceux-ci.
Il obtient :
1 -> 2
2 -> 4
3 -> 6
4 -> 8
5 ->10
6 -> 12
Etc jusqu'à l'infini.

Il y a autant d'entier que de « flèches », et autant de « flèches » que de pairs, donc il y a autant de nombres entiers que de nombres pairs. On vient de créer une bijection, les bijections permettent de compter, de dénombrer.

Je ne suis pas certain que tu l'ais désembrouillée
Tu aurais dû faire la démonstration qu'un cercle contient un point de plus qu'une droite, c'eut été plus intuitif

AndréC a écrit: Il existe une histoire d'un dialogue de deux mathématiciens Grecs (j'ai oublié lesquels, si quelqu'un sait ?)

C'est probablement une attribution factice. Mais je ne sais pas quand au juste ça a été remarqué.

Cela dit, l'infinité des nombres premiers est dans Euclide (IX 20), alors bon. Mais cet argument bijectif-là, je suis aussi curieux d'en savoir l'origine (connue) si quelqu'un l'a.

William Foster a écrit:Je ne suis pas certain que tu l'ais désembrouillée
Tu aurais dû faire la démonstration qu'un cercle contient un point de plus qu'une droite, c'eut été plus intuitif

J'ai trouvé cela très clair... Par contre je sèche encore sur le cercle contenant un point de plus qu'une droite

William Foster a écrit:Je ne suis pas certain que tu l'ais désembrouillée

J'aurai essayé !

William Foster a écrit:
Tu aurais dû faire la démonstration qu'un cercle contient un point de plus qu'une droite, c'eut été plus intuitif

Je ne connais pas cette démonstration.

AndréC a écrit:Je ne connais pas cette démonstration.

Tu prends un cercle, une droite qui lui est tangente en B, et le point A (en haut sur le dessin) du cercle diamétralement opposé à B.

Si maintenant tu prends un point M sur la droite et que tu traces [AM), cette demi-droite coupe le cercle en un seul point N (en rouge sur le dessin). A tout point M correspond un et un seul point N.
Inversement, pour tout point N du cercle, la demi-droite [AN) coupe la droite en un seul point M.

Tout point M est pote avec un seul point N. Tout point N est pote avec un seul point M. Il y a donc autant de points sur la droite que sur le cercle...
...
...
Oui mais non : le point A est le seul à ne pas avoir d'ami sur la droite. Le cercle possède donc un point (le A) de plus que la droite !

Edit : merci de ne pas éreinter la forme de mon explication que j'ai tentée de faire compréhensible aux profanes

Ah oui, tiens... C'est très clair (ça me laisse rêveur, j'aime bien ). Du coup, il n'y a pas de bijection entre l'ensemble représenté par le cercle et celui représenté par la droite, c'est ça ?

Si tu fais la même chose en partant du centre, tu trouves qu'il a deux points de plus que deux droites

William Foster a écrit:

AndréC a écrit:Je ne connais pas cette démonstration.

Tu prends un cercle, une droite qui lui est tangente en B, et le point A (en haut sur le dessin) du cercle diamétralement opposé à B.

Si maintenant tu prends un point M sur la droite et que tu traces [AM), cette demi-droite coupe le cercle en un seul point N (en rouge sur le dessin). A tout point M correspond un et un seul point N.
Inversement, pour tout point N du cercle, la demi-droite [AN) coupe la droite en un seul point M.

Tout point M est pote avec un seul point N. Tout point N est pote avec un seul point M. Il y a donc autant de points sur la droite que sur le cercle...
...
...
Oui mais non : le point A est le seul à ne pas avoir d'ami sur la droite. Le cercle possède donc un point (le A) de plus que la droite !

Edit : merci de ne pas éreinter la forme de mon explication que j'ai tentée de faire compréhensible aux profanes

Tu as oublié le point à l'infini.

Laverdure a écrit:Ah oui, tiens... C'est très clair. Du coup, il n'y a pas de bijection entre l'ensemble représenté par le cercle et celui représenté par la droite, c'est ça ?

Effectivement.
Il y aurait bijection entre la droite et le cercle dans lequel tu aurais enlevé le point A

BrindIf a écrit:Si tu fais la même chose en partant du centre, tu trouves qu'il a deux points de plus que deux droites

C'est valable aussi si on prend la tangente au point A, non ?

JPhMM a écrit:
Tu as oublié le point à l'infini.

Bouge pas, je vais le chercher...

JPhMM a écrit:

William Foster a écrit:

AndréC a écrit:Je ne connais pas cette démonstration.

Tu prends un cercle, une droite qui lui est tangente en B, et le point A (en haut sur le dessin) du cercle diamétralement opposé à B.

Si maintenant tu prends un point M sur la droite et que tu traces [AM), cette demi-droite coupe le cercle en un seul point N (en rouge sur le dessin). A tout point M correspond un et un seul point N.
Inversement, pour tout point N du cercle, la demi-droite [AN) coupe la droite en un seul point M.

Tout point M est pote avec un seul point N. Tout point N est pote avec un seul point M. Il y a donc autant de points sur la droite que sur le cercle...
...
...
Oui mais non : le point A est le seul à ne pas avoir d'ami sur la droite. Le cercle possède donc un point (le A) de plus que la droite !

Edit : merci de ne pas éreinter la forme de mon explication que j'ai tentée de faire compréhensible aux profanes

Tu as oublié le point à l'infini.

Je viens de regarder ça sur internet et justement je me demande, si on considère le point à l'infini (si j'ai bien compris, ça revient à faire bouger le point M vers la gauche donc rendre les droite (AM) et la tangente progressivement "parallèles") est-ce qu'on peut dire que "A sera pote avec M" ( ) ? J'ai l'impression qu'alors, A et N se confondraient.