Y a-t-il un infini plus grand qu'un autre ?

Je sais bien que la réponse a été résolue il y a un peu plus d'un siècle, j'évoquais le trouble que peut poser la question, une fois qu' "on" sait qu'il existe des ensembles infinis plus grands que d'autres. La question du plus grand des ensembles arrive légitimement, la preuve c'est que Cantor l'a posée.

Prezbo a écrit:

Sirgab a écrit:Donc, si j'ai bien compris, on peut dire en mathématiques que des infinis ne sont pas équivalents, avec l'exemple des ensembles N et R qui ne sont pas équivalents, car ils n'ont pas le même cardinal. (si j'ai bien compris)

C'est bien ça.

JPhMM a écrit:
Une question troublante pourrait être de savoir s'il existe un infini plus grand (non strictement) que tous les autres.

La réponse n'a toujours pas d’ambiguïté : c'est non. Et c'est toujours l'argument diagonal de Cantor qui permet de le prouver.

Soit א le cardinal d'un ensemble infini. Par commodité, j'identifie chaque cardinal avec une ensemble du cardinal en question.

(א est la lettre "aleph" de l'alphabet hébreux, souvent utilisée pour noter les cardinaux infinis.)

Considérons l'ensemble des fonctions de א dans le doublet {0;1}. On définit 2^א (deux puissance aleph) comme le cardinal de cet ensemble.

Supposons que  2^א  puisse être mis en bijection avec  א . On peut alors construire (comme dans la preuve que le cardinal de R n'est pas égal à celui de N) un élément de  2^א qui n'appartient pas à l'image de  א par cette bijection, d'où une contradiction.

Autrement dit, pour tout cardinal infini  א , on a 2^א  strictement plus grand que א .

(Je reviens plus tard vous parler de l'hypothèse du continu, mais là je n'ai vraiment pas le temps. Et puis, ça fait bien vingt ans que je n'ai plus pensé sérieusement à ce genre de problèmes.)

Il faut espérer qu'il y ait une erreur dans https://arxiv.org/pdf/1208.5424v2.pdf

JPhMM a écrit:

Prezbo a écrit:

Sirgab a écrit:Donc, si j'ai bien compris, on peut dire en mathématiques que des infinis ne sont pas équivalents, avec l'exemple des ensembles N et R qui ne sont pas équivalents, car ils n'ont pas le même cardinal. (si j'ai bien compris)

C'est bien ça.

JPhMM a écrit:
Une question troublante pourrait être de savoir s'il existe un infini plus grand (non strictement) que tous les autres.

La réponse n'a toujours pas d’ambiguïté : c'est non. Et c'est toujours l'argument diagonal de Cantor qui permet de le prouver.

Soit א le cardinal d'un ensemble infini. Par commodité, j'identifie chaque cardinal avec une ensemble du cardinal en question.

(א est la lettre "aleph" de l'alphabet hébreux, souvent utilisée pour noter les cardinaux infinis.)

Considérons l'ensemble des fonctions de א dans le doublet {0;1}. On définit 2^א (deux puissance aleph) comme le cardinal de cet ensemble.

Supposons que  2^א  puisse être mis en bijection avec  א . On peut alors construire (comme dans la preuve que le cardinal de R n'est pas égal à celui de N) un élément de  2^א qui n'appartient pas à l'image de  א par cette bijection, d'où une contradiction.

Autrement dit, pour tout cardinal infini  א , on a 2^א  strictement plus grand que א .

(Je reviens plus tard vous parler de l'hypothèse du continu, mais là je n'ai vraiment pas le temps. Et puis, ça fait bien vingt ans que je n'ai plus pensé sérieusement à ce genre de problèmes.)

Il faut espérer qu'il y ait une erreur dans https://arxiv.org/pdf/1208.5424v2.pdf

Je ne comprends pas en quoi le résultat principal annoncé par cet article (p=t), pour ce que je pense en avoir compris, contredit ce que j'ai dit.

Rien.
Je rebondissais sur le fait que tu allais parler de l'hypothèse du continu. Si p=t, "notre" connaissance de l'hypothèse du continu a un peu évolué.

Bonsoir
Une introduction "ludique" se trouve à: http://www.madore.org/~david/misc/VIRUS/ordinals/ordinals.html

J'ai cliqué par curiosité sur ce topic, sachant pertinemment que je serai larguée et en effet, je me suis arrêtée à  "bijection" p.1 !
Je repasserai peut-être poser des questions quand mes neurones se montreront plus tenaces que ce soir !

Une autre "vulgarisation" du sujet, en anglais :

Peut-être plus accessible (?), on peut prendre quelques minutes pour étudier l'ordre de Charkovski (dont l'écriture exacte du nom est déjà un sacré problème en soi !), qui fournit un exemple de la façon dont les entiers peuvent être rangés différemment de l'ordre usuel ; on place en premier les entiers impairs sauf 1 : 3, 5, etc, puis leurs doubles, toujours dans l'ordre : 6, 10, etc., puis les doubles de ces doubles, etc. , et on garde pour la fin les puissances de 2 rangées dans l'ordre décroissant. On obtient alors certaines propriétés qui semblent assez étranges, par exemple on trouve une infinité d'entiers sans précédesseur. Encore plus étrange, cela a une réelle utilité dans l'étude de systèmes dynamiques !

Et demain, pour rire, on parle des hyperréels.

Il se trouve que David Louapre a déjà fait une vidéo sur l'infini! Il y est questions des ensembles infinis dénombrables et indénombrables, et bien sûr de bijection! Et franchement, c'est bien fait parce que j'ai tout compris!! :o

JPhMM a écrit:Rien.
Je rebondissais sur le fait que tu allais parler de l'hypothèse du continu. Si p=t, "notre" connaissance de l'hypothèse du continu a un peu évolué.

Bon, comme promis, l'hypothèse du continu.

Quand on s'intéresse aux fondements des mathématiques, en gros, on se place dans une axiomatique,c'est-à-dire un ensemble d'axiomes de base que l'on admet comme vrais, et à partir desquels on démontre tous le reste. Depuis le début de XXème siècle, l'axiomatique de référence est celle de la théorie des ensembles de  Zermelo-Fraenkel (en abrégé ZF). C'est sans doute le travail de fondation des mathématiques le plus important depuis les Éléments d'Euclide.

(Je passe sur les paradoxes que cette axiomatisation a permis de résoudre, évoqués par Balthaazard et JPhMM.)

Petit précision : le célèbre théorème d'incomplétude de Gödel nous permet d'affirmer que ce système (comme tout système suffisamment puissant) est incomplet, c'est-à-dire qu'on peut trouver des affirmations mathématiques qu'il ne permet ni de démontrer, ni de réfuter. Et d'affirmer de plus qu'on ne peut pas démontrer la cohérence de ce système (c'est-à-dire son absence de contradiction) à l'aide du système lui-même.

Dans ZF, l'ensemble des entiers naturels N a un cardinal infini. C'est le plus petit cardinal infini, on le note aleph_0. (Prononcez "aleph indice 0" ou simplement "aleph 0". J'ai des difficultés à taper la lettre hébreu aleph avec un indice sur le forum.)

On peut montrer que l'ensemble des nombres réels, par l’argument diagonal de Cantor, à un cardinal strictement supérieur à aleph_0. Cet ensemble des nombres réels peut être vu, en utilisant le développement d'un nombre réel en base deux, comme l'ensemble des suites à valeurs dans le doublet {0;1}. son cardinal est 2^(aleph_0). (Deux puissance aleph_0.)

On peut par ailleurs montrer que l'ensemble des cardinaux strictement supérieurs à aleph_0 a un plus petit élément, que l'on note aleph_1. L'ensemble des nombres réels faisant partie de ceux dont le cardinal est strictement supérieur à aleph_0, on a donc aleph_1 <= 2^(aleph_0)

La question qui vient alors est : est-ce que le cardinal de l'ensemble des nombres réels est égal à aleph_1, ou est-ce qu'il existe des cardinaux entre aleph_1 et celui des nombres réels. Autrement dit : a-t-on aleph_1=2^(aleph_0) ?

C'est cette dernière égalité qui est connue sous le nom d’hypothèse du continu, en abrégé HC.

Et on a démontré que cette hypothèse est...indécidable. Elle fait partie des affirmations que l'on ne peut ni démontrer, ni réfuter dans le cadre des axiomes de ZF.

En 1938, Kurt Gödel a montré que si les axiomes de ZF étaient consistants, alors ceux de ZF auxquels on ajoute l'hypothèse du continu (ZF+HC) sont consistants aussi. Son idée est de partir d'un modèle des axiomes de ZF, et de bâtir à l'intérieur de ce modèle un modèle restreint au minimum dans lequel ZF+HC est vrai.

En 1963, Paul Cohen, démontre si les axiomes de ZF sont consistants, alors ceux de ZF auxquels on ajoute la négation de l'hypothèse du continu (ZF+non HC) sont consistants aussi. Il crée pour cela la méthode du forcing : je n'ai jamais étudié de près, mais cela consiste si j'ai bien compris à partir d'un modèle de ZF et de construire un modèle extérieur "plus grand", dans lequel ZF+ non HC est vérifié.

En résumé pour ceux qui n'ont pas tout suivi : on sait que le cardinal de l'ensemble des nombres réels est strictement plus grand que celui des nombres entiers, et on ne peut pas prouver s'il y a d'autres cardinaux intermédiaires entre les deux ou non.

Concernant le nouveau résultats de Maryanthe Malliaris and Saharon Shelah évoqué plus haut, maintenant.

Si j'ai bien compris, sachant que je découvre à peine le problème, les mathématiciens ont défini deux nouveaux cardinaux p et t tels que :

-ces deux cardinaux sont infinis, et indénombrables (strictement plus grands que aleph_0)
-p est inférieur ou égal à t
-p et t sont inférieurs ou égal au cardinal des nombres réels.

Comme aleph_1 est le plus petit des cardinaux indénombrables, on a donc

aleph_0< aleph_1<=  p <= t <= 2^(aleph_0)

Si on admet l'hypothèse du continu (aleph_1= 2^(aleph_0)), on a nécessairement p=t. La question qui restait ouverte était de savoir si l'hypothèse p strictement inférieur à t était compatible avec ZF.

La réponse est non : les axiomes de ZF permettent de prouver p=t.

En résumé : les deux chercheurs n'ont pas trouvé l’hypothèse du continu (encore une fois, elle est indémontrable), mais un résultat intermédiaire, plus faible, portant sur l'égalité de deux cardinaux inclus entre aleph_1 et 2^(aleph_0).

Une interprétation toute personnelle, et j'essaye de ne pas dire de bêtises : à défaut de prouver l'hypothèse du continu, ce résultat renforce légèrement son caractère intuitif. Il n'est pas si simple de trouver des cardinaux inclus entre aleph_1 et 2^(aleph_0) dont les cardinaux soient différents.

Shelah est trop vieux (c'est une pointure de la logique mathématiques depuis plusieurs décennies) mais Maryanthe Malliaris pourrait bien devenir la deuxième femme médaille Fields.

fullmetalchemist a écrit:Il se trouve que David Louapre a déjà fait une vidéo sur l'infini! Il y est questions des ensembles infinis dénombrables et indénombrables, et bien sûr de bijection! Et franchement, c'est bien fait parce que j'ai tout compris!! :o

Merci pour la partage, je ne connaissais pas.

A partir de 10'29'', les ensembles indénombrables.

12'55'', l'hypothèse du continu.

Prezbo a écrit:

Gryphe a écrit:
J'ai vu passer un article sur la question...
Il semblerait que le sujet soit ressorti sur le tapis récemment.
https://www.maths-forum.com/cafe-mathematique/infinis-sont-egaux-est-une-revolution-t188005.html

Pour comprendre cet article, il faut quand même avoir de sérieuses notions sur les différents types d'infini, et savoir ce qu'est l'hypothèse du continu.

L'article en français sur msn.com cité en lien contient une erreur énorme : il prétend que les deux mathématiciens ont prouvé l'hypothèse du continu, c'est-à-dire montré que le cardinal de l'ensemble des nombres réels est le plus petit cardinal strictement plus grand que celui de l'ensemble des nombres entiers. Or, cette hypothèse est indécidable, dans le cadre des axiomes de Zermelo-Frankel : on ne peut ni la démontrer, ni la réfuter.

Sur le résultat de Shelha et Malliaris , j'ai trouvé cet article de Slate qui me semble assez abordable et pas mal, modulo quelques imprécisions sur la fin. (Il me semble que l'auteur écrit plusieurs fois "inférieur strict" là où il faudrait écrire "inférieur ou égal".)


http://www.slate.fr/story/151703/mathematiciens-demonstrations-infinis-egaux

Oui, l'auteur de l'article ne semble pas voir ce que c'est que l'hypothèse du continu, ou ne pas voir que ce qu'il écrit implique qu'elle est fausse. (Je me demande s'il ne la confond pas avec sa négation, pour commencer.)

B

Petite question:
autant je fais bien la différence entre les cardinaux de R et N, mais j'ai un peu plus de mal à comparer
RxR et RxN.

fifi51 a écrit:Petite question:
autant je fais bien la différence entre les cardinaux de R et N, mais j'ai un peu plus de mal à comparer
RxR et RxN.

La vidéo posté par Mateo rappelle qu'on peut établir une bijection continue de [0;1] dans [0;1]x[0;1]. Ou, pour dire les choses de façon plus imagée, que l'on peut colorier la totalité d'un carré de côté 1 avec une seule ligne continue et infiniment fine. (C'est effectivement un résultat contre-intuitif.)

En conséquence, le cardinal de [0;1] et celui de [0;1]x[0;1] sont égaux.

Et comme le cardinal de [0;1] est égal à celui de R, le cardinal de R et celui de RxR sont également égaux.

Le truc rigolo, c'est que N est postulé, non ?

Sirgab a écrit:Je me suis posé de temps à autre cette question, sans avoir pu trouver de réponse nette. Est-ce une question tranchée en mathématiques ou non? Il me semble qu'il y a d'un côté l'idée qu'un ensemble infini peut contenir des sous-ensembles eux aussi infinis. Mais d'un autre côté, il me semble paradoxal de mesurer deux infinis. Y a-t-il quelques mathématiciens pour éclairer ma lanterne? Merci!

je vous conseille la lecture de l'ouvrage collectif « Infini des mathématiciens, infini des philosophes » aux éditions Belin :
https://www.belin-editeur.com/infini-des-mathematiciens-infini-des-philosophes

Merci pour le conseil! Ce livre a l'air intéressant, je vais regarder ça

C'est vrai que la notion d'infini est peut-être tout bonnement équivoque selon qu'on l'envisage en mathématique ou en métaphysique.

Sirgab a écrit:C'est vrai que la notion d'infini est peut-être tout bonnement équivoque selon qu'on l'envisage en mathématique ou en métaphysique.

Il y a de ça, certes, mais il y a aussi le fait que bien des philosophes ne se donnent pas la peine de travailler sérieusement sur le concept mathématique. Ce n'est pas une règle, bien sûr (il y a trop d'exceptions), mais il arrive quand même fréquemment qu'on se dise qu'un tel travail fait défaut.

PauvreYorrick a écrit:
Il y a de ça, certes, mais il y a aussi le fait que bien des philosophes ne se donnent pas la peine de travailler sérieusement sur le concept mathématique. Ce n'est pas une règle, bien sûr (il y a trop d'exceptions), mais il arrive quand même fréquemment qu'on se dise qu'un tel travail fait défaut.

Est-ce par un mépris des mathématiques ou par une ignorance en ce domaine ? (qu'on pourrait imputer à une tendance plutôt littéraire de la philosophie ).

Je pense que c'est parce que c'est quand même un peu difficile...

Si mépris il devait y avoir (nul doute que certaines chapelles soient méprisantes envers les sciences dures, mais les mathématiques sont souvent davantage épargnées que la physique), je ne pense pas qu'il pourrait s'expliquer sans l'ignorance.

PauvreYorick a écrit:Le truc rigolo, c'est que N est postulé, non ?

J'avoue ne pas comprendre le terme dans ce contexte.

C'est peut-être moi qui comprends mal l'axiome de l'infini. Mais très grossièrement j'y vois une façon de postuler que N, ou un ensemble similaire, existe.

Fort naïvement : si l'infini (ici l'ensemble N donc) n'existait pas, les paradoxes de Zénon ne nous poseraient-ils pas un très sérieux problème ?