Y a-t-il un infini plus grand qu'un autre ?

Je me suis posé de temps à autre cette question, sans avoir pu trouver de réponse nette. Est-ce une question tranchée en mathématiques ou non? Il me semble qu'il y a d'un côté l'idée qu'un ensemble infini peut contenir des sous-ensembles eux aussi infinis. Mais d'un autre côté, il me semble paradoxal de mesurer deux infinis. Y a-t-il quelques mathématiciens pour éclairer ma lanterne? Merci!

Question philosophique ou mathématique ? Si elle est mathématique, tu n'as pas posté dans le bon forum.

Il faut regarder du côté des nombres transfinis.

Le problème étant que dès qu'on touche à l'infini, les notions explosent véritablement. Par exemple, mathématiquement, on peut écrire

Infini + 1 = infini

Dans les règles habituelles, le membre de gauche devrait être plus grand que celui de droite. Ici, ils sont égaux. Il faut donc définir, dans le cadre des infinis, ce qu'est le «plus grand».

Ceci dit, une piste de réflexion possible sur ce sujet est l'existence d'infinis dénombrables (les entiers naturels par exemple), et les infinis indénombrables (comme l'ensemble des réels).

Déjà il faut poser proprement ce que l'on appelle "plus grand".

Le bouquin de Krivine sur la théorie des ensembles est très bien.

Sirgab a écrit:Je me suis posé de temps à autre cette question, sans avoir pu trouver de réponse nette. Est-ce une question tranchée en mathématiques ou non? Il me semble qu'il y a d'un côté l'idée qu'un ensemble infini peut contenir des sous-ensembles eux aussi infinis. Mais d'un autre côté, il me semble paradoxal de mesurer deux infinis. Y a-t-il quelques mathématiciens pour éclairer ma lanterne? Merci!

Si on pose la question sous l'angle mathématiques, la réponse est nette et tranchée : oui, il y a plusieurs infinis.

Pour être clair, il faudrait déjà définir ce qu'est le "même" infini. Pour faire simple, on dit que deux ensembles ont le même cardinal si ils peuvent être mis en bijection, et qu'un ensemble est de cardinal infini s'il ne peut pas être mis en bijection avec un ensemble de cardinal fini.

Là où ça devient perturbant, c'est que deux ensembles de cardinal infini ne peuvent pas forcément être mis en bijection. Par exemple, l’ensemble des nombres réels ne peut pas être mis en bijection avec l'ensemble des nombres entiers.  (On dit alors qu'il n'est pas dénombrable, c'est-à-dire qu'on ne peut pas "compter" les nombres réels.)

On peut le démontrer à l'aide de l'argument diagonal de Cantor, démonstration qui m'a toujours fascinée depuis que je l'ai découverte.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Argument_de_la_diagonale_de_Cantor


En revanche, il est possible qu'un ensemble de cardinal infini soit mis en bijection avec un de ses sous-ensemble : l'ensemble des nombres entiers naturel peut être mis en bijection avec l'ensemble des nombres entiers pairs, l'ensemble des nombres rationnels peut être mis en bijection avec l'ensemble des nombres entiers naturels...Le cardinal de l'ensemble des nombres entiers pairs et celui de tous les nombres entiers est donc bien le "même" infini, ce qui peut perturber également.

C'est perturbant, mais on peut en faire une définition de l'infini, et si je ne m'abuse c'est précisément ce qu'a fait Cantor : un ensemble est infini ssi son cardinal est identique au cardinal d'au moins une de ses parties propres.

(Du coup, si "de même cardinal" exclut "plus grand", on limite la portée de l'axiome euclidien "le tout est plus grand que la partie"; à la limite, tu peux dire que les ensembles infinis se caractérisent de manière suffisante par le fait qu'ils ont des parties (propres) qui sont aussi grandes que leur tout.)

Sirgab a écrit:Est-ce une question tranchée en mathématiques ou non? Il me semble qu'il y a d'un côté l'idée qu'un ensemble infini peut contenir des sous-ensembles eux aussi infinis.

J'ai vu passer un article sur la question...
Il semblerait que le sujet soit ressorti sur le tapis récemment.
https://www.maths-forum.com/cafe-mathematique/infinis-sont-egaux-est-une-revolution-t188005.html

Gryphe a écrit:

Sirgab a écrit:Est-ce une question tranchée en mathématiques ou non? Il me semble qu'il y a d'un côté l'idée qu'un ensemble infini peut contenir des sous-ensembles eux aussi infinis.

J'ai vu passer un article sur la question...
Il semblerait que le sujet soit ressorti sur le tapis récemment.
https://www.maths-forum.com/cafe-mathematique/infinis-sont-egaux-est-une-revolution-t188005.html

Pour comprendre cet article, il faut quand même avoir de sérieuses notions sur les différents types d'infini, et savoir ce qu'est l'hypothèse du continu.

L'article en français sur msn.com cité en lien contient une erreur énorme : il prétend que les deux mathématiciens ont prouvé l'hypothèse du continu, c'est-à-dire montré que le cardinal de l'ensemble des nombres réels est le plus petit cardinal strictement plus grand que celui de l'ensemble des nombres entiers. Or, cette hypothèse est indécidable, dans le cadre des axiomes de Zermelo-Frankel : on ne peut ni la démontrer, ni la réfuter.

La page wikipedia de Maryanthe Malliaris me semble contenir un résumé plus exact.

Elle est également connue pour deux articles co-écrits avec Saharon Shelah, reliant la topologie, la théorie des ensembles, et la théorie des modèles.

Dans ce travail, pour lequel ils ont reçu la médaille Hausdorff en 2017, ils apportent une contribution significative à un problème de théorie des ensembles vieux de 70 ans et relié à l'hypothèse du continu : ils montrent l'égalité des cardinaux de deux ensembles, 𝖕 et 𝖙, dont le cardinal est plus grand que celui des nombres entiers mais plus petit ou égal à celui des réels

(C'est de notions quand même un peu délicates...)

Prezbo a écrit:

Gryphe a écrit:
J'ai vu passer un article sur la question...
Il semblerait que le sujet soit ressorti sur le tapis récemment.
https://www.maths-forum.com/cafe-mathematique/infinis-sont-egaux-est-une-revolution-t188005.html

Pour comprendre cet article, il faut quand même avoir de sérieuses notions sur les différents types d'infini, et savoir ce qu'est l'hypothèse du continu.

(C'est de notions quand même un peu délicates...)

Mais je n'y connais rien à rien en maths. C'est bien pour cela que je ne faisais que citer.

Et encore vous ne parlez que des cardinaux...

Avec le premier ordinal transfini oméga (ici w)  (qui est aussi un "infini")  w+1 est différent de w , lui même égal à 1+w .....2xw=w qui est par contre différent de w+w....

Sirgab a écrit:Je me suis posé de temps à autre cette question, sans avoir pu trouver de réponse nette. Est-ce une question tranchée en mathématiques ou non? Il me semble qu'il y a d'un côté l'idée qu'un ensemble infini peut contenir des sous-ensembles eux aussi infinis. Mais d'un autre côté, il me semble paradoxal de mesurer deux infinis. Y a-t-il quelques mathématiciens pour éclairer ma lanterne? Merci!

Il y a une réponse à une partie de ta question

Ces notions sont parfaitement claires et tranchées pour les mathématiciens ( des problèmes à résoudre existent encore mais il n'y a pas de polémiques ou de discordances sur ces questions)

PauvreYorick a écrit:C'est perturbant, mais on peut en faire une définition de l'infini, et si je ne m'abuse c'est précisément ce qu'a fait Cantor : un ensemble est infini ssi son cardinal est identique au cardinal d'au moins une de ses parties propres.

Je ne peux pas dire si Cantor l'a déjà formulé ainsi (je dirais non ?), en tout cas on associe plutôt cette définition à Dedekind.

Ah merci. Il me restait un doute et je n'avais pas pris la peine de vérifier. J'ai probablement appris, effectivement, que c'était Dedekind et pas Cantor.

Ce que je trouve perturbant, c'est que certains infinis puissent être plus facilement "atteignables" que d'autres...
Compter de un en un jusqu'à l'infini peut être trèèès long   , alors que tracer une infinité de points en dessinant un segment se fait en quelques instants  :| . Et ce alors même que le nombre infini de points tracés dans le segment est "plus grand" que celui de compter de un en un jusqu'à l'infini...

Donc, si j'ai bien compris, on peut dire en mathématiques que des infinis ne sont pas équivalents, avec l'exemple des ensembles N et R qui ne sont pas équivalents, car ils n'ont pas le même cardinal. (si j'ai bien compris)
Merci pour vos éclaircissements. Je comprends aussi que la formule "plus grand que" est ambiguë, et que "non équivalents" semble plus approprié.

PauvreYorick a écrit:C'est perturbant, mais on peut en faire une définition de l'infini, et si je ne m'abuse c'est précisément ce qu'a fait Cantor : un ensemble est infini ssi son cardinal est identique au cardinal d'au moins une de ses parties propres.

(Du coup, si "de même cardinal" exclut "plus grand", on limite la portée de l'axiome euclidien "le tout est plus grand que la partie"; à la limite, tu peux dire que les ensembles infinis se caractérisent de manière suffisante par le fait qu'ils ont des parties (propres) qui sont aussi grandes que leur tout.)

Pythagore déjà rencontrait un problème avec les nombres commensurables : puisque la diagonale d'un carré de côté 1 n'est pas un nombre rationnel, alors l'infini des nombres rationnels ne permet pas de "remplir" un segment. Par exemple, l'ensemble des points d'abscisses les nombres rationnels compris entre 0 et 1 ne constitue pas le segment ente le point d'abscisse 0 et celui d'abscisse 1. Cet ensemble est même infiniment plus petit que celui des points du segment (visuellement : si les points d'abscisses rationnelles étaient noirs et les points d'abscisses irrationnelles étaient blancs, alors le segment serait absolument blanc).

Une question troublante pourrait être de savoir s'il existe un infini plus grand (non strictement) que tous les autres. On rencontre ici l'ensemble de tous les ensembles, qui implique des paradoxes mathématiques.

Sirgab a écrit:Donc, si j'ai bien compris, on peut dire en mathématiques que des infinis ne sont pas équivalents, avec l'exemple des ensembles N et R qui ne sont pas équivalents, car ils n'ont pas le même cardinal. (si j'ai bien compris)
Merci pour vos éclaircissements. Je comprends aussi que la formule "plus grand que" est ambiguë, et que "non équivalents" semble plus approprié.

Non equipotents.

On doit pouvoir construire une définition de "plus grand que".
Par exemple (en gardant uniquement la notion de bijection) :
Soient deux ensembles A et B.
A est dit strictement plus grand que B s'il existe au moins une partie de A en bijection avec B, mais qu'il n'existe aucune de partie de B en bijection avec A.

JPhMM a écrit:

PauvreYorick a écrit:C'est perturbant, mais on peut en faire une définition de l'infini, et si je ne m'abuse c'est précisément ce qu'a fait Cantor : un ensemble est infini ssi son cardinal est identique au cardinal d'au moins une de ses parties propres.

(Du coup, si "de même cardinal" exclut "plus grand", on limite la portée de l'axiome euclidien "le tout est plus grand que la partie"; à la limite, tu peux dire que les ensembles infinis se caractérisent de manière suffisante par le fait qu'ils ont des parties (propres) qui sont aussi grandes que leur tout.)

Pythagore déjà rencontrait un problème avec les nombres commensurables : puisque la diagonale d'un carré de côté 1 n'est pas un nombre rationnel, alors l'infini des nombres rationnels ne permet pas de "remplir" un segment. Par exemple, l'ensemble des points d'abscisses les nombres rationnels compris entre 0 et 1 ne constitue pas le segment ente le point d'abscisse 0 et celui d'abscisse 1. Cet ensemble est même infiniment plus petit que celui des points du segment.

Une question troublante pourrait être de savoir s'il existe un infini plus grand (non strictement) que tous les autres.

C'est le paradoxe de Cantor, il est lié au choix d'axiomes de la théorie des ensembles, comme celui de Burali-Forti pour les ordinaux. Il y a peu de doutes sur la question.
Je n'avais pas vu ta correction , c'est troublant si on voit un ensemble comme une "collection" d'éléments, ce n'est pas tout à fait vrai.

Balthazaard a écrit:

JPhMM a écrit:

PauvreYorick a écrit:C'est perturbant, mais on peut en faire une définition de l'infini, et si je ne m'abuse c'est précisément ce qu'a fait Cantor : un ensemble est infini ssi son cardinal est identique au cardinal d'au moins une de ses parties propres.

(Du coup, si "de même cardinal" exclut "plus grand", on limite la portée de l'axiome euclidien "le tout est plus grand que la partie"; à la limite, tu peux dire que les ensembles infinis se caractérisent de manière suffisante par le fait qu'ils ont des parties (propres) qui sont aussi grandes que leur tout.)

Pythagore déjà rencontrait un problème avec les nombres commensurables : puisque la diagonale d'un carré de côté 1 n'est pas un nombre rationnel, alors l'infini des nombres rationnels ne permet pas de "remplir" un segment. Par exemple, l'ensemble des points d'abscisses les nombres rationnels compris entre 0 et 1 ne constitue pas le segment ente le point d'abscisse 0 et celui d'abscisse 1. Cet ensemble est même infiniment plus petit que celui des points du segment.

Une question troublante pourrait être de savoir s'il existe un infini plus grand (non strictement) que tous les autres.

C'est le paradoxe de Cantor, il est lié au choix d'axiomes de la théorie des ensembles, comme celui de Burali-Forti pour les ordinaux. Il y a peu de doutes sur la question.

Avec l'axiome de choix, en effet. Mais la question a bien troublé, durant la crise des fondements.

Pardon, j'écrivais mon ajout quand tu écrivais ta réponse.
Et en effet.

Sirgab a écrit:Donc, si j'ai bien compris, on peut dire en mathématiques que des infinis ne sont pas équivalents, avec l'exemple des ensembles N et R qui ne sont pas équivalents, car ils n'ont pas le même cardinal. (si j'ai bien compris)

C'est bien ça.

JPhMM a écrit:
Une question troublante pourrait être de savoir s'il existe un infini plus grand (non strictement) que tous les autres.

La réponse n'a toujours pas d’ambiguïté : c'est non. Et c'est toujours l'argument diagonal de Cantor qui permet de le prouver.

Soit א le cardinal d'un ensemble infini. Par commodité, j'identifie chaque cardinal avec une ensemble du cardinal en question.

(א est la lettre "aleph" de l'alphabet hébreux, souvent utilisée pour noter les cardinaux infinis.)

Considérons l'ensemble des fonctions de א dans le doublet {0;1}. On définit 2^א (deux puissance aleph) comme le cardinal de cet ensemble.

Supposons que  2^א  puisse être mis en bijection avec  א . On peut alors construire (comme dans la preuve que le cardinal de R n'est pas égal à celui de N) un élément de  2^א qui n'appartient pas à l'image de  א par cette bijection, d'où une contradiction.

Autrement dit, pour tout cardinal infini  א , on a 2^א  strictement plus grand que א .

(Je reviens plus tard vous parler de l'hypothèse du continu, mais là je n'ai vraiment pas le temps. Et puis, ça fait bien vingt ans que je n'ai plus pensé sérieusement à ce genre de problèmes.)

Je sais bien que la réponse a été résolue il y a un peu plus d'un siècle, j'évoquais le trouble que peut poser la question, une fois qu' "on" sait qu'il existe des ensembles infinis plus grands que d'autres. La question du plus grand des ensembles arrive légitimement, la preuve c'est que Cantor l'a posée.