Rédaction équations produits nuls

Bonsoir à tous.

Au collège, on n'emploie généralement pas l'expression "si et seulement si".
Aussi, lorsqu'il s'agit de résoudre des équations produits nuls, à mon époque, on m'avait appris que :
(3x + 1)(2x - 1) = 0 ssi 3x + 1 = 0 ou 2x - 1 = 0.
Maintenant, nous utilisons pour certains d'entre nous la rédaction suivante.
1) Propriété : Les solutions de l'équation (ax + b)(cx + d) = 0 sont les nombres x tels que ax + b = 0 et / ou cx + d =0.
2) Les solutions de l'équation (3x + 1)(2x - 1) = 0 sont les nombres x tels que 3x + 1 = 0 et / ou 2x - 1.

Je suis confronté au problème suivant.
Dans certains manuels, sur Internet, on ne trouve rien de clair sur le "et" ou sur le "ou" dans le 1) et dans le 2).
Et parfois même, on retrouve des contradictions (semble-t-il) comme sur ce site : https://www.jeuxmaths.fr/cours/equations-produit-nul.php
Dans la propriété, c'est un "et" et dans l'exemple, c'est un "ou".

Je comprends tout à fait que x ne peut valoir en même temps - 1 / 3 et 1 / 2, d'où le "ou" mais aussi que les solutions des équations sont - 1 / 3 et 1 / 2.
Cependant, dans la propriété 1) et dans l'exemple 2), je souhaiterais savoir s'il faut mettre un "et" ou un "ou" pour ne pas créer de confusion.
Je vous remercie pour vos réponses à ce sujet.

PS : Je ne suis pas là pour polémiquer sur la rédaction (qui ne conviendra certainement pas à tout le monde) mais pour poser une question purement mathématique.
Merci à vous.

1) ou

2) ou

1) ou : x vérifie l 'une ou l 'autre des équations...ou inclusif of course
2) et : il y a deux solutions la première et la seconde.

Je rédige avec la méthode 1)

Merci pour vos réponses.

Vous n'êtes pas d'accord ^^
@Fatras : "Les solutions de l'équation (3x + 1)(2x - 1) = 0 sont les nombres x tels que 3x + 1 = 0 et 2x - 1 = 0", mais x ne peut vérifier à la fois 3x + 1 = 0 et 2x - 1 = 0... voilà aussi ce qui me pose problème.

PS : il manquait un "= 0" dans une même phrase de mon premier message.

Bonsoir,

Je dirais ou et ou aussi

Les sol sont les x vérifiant ceci ou cela
(Édit: ou alors il faut dire les sols sont x vérifiant ceci et les x vérifiant cela. Cad répéter "x vérifiant" )

Ce qui ne t'empêche pas de dire les sol sont-1/3 et 1/2


Non?

Je comprends mais tu dis bien, en conclusion "Les solutions sont... ET ..." alors qu'en entrée, tu dis "Les solutions de l'equation sont les x tels que .. OU ...".
Pourtant, c'est, à ce détail près, la meme phrase me semble-t-il.

C'est peut-être un détail pour toi, mais pour moi, ça veut dire beaucoup.

Tu peux aussi dire : les solutions de l'équation sont les x qui vérifient... ET les x qui vérifient...
Ce n'est pas la même chose que : [...] les x qui vérifient ... ET ... (qui serait alors faux).

Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.

(3x + 1)(2x - 1) = 0 <=> x = -1/3 ou x = 1/2 <=> x ‎∈ { -1/3 ; 1/2 }

Je dis parfois "et" quand je numérote les solutions : x_1 = -1/3 et x_2 = 1/2 ...

NéoTiT a écrit:Je comprends mais tu dis bien, en conclusion "Les solutions sont... ET ..." alors qu'en entrée, tu dis "Les solutions de l'equation sont les x tels que .. OU ...".
Pourtant, c'est, à ce détail près, la meme phrase me semble-t-il.

Oui mais ce détail change tout, à mon avis (mais je me trompe peut-être!)

il serait faux (dans le contexte) de dire:

"les bonnes chaussures sont les chaussures vérifiant la condition d'être noire ET d'être étanches"

alors que je pourrais dire

"les bonnes chaussures sont les noires ET les étanches"

quand je mets le "ET" je ne précise plus "les chaussures vérifiant" ce qui permet, en français, de "réunir" les deux solutions

je pense que je pourrais dire aussi

"les bonnes chaussures sont les chaussures noires et les chaussures étanches" (ce qui correspondrait à "les solutions sont x=-1/3 et x=1/2"

mais je ne pourrais pas dire

"les bonnes chaussures sont les chaussures noires ET étanches" (ce qui correspondrait à "les solutions sont x= -1/3 et 1/2" puisque x ne peut pas être égal aux deux valeurs à la fois^^)

Je pense que c'est plus un problème de "français" que de maths, j'en parle souvent aux élèves pour justifier le "Union" lorsque l'ensemble des solutions est une union d'intervalle, car c'est le même probme, on dira facilement en français (peut-être par abus de langage?) "les solutions sont composées de l'intervalle bidule ET de l'intervalle machin" et pourtant on écrit bien "S=...U....." car les x doivent appartenir à l'un OU l'autre des intervalles

Pour répondre à ta question initiale, je pense que le "mieux" est de trouver une rédaction qui est juste et qui te convienne, et que tu t'y tiennes, quitte à l'oral, selon les élèves que tu as (capables ou pas de saisir les nuances^^) de leur parler de l’ambiguïté du "et" et du "ou" entre le français et les maths

EDIT: Kioups a été bien plus clair que moi! Merci!

2) Les solutions de l'équation (3x + 1)(2x - 1) = 0 sont les nombres x tels que 3x + 1 = 0 et 2x - 1=0.

signifie que chacun des nombres x vérifie le système d'équations :
3x+1=0
2x-1=0

2) Les solutions de l'équation (3x + 1)(2x - 1) = 0 sont les nombres x tels que 3x + 1 = 0 ou 2x - 1=0

signifie que chacun des nombres x vérifie l'équation 3x+1=0 ou l'équation 2x-1=0.
Ces nombres sont donc -1/3 et 1/2.

Okay, je vois.
@ KioupsPBT:

KioupsPBT a écrit:Tu peux aussi dire : les solutions de l'équation sont les x qui vérifient... ET les x qui vérifient...
Ce n'est pas la même chose que : [...] les x qui vérifient ... ET ... (qui serait alors faux).

Dans la 1ère formulation, ce sont deux x différents (un pour chacune des équations) alors que dans la 2ème, c'est le même x qui vérifie deux équations, c'est ça ?

Trois questions me viennent :
1) Soit j'écris "les solutions de l'équation (3x + 1)(2x - 1) = 0 sont les nombres x tels que 3x + 1 = 0 ou 2x - 1=0", soit j'écris "Les solutions de l'équation (3x + 1)(2x - 1) = 0 sont les nombres x tels que 3x + 1 = 0 et les nombres tels que 2x - 1=0" mais les deux se valent ?
2) Une chose m'interpelle : on enseigne aux élèves que lorsqu'un x est dans une expression littérale, il désigne toujours le même nombre.
Pourtant, dans l'une ou l'autre des formulations, le x ne représente justement pas le même nombre.
3) Écririez-vous avec des 3ème : "Les solutions de l'équation (3x + 1)(2x - 1) = 0 sont les nombres x_1 et x_2 tels que 3x_1 + 1 = 0 et 2x_2 - 1 = 0" ?

1) Oui c'est ça.
2) x est une variable muette, car c'est l'inconnue d'une équation. A différencier d'un paramètre qui est une variable liée.
3) Non. Cependant cela se voit parfois, puisque ce sont des variables muettes, et que conséquemment on peut leur substituer une autre lettre. Je trouve cela cependant assez inélégant. Je préfère réserver x₁ et x₂ aux solutions, et non aux l'inconnues.

(3x + 1)(2x - 1) = 0
3x+1 = 0 ou 2x-1 = 0
x = -1/3 ou x = 1/2

Les solutions de l'équation sont x₁= -1/3 et x₂=1/2.

On comprend que le problème vient du sens du =

x₁ = -1/3 signifie une identité entre les deux termes, une égalité vraie.
(3x+1)(2x-1) = 0 ne signifie pas cela. Il s'agit d'un abus de langage qui signifie ((2x+1)(2x-1)=0), c'est donc une proposition logique qui est vraie ou fausse.

On pourrait écrire, pour expliciter ces distinctions entre les égalités, et peut-être pour mieux comprendre les rôles de ces "ou" et de ces "et" :
( (3x+1)(2x-1)=0 )<=>( (3x+1=0) ou (2x-1=0) )<=>( (x=-1/3) ou (x=1/2) )<=>( (x=x₁) ou (x=x₂) )
Avec x₁=-1/3 et x₂=1/2.