Les racines carrées au collège

neo-fit a écrit:Je pense que c'est le verbe "annuler" qui gênait Moonchild ainsi que le risque d'abuser de l'idée et de conclure trop rapidement que racine(a^2) est égal à a.
Pourquoi parler de puissance ½ alors que les règles de calcul sur les puissances au collège ne peuvent être justifiées que pour des puissances entières ?
Il me semble que la définition de la racine carrée (la racine du carré c'est son côté) suffirait pour expliquer le comportement carré/racine.
Je trouve ça super si vous arrivez à faire tout ça en 4ème, mais une séance seulement pour chaque notion proposée, je n'aurais pas l'impression d'avoir assez. En tous cas sincèrement chapeau si vous y arrivez (et vu vos autres interventions, cela ne m'étonnerait pas que vous y arriviez et efficacement).

C'est effectivement le verbe "annuler" qui me gênait car, en maths, il est quand même très lié à zéro et on a peut-être tendance à l'utiliser comme un raccourci abusif dans pas mal de situations (de la même manière que les élèves disent "c'est l'inverse" à peu près à chaque fois qu'il faudrait parler d'opposé, de contraire, de négation, de réciproque, etc...).

Sinon, je suis moi aussi réservé quant à l'usage de la puissance 1/2 au collège (et aussi au lycée). Bien sûr c'est un bon moyen de retenir les formules sur la racine carrée (mais surtout plus tard pour la dérivation) à condition que les élèves connaissent déjà les formules des puissances entières, ce qui, au lycée, y compris chez élèves de terminale S, n'est que rarement le cas : même ceux qui ne se plantent pas au moins une fois sur deux justifient souvent leurs calculs par "on distribue les puissances" (là aussi, c'est étonnant comme ils adorent distribuer tout et n'importe quoi) ; quant aux puissances négatives, c'est tout un poème, très peu sont capables d'en donner la définition, alors savoir les utiliser dans un calcul... Du coup, je suis suis pas persuadé que le passage par la puissance 1/2 soit d'un grand secours et je me demande même si ça ne va pas encore embrouiller davantage le peu que les élèves arrivent à retenir sur les puissances entières.
De plus mathématiquement, ça pose quand même un problème car ce sont les formules vérifiées par la racine carrée qui justifient la notation avec la puissance 1/2 et non pas l'inverse le contraire. D'ailleurs, si on définit de manière purement formelle la racine carré de x comme étant la puissance 1/2 de x, comment expliquer aux élèves que -3 puissance 5 et -3 puissance -5 existent alors que -3 puissance 1/2 n'existe pas (à part avec l'argument que la calculatrice affiche un message d'erreur) ?

Je viens de vérifier et dans les manuels de singapour (8A, donc correspondant à 5e chez nous), les exposants fractionnaires sont introduits, 1/2 pour racine carrée, 1/3 racine cubique, 1/n racine nième.

Et ils vont beaucoup plus loin que ce que je compte faire, il y a des calculs avec des puissances 4/3, -3/2, -7/6,... y compris avec des formules de puissances du genre simplifier d^-3/2 / d^-7/6

Pour ma part je compte juste introduire la racine carrée comme puissance 1/2.

pailleauquebec a écrit:Je viens de vérifier et dans les manuels de singapour (8A, donc correspondant à 5e chez nous), les exposants fractionnaires sont introduits, 1/2 pour racine carrée, 1/3 racine cubique, 1/n racine nième.

C'est intéressant, mais est-ce que ça ne s'adresse pas à des élèves qui, malgré leur jeune âge, maîtrisent les règles de calcul sur les puissances entières après les avoir auparavant beaucoup manipulées dans de nombreux exercices techniques ? Et surtout, comment les exposants fractionnaires sont-ils définis dans ces manuels ?

Oui, les exercices techniques sont assez nombreux dans les livres de Singapour.

Les puissances y sont introduites en 5e (dans le manuel 7A).
Les racines cubiques, nièmes,... et exposants fractionnaires en 4e (manuel 8A).

Elles sont introduites en disant que

r racine nième de a
r^n = a avec r>0

puis

a^1/n = racine nième de a

puis

a^m/n = racine nième de a^m

Le tout est expliqué de manière simple avec des exemples parlants et des exos techniques.

VinZT a écrit:
Cela dit, cela ne m'étonnerait pas qu'un IPR vienne dire qu'à l'instar des transformations (qui ne sont qu'un bouton de GeoGebra), les racines carrées ne sont qu'une touche de la calculatrice.

Mes souvenirs étaient exacts, j'ai retrouvé page numérotée 35 de http://www.cafepedagogique.net/lexpresso/Documents/docsjoints/programmecycle4.pdf, la racine carrée apparaissait une seule fois et dans la colonne Démarches, outils, exemples d’activités "Mise œuvre du théorème de Pythagore pour introduire la notion de racine carrée : valeur exacte ou valeur approchée obtenue à l’aide de la calculatrice"
Donc oui VinZT, il faut bien que quelqu'un se soit satisfait de cela pour le proposer en consultation.
Elle apparait 4 fois dans la version définitive et retrouve une définition (en préambule, deux fois dans nombres et grandeurs, dans croisements entre enseignements).

Bonsoir, Où peut-on trouver ces livres de Singapour ?
Merci.

pailleauquebec a écrit:Oui, les exercices techniques sont assez nombreux dans les livres de Singapour.

Les puissances y sont introduites en 5e (dans le manuel 7A).
Les racines cubiques, nièmes,... et exposants fractionnaires en 4e (manuel 8A).

Elles sont introduites en disant que

r racine nième de a
r^n = a avec r>0

puis

a^1/n = racine nième de a

puis

a^m/n = racine nième de a^m

Le tout est expliqué de manière simple avec des exemples parlants et des exos techniques.

celinesud a écrit:Bonsoir, Où peut-on trouver ces livres de Singapour ?
Merci.

À Singapour.
De rien.

Spoiler:

celinesud a écrit:Bonsoir, Où peut-on trouver ces livres de Singapour ?
Merci.

Les manuels du primaires ont été traduits à la librairie des écoles

Pour le secondaire,
Ils sont difficiles à trouver, car ils ne sont pas distribués en France.
Il y a deux ans Amazon ne les distribuait pas en france.

J'avais commandé là :
http://www.christianbook.com/dimensions-math-ccss-textbook-7a/9789814431767/pd/250567?event=ESRCG

Le site officiel singapore math :
http://www.singaporemath.com/