Définition première du produit scalaire

Bonjour à tous,

Depuis 2011, on voit dans les manuels de mathématiques de 1ère S cette définition apparaître en premier :




Le choix de cette définition d'entrée de jeu est très surprenant et me pose de sérieux problèmes pour introduire le produit scalaire à des élèves de Première qui n'en ont jamais entendu parler.

Avec cette définition donnée au départ

 

au moins, je pouvais leur trouver un exemple très parlant en Physique, celui de l'enfant qui tire une luge, et faire le lien avec le travail d'une force afin de leur donner une meilleure intuition du produit scalaire. C'est d'ailleurs comme ça que je l'ai appris il y a 20 ans, on avait fait le produit scalaire en Physique bien avant de le faire en Maths.

Et vous, par quelle définition préférez-vous commencer? Comment faites-vous avec vos élèves pour introduire le produit scalaire ? Vous le faites à l'ancienne avec le produit des normes et du cosinus de l'angle orienté ou vous suivez les nouveaux manuels ?

Par ailleurs, historiquement parlant, dans quel ordre les quatre définitions du produit scalaire sont-elles apparues ?

Salut,
je commence par AB²+AC²=BC² <=> ABC est rectangle en A,
puis je pose d=1/2(AB²+AC²-BC²) en appelant ça un défaut d'orthogonalité.
En passant par H projeté orthogonal de C sur (AB), et en distinguant trois cas de figure, tu élimines C de l'équation, d'où la forme avec le p.o. et celle avec le cosinus, et le lien du signe avec angle aigu/droit/obtus.
En te plaçant dans un repère orthonormé quelconque, tu obtiens la forme analytique (et tu justifies a posteriori le 1/2 qui permet de gérer les doubles produits.
Bien sûr on peut commencer par la forme avec le cosinus, surtout pour faire le lien avec la Physique ; disons que la façon de procéder que j'évoque ci-dessus permet de tout démontrer en une heure, ce qui est sympa.

Définir le produit scalaire par autre chose qu'un produit est pour le moins intrigant.

Pour moi 2 catégories de personnes : ceux qui pensent que le produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive ( au pire  u.v = xx'+yy' ) et les autres...
A partir du moment où l'on n'enseigne pas la vraie définition, comment dire, cela ne sert pas à grand chose de discuter ( à mon sens ):
il y a des pertes plus ou moins grande de sens et de compréhension à partir du moment où l'on ne prend plus l'originale. Et surtout de gros problème de généralisation.

Et oui, le définir par l'identité du parallélogramme c'est vraiment infâme!

Moi je fais comme Ben, et en 3h (soit entre le lundi matin et le mardi matin maxi), j'ai vu les 4 formules. donc certes les élèves ne le voient pas d'abord comme un produit (la 3ème heure) ni comme une forme bilinéaire définie symétrique positive (la 2ème heure), mais je ne pense pas que ça change grand chose... et la luge arrive dès la 3èm heure!
la forme analytique en 2nd, qui manque d'élégance, permet cependant de démontrer toutes les propriétés très rapidement.

Je commence par u.v = xx'+yy', ce qui permet, comme le souligne Avatar de Abysses, de démontrer toutes les propriétés facilement et proprement, en insistant bien sur la nécessité d'être dans un repère orthonormé. J'enchaîne sur les autres formules rapidement, la « définition » des manuels me semble anecdotique, je la mets en remarque. C'est aussi assez énervant de ne plus avoir la notion de projeté, on parle de pied de hauteur issue du point machin dans le triangle truc, c'est aberrant...

J'ai tourné le problème dans tous les sens et je ne vois pas comment s'y prendre autrement sans admettre des choses en cours de route et se retrouver face à des tautologies gênantes, même si je suis le seul à les trouver ainsi, la plupart des élèves n'ayant malheureusement aucun mal à admettre des choses...

Je trouve absurde qu'on mette dans ce chapitre les formules d'addition des fonctions trigonométriques qu'on prétend démontrer avec des propriétés admises sur le produit scalaire. Je les démontre avec un repère tourné, sans aucun intervention du produit scalaire mais seulement avec la définition de la notion de base et les notions de trigonométrie connues. Mais c'est une autre question.

Du coup tu traites ces formules avec le chapitre trigo ? c'est ce que propose le "Repères" il me semble. Je e tâte pour faire de même l'année prochaine.

Carrie7 a écrit:Du coup tu traites ces formules avec le chapitre trigo ? c'est ce que propose le "Repères" il me semble. Je e tâte pour faire de même l'année prochaine.

Oui, je maintiens un chapitre trigo solide, contre toutes les réformes, quitte à laisser tomber le chapitre échantillonnage par manque (prémédité ?) de temps.
Je mets en place la notion de fonction trigonométrique, ce qui est facile avec la définition des fonction cos et sin donnée par l'enroulement de la droite autour du cercle trigonométrique, mais je laisse la dérivation pour la TS.

et tu fais quoi avec les fonctions trigos ? tu as des applications sympas en première ?

Mes respects leskhal surtout pour la trigo.
Comme d'habitude on retire les "bons" concepts et ensuite forcément on s'arrache la tête pour les présenter correctement. Le pire je trouve c'est de mentir sciemment sur certaines définitions, en effet après j'ai des élèves dans le supérieur qui me demandent : "mais pourquoi on nous a mentit" ou "mais pourquoi on ne nous l'a pas expliquer directement de façon simple?".
Quand j'ai le temps, je leur explique en diagonale que le problème est très profond : grosso modo les profs doivent enseigner d'une certaine façon et ils ont une pression hiérarchique élevée...

Fibonacci a écrit:Bonjour à tous,

Depuis 2011, on voit dans les manuels de mathématiques de 1ère S cette définition apparaître en premier :

Voilà qui est bizarre. Tant qu'à définir le produit scalaire par une identité de polarisation, autant commencer par la plus courte :



Cela me paraît suffisamment absurde pour lancer le chapitre sur le produit scalaire de façon intéressante. On peut d'ailleurs reprendre le point de vue de ben2510, qui raisonne sur le défaut d'orthogonalité : si ABCD est un parallélogramme dirigé par les vecteurs et , lorsque les vecteurs et sont orthogonaux, les triangles ABC et ABD sont rectangles de sommets respectifs B et A, de cotés respectifs [AB] (commun aux deux triangles), [BC] et [AD], qui sont de même longueur, donc les carrés des hypoténuses [AC] et [BD] sont égaux, c'est à dire :



Certes, il est moins évident de vérifier que c'est une condition nécessaire d'orthogonalité; mais il y a matière à faire un peu de géométrie amusante à partir de cette identité ;-)

Avatar des Abysses a écrit:
Comme d'habitude on retire les "bons" concepts et ensuite forcément on s'arrache la tête pour les présenter correctement. Le pire je trouve c'est de mentir sciemment sur certaines définitions, en effet après j'ai des élèves dans le supérieur qui me demandent : "mais pourquoi on nous a mentit" ou "mais pourquoi on ne nous l'a pas expliquer directement de façon simple?".
Quand j'ai le temps, je leur explique en diagonale que le problème est très profond : grosso modo les profs doivent enseigner d'une certaine façon et ils ont une pression hiérarchique élevée...

Je ne pense pas qu'on «bon» concept oublié soit en cause. Le programme officiel est la référence ultime en la matière : il est d'une concision rafraîchissante, puisqu'il indique dans la colonne «Contenu», page 4 :

Définition, propriétés

en précisant (colonne «Capacités attendues») :

Calculer le produit scalaire de deux vecteurs par différentes méthodes :

- projection orthogonale ;

- analytiquement ;

- à l’aide des normes et d’un angle ;

- à l’aide des normes.

et commente (colonne «Commentaire»), en indiquant par un symbole bizarre que les deux propriétés doivent faire l'objet de «démonstration ayant valeur de modèle» pour reprendre le jargon de la page 2 :

Il est intéressant de démontrer l’égalité des expressions attachées à chacune de ces méthodes.

La démonstration du théorème de la médiane fournit l’occasion de travailler le calcul vectoriel en lien avec le produit scalaire.

Notez que le calcul par les identités de polarisation (calcul à l'aide des normes) est cité en dernier, alors que la projection orthogonale est le premier exemple de calcul proposé. On peut raisonnablement penser que les concepteurs du programme avaient en tête la définition géométrique usuelle du produit scalaire (et non la définition analytique en coordonnées, citée en deuxième position). Comme aucune définition officielle n'est donnée, chacun est naturellement libre de choisir parmi les quatre formules indiquée laquelle il choisit pour définir le produit scalaire. Il me semble cependant abusif de choisir pour définition la dernière formule proposée.

Quoi qu'il en soit, il convient de démontrer (par une démonstration ayant valeur de modèle) chacune des expressions citées à partir de la définition choisie.

Notez également que le mot «projection orthogonale» apparaît explicitement dans le programme, ce qui répond à l'objection de leskhal :

leskhal a écrit:
C'est aussi assez énervant de ne plus avoir la notion de projeté, on parle de pied de hauteur issue du point machin dans le triangle truc, c'est aberrant...

Parler de projeté n'est donc officiellement pas un gros mot, le terme apparaît dans le BO. Si les auteurs de manuels ne savent pas lire le BO, il convient tout de même de ne pas jeter la pierre aux concepteurs du programme.

Comme je n'ai pas de manuel de première S à disposition, quelques questions aux professeurs de première : le théorème de la médiane est il énoncé dans les manuels ? La démonstration est elle rédigée complètement pour cette propriété ? La relation : , qui doit faire l'objet d'une démonstration ayant valeur de modèle d'après le programme officiel, est elle énoncée dans les manuels ? Est elle démontrée ? Le cas échéant, la démonstration a-t-elle valeur de modèle ? Sinon, y a-t-il la moindre «démonstration ayant valeur de modèle» dans les manuels ?

Oui à toutes tes questions.

JPhMM a écrit:Définir le produit scalaire par autre chose qu'un produit est pour le moins intrigant.

Pas faux :lol:
Cependant la démarche que je propose (sans grande originalité) ne nécessite pas qu'on parle de produit scalaire dès le début, ni même de vecteurs d'ailleurs. J'irai même plus loin, il est souhaitable de ne pas avoir parlé de produit scalaire avant d'être arrivé à la forme avec le cosinus.
En PJ, la fiche que je donne à mes élèves en 1S (voire en fin de seconde pour les plus dégourdis). J'aime bien le travail sur l'élimination du point C dans le calcul de d, un peu d'algèbre ne fait jamais de mal. A noter, les mots "produit scalaire" n'apparaissent pas ; en réalité il s'agit d'un travail dans la continuité sur la condition analytique d'orthogonalité dans un repère orthonormé (en seconde ou en 1S, d'ailleurs, suivant les années).

http://dl.free.fr/nVVXjOBEH !!!! lien à ne pas cliquer, le copier/coller, si vous ne voulez pas vous retrouver sur ad.fly qui est un site vérolé qui détourne les liens sur néoprofs en ce moment

Je ne vois pas en quoi partir de la norme euclidienne pour arriver au produit scalaire n'est pas naturel dans l'axiomatique de la géométrie du collège : la distance entre deux points est déjà connue depuis belle lurette !

Pour ma part je procède comme ben2510 (et comme le Terracher).

Au passage, on a installé un module de formules mathématiques sur le forum ?

Carrie7 a écrit:et tu fais quoi avec les fonctions trigos ? tu as des applications sympas en première ?

C'est vrai que sans la dérivation, on n'en fait pas grand chose en tant que fonction à part l'interprétation de la parité et des diverses symétries des courbes à partir de la définition sur le cercle trigonométrique. Je fais souvent une séance sur la fonction tangente.

J'introduis le produit scalaire avec une activité sur le travail d'une force et la définition avec le cos

Je procède un peu comme Ben.

JPhMM a écrit:Définir le produit scalaire par autre chose qu'un produit est pour le moins intrigant.

Justement, c'est l'occasion de réfléchir au pourquoi de la dénomination "produit" : quels sont les comportements de cette opération qui font qu'on l'appelle "produit" plutôt qu'autre chose ?

Samuel DM a écrit:Au passage, on a installé un module de formules mathématiques sur le forum ?

Il n'y a pas de module mathématique : il suffit de cliquer sur une équation pour aboutir à un éditeur d'équation en ligne sur https://www.codecogs.com/eqnedit.php. A vous de comprendre comment l'utiliser ;-)

Miam!

Les premières années où je faisais ce niveau, je définissais le produit scalaire avec les normes, en lien avec la question de l'orthogonalité ; mais cela semblait tellement traumatiser certains élèves qu'ils me ressortaient cette définition à tout bout de champ, y compris - et surtout ? - lorsqu'elle ne servait à rien. En fait, cette formule réussit l'exploit d'être la moins utile en pratique à ce niveau tout en étant la plus ésotérique (la norme d'une somme ou d'une différence de deux vecteurs est un objet que les élèves d'aujourd'hui appréhendent très mal). Face à ce fiasco, j'ai dû réfléchir à un autre choix.

J'avais aussi constaté que la définition par projection orthogonale passait très mal, ce qui n'a rien de surprenant car la notion de projection n'a pas vraiment été étudiée auparavant donc on a un effet de "double nouveauté" (comme quand fait découvrir aux élèves la notion de limite lors de l'introduction du nombre dérivé) et concrètement j'avais observé que cette formule est une source d'erreurs à répétition chez beaucoup d'élèves qui l'appliquent en projetant les deux vecteurs sur une troisième direction. De plus, je trouve que, sans les mesures algébriques, la démonstration de la bilinéarité du produit scalaire à partir de cette définition est très fastidieuse (j'ai toujours trouvé très barbantes les démonstrations avec d'interminables disjonctions de cas suivant les positions respectives de divers points).

La formule du cosinus est intéressante pour sa simplicité et ses applications en physique, mais je n'ai pas trouvé de manière simple de démontrer la bilinéarité en partant de cette définition.

Il reste donc la formule analytique : initialement, ça m'embêtait un peu de proposer une définition qui semblait à première vue dépendre du choix du repère, mais finalement c'est celle que je trouve la plus commode à l'usage :
- elle permet d'en déduire assez simplement la bilinéarité ainsi que toutes les autres formules ;
- on peut l'introduire en lien avec l'orthogonalité, en exprimant les longueurs en fonction des coordonnées ;
- concrètement, c'est celle que les élèves utiliseront le plus en maths au niveau bac, en particulier dans sa version "espace" ;
- l'indépendance par rapport au choix du repère est très facile à démontrer a posteriori, ce qui lève l'écueil qui m'avait rebuté au départ.
Donc, adjugé-vendu pour la définition analytique.

ben2510 a écrit:

JPhMM a écrit:Définir le produit scalaire par autre chose qu'un produit est pour le moins intrigant.

Pas faux :lol:
Cependant la démarche que je propose (sans grande originalité) ne nécessite pas qu'on parle de produit scalaire dès le début, ni même de vecteurs d'ailleurs. J'irai même plus loin, il est souhaitable de ne pas avoir parlé de produit scalaire avant d'être arrivé à la forme avec le cosinus.
En PJ, la fiche que je donne à mes élèves en 1S (voire en fin de seconde pour les plus dégourdis). J'aime bien le travail sur l'élimination du point C dans le calcul de d, un peu d'algèbre ne fait jamais de mal. A noter, les mots "produit scalaire" n'apparaissent pas ; en réalité il s'agit d'un travail dans la continuité sur la condition analytique d'orthogonalité dans un repère orthonormé (en seconde ou en 1S, d'ailleurs, suivant les années).

http://dl.free.fr/nVVXjOBEH  !!!! lien à ne pas cliquer, le copier/coller, si vous ne voulez pas vous retrouver sur ad.fly qui est un site vérolé qui détourne les liens sur néoprofs en ce moment

Merci Ben pour cette fiche!

Avant d'être un produit, le produit scalaire est un nombre. Il ne faut pas sous-estimer cette difficulté : à des objets d'un certain type, on associe un objet d'un autre type.
cf. les difficultés pour traiter les lignes de niveau ( au temps où... )
En seconde, ils apprennent la colinéarité avec x.y-x'.y = 0
En première, ils apprennent l'orthogonalité avec x.x' + y.y' = 0, en insistant sur le fait que l'on a choisi de construire ce nombre parce qu'il permet de détecter l'orthogonalité.
En fait, je fais comme ça, pour ce cours :
Le ps est un nombre.
Le ps est un nombre construit à partir de deux vecteurs.
Le ps est un nombre construit à partir de deux vecteurs et qui dit si ces vecteurs sont orthogonaux.

( construit comme ben par 'défaut d'orthogonalité', quel terme doit-on annuler pour vérifier la relation de Pythagore.
C'est presque du 100% de réussite que de faire calculer OM ² + OM'² , puis MM'² et comparer l'écart. )
Tant qu'à faire des exercices sur les vecteurs, autant leur apprendre à faire des changements de repère.. Pour les 1% que ça concerne, on montre alors l'invariance du ps par changement de repère orthonormé. ( Oui, mais c'est quoi, un repère orthonormé ? pour quel ps ? ...)

Quant à utiliser le ps pour montrer les formules d'addition, c'est du sadisme. ( avec un repère tournant, oui, TB. )

Moonchild a écrit:Les premières années où je faisais ce niveau, je définissais le produit scalaire avec les normes, en lien avec la question de l'orthogonalité ; mais cela semblait tellement traumatiser certains élèves qu'ils me ressortaient cette définition à tout bout de champ, y compris - et surtout ? - lorsqu'elle ne servait à rien. En fait, cette formule réussit l'exploit d'être la moins utile en pratique à ce niveau tout en étant la plus ésotérique (la norme d'une somme ou d'une différence de deux vecteurs est un objet que les élèves d'aujourd'hui appréhendent très mal). Face à ce fiasco, j'ai dû réfléchir à un autre choix.

J'avais aussi constaté que la définition par projection orthogonale passait très mal, ce qui n'a rien de surprenant car la notion de projection n'a pas vraiment été étudiée auparavant donc on a un effet de "double nouveauté" (comme quand fait découvrir aux élèves la notion de limite lors de l'introduction du nombre dérivé) et concrètement j'avais observé que cette formule est une source d'erreurs à répétition chez beaucoup d'élèves qui l'appliquent en projetant les deux vecteurs sur une troisième direction. De plus, je trouve que, sans les mesures algébriques, la démonstration de la bilinéarité du produit scalaire à partir de cette définition est très fastidieuse (j'ai toujours trouvé très barbantes les démonstrations avec d'interminables disjonctions de cas suivant les positions respectives de divers points).

La formule du cosinus est intéressante pour sa simplicité et ses applications en physique, mais je n'ai pas trouvé de manière simple de démontrer la bilinéarité en partant de cette définition.

Il reste donc la formule analytique : initialement, ça m'embêtait un peu de proposer une définition qui semblait à première vue dépendre du choix du repère, mais finalement c'est celle que je trouve la plus commode à l'usage :
- elle permet d'en déduire assez simplement la bilinéarité ainsi que toutes les autres formules ;
- on peut l'introduire en lien avec l'orthogonalité, en exprimant les longueurs en fonction des coordonnées ;
- concrètement, c'est celle que les élèves utiliseront le plus en maths au niveau bac, en particulier dans sa version "espace" ;
- l'indépendance par rapport au choix du repère est très facile à démontrer a posteriori, ce qui lève l'écueil qui m'avait rebuté au départ.
Donc, adjugé-vendu pour la définition analytique.

Ça se défend, mais pourquoi ce xx'+yy' ?
Comment tu motives cette formule ?
Et tu prouves comment le lien entre le signe et l'angle obtus/droit/aigü ?
Je préfère attaquer par des longueurs (des normes de vecteurs mais sans le dire) en particulier la norme de la différence est l' "hypoténuse présumée", fondamentalement ce n'est qu'un approfondissement de quatrième.
Il est bien sûr possible ensuite de prendre la forme analytique comme définition, mais je préfère avoir démontré d'abord que les quatre formes ont la même signification.

Eh bien moi je trouve la définition avec les normes très naturelle.
Puisque (x+y)^2=x^2+2xy+y^2 on peut exprimer xy d'une manière qui introduit assez naturellement l'identité de polarisation.

Que ce ne soit pas la forme la plus utile au lycée, ok, mais ça n'en fait pas une mauvaise définition ; par exemple je suppose que vos élèves ne calculent pas la plupart des dérivées en revenant à la limite du taux de variation...