Domaine de dérivabilité.

Merci pour les exemples !
Enfin, on rentre dans le détail qui fait mal et qui fait du bien, plutôt que de rester sur des généralités (pas passionnantes àmha).

Fibonacci a écrit:

Fritz a écrit:Bonjour,

Je me pose une question, peut-on dire aux élèves de 1e (ES et S) que:

1/ "le domaine de dérivabilité d'une fonction est l'ensemble de définition de la fonction dérivée"?

2/ "le domaine de dérivabilité d'une fonction est l'intersection des domaines de dérivabilité des fonctions qui la composent"?

Merci!

1/ C'est vrai pour les polynômes, les fonctions rationnelles, mais il faut qu'ils fassent une phrase du genre : "La fonction f est dérivable sur tout son ensemble de définition en tant que polynôme / fonction rationnelle"

De façon générale, la somme, le produit, le quotient (à condition que le dénominateur ne s'annule pas) de deux fonctions dérivables est dérivable.

La seule épine, c'est la fonction racine pour laquelle le domaine de dérivabilité diffère du domaine de définition, et aussi la valeur absolue, mais cette fonction est de moins en moins étudiée.

épine, quelle épine ? De toute façon en ES par exemple, dans les énoncés, les ensembles d'étude indiqués ne posent aucun problème de dérivabilité ... les élèves me le disent tous les ans "mais madame, pas besoin de se fatiguer, suffit de mettre toujours la même phrase, l'ensemble qu'il nous donne va bien" J'ai beau leur dire qu'on ne sait jamais, et puis surtout il faut avoir l'habitude d'exercer son esprit critique, ils me regardent gentiment avec le sourire, pour me faire plaisir parce qu'ils m'aiment bien, mais n'en pensent pas moins ..
( en fait je me rends compte que je suis de plus en plus blasée par les programmes ... )

Merci à tous! En particulier à BR (j'ai fait mes études à Limoges ;-) ) qui est allé dans les détails.

Je précise à nouveau que dès le début j'ai relevé le fait que la phrase 2 était fausse (et je reconnais que le mot "composent" est mal choisi), donc c'était surtout finalement la phrase 1 qui m'intéressait.

Pour revenir au niveau 1ere concernant les domaines de dérivabilité:

_ Ils doivent simplement connaitre les domaines de dérivabilité des fonctions usuelles.
_ Savoir que la somme de 2 fonctions dérivables sur I est dérivable sur I.
_ Savoir que le produit de 2 fonctions dérivables sur I est dérivable sur I
_ Savoir que le quotient de 2 fonctions dérivables sur I est dérivables sur I privé des x tels que la fonction au dénominateur s'annule.

Mrs Hobie a écrit:

Fibonacci a écrit:

Fritz a écrit:Bonjour,

Je me pose une question, peut-on dire aux élèves de 1e (ES et S) que:

1/ "le domaine de dérivabilité d'une fonction est l'ensemble de définition de la fonction dérivée"?

2/ "le domaine de dérivabilité d'une fonction est l'intersection des domaines de dérivabilité des fonctions qui la composent"?

Merci!

1/ C'est vrai pour les polynômes, les fonctions rationnelles, mais il faut qu'ils fassent une phrase du genre : "La fonction f est dérivable sur tout son ensemble de définition en tant que polynôme / fonction rationnelle"

De façon générale, la somme, le produit, le quotient (à condition que le dénominateur ne s'annule pas) de deux fonctions dérivables est dérivable.

La seule épine, c'est la fonction racine pour laquelle le domaine de dérivabilité diffère du domaine de définition, et aussi la valeur absolue, mais cette fonction est de moins en moins étudiée.

épine, quelle épine ? De toute façon en ES par exemple, dans les énoncés,  les ensembles d'étude indiqués ne posent aucun problème de dérivabilité ... les élèves me le disent tous les ans "mais madame, pas besoin de se fatiguer, suffit de mettre toujours la même phrase, l'ensemble qu'il nous donne va bien" J'ai beau leur dire qu'on ne sait jamais, et puis surtout il faut avoir l'habitude d'exercer son esprit critique, ils me regardent gentiment avec le sourire, pour me faire plaisir parce qu'ils m'aiment bien, mais n'en pensent pas moins ..
( en fait je me rends compte que je suis de plus en plus blasée par les programmes ... )

Ils ont parfaitement raison et c'est quasiment la même chose en S : insister pour obtenir une justification académique de la dérivabilité d'une fonction alors que dans le cadre du programme on ne rencontre concrètement plus de cas de non-dérivabilité reste encore le meilleur moyen de persuader les élèves que les mathématiques sont l'art de méticuleusement en-culer les diptères (je viens de découvrir que le filtre du forum ne laisse pas passer en-culer sans le tiret   ). Les exigences de rédaction sur ce genre de points dont la difficulté mathématique a été évacuée des programmes ne permettent pas d'apprendre la rigueur ou l'esprit critique aux élèves, mais simplement l'obéissance à des conventions un peu absurdes. Le plus souvent, ils finissent par approximativement recracher une phrase qu'ils ont vaguement apprise sans vraiment en comprendre le sens, comme une formule magique qui, si elle est bien récitée, leur donnera des points au devoir.

En restant sur le même thème, est-ce, en 1eES et S, lors des études de variations avec des valeurs interdites est-ce que vous travaillez les notions "à gauche/droite de la valeur interdite"? Je ne trouve rien dans le programme.

Par exemple si on étudie le sens de variation de la fonction f(x)=(x-5)/(x²-4).
Autour de -2 et 2 on aura deux sens de variations identiques dans notre tableau, donc est-ce que vous travaillez sur les limites à gauche et à droite? (Je souhaiterais le faire, mais ça me parait vraiment à des années lumières de ce que peut comprendre ma classe de 1ES).

EDIT: Manifestement on n'en parle qu'en terminale... Donc on ne met pas -inf / +inf / 0 dans les tableaux de variations?

Pas de limites en première. En terminale uniquement des intervalle connexes.

Hélips a écrit:Pas de limites en première. En terminale uniquement des intervalle connexes.

Donc on ne met rien dans le tableau lorsque c'est +inf ou -inf ou 0? Ca ne me plait pas trop mais j'ai effectivement vu que les limites n'étaient abordées qu'en terminale.

Enfin, on a le droit de le mettre quand même, hein.

Fritz a écrit:

Hélips a écrit:Pas de limites en première. En terminale uniquement des intervalle connexes.

Donc on ne met rien dans le tableau lorsque c'est +inf ou -inf ou 0? Ca ne me plait pas trop mais j'ai effectivement vu que les limites n'étaient abordées qu'en terminale.

En terminale S seulement.
En TES on parle seulement de limites de suites.

La ruse, c'est de ne pas demander de tableau de variation sur autre chose qu'un gentil intervalle fermé. Ce qui, en ES, est souvent raisonnable au vu de l'habillage concret du problème.

Par contre, commencer à en parler doucement en prolongeant l'exercice avec les élèves, pourquoi pas.

Je mets les limites des fonctions usuelles dans les tableaux de variations, en disant aux élèves de seconde et première que ce n'est pas obligatoire pour eux.

Hélips a écrit:Pas de limites en première. En terminale uniquement des intervalle connexes.

Et, par ailleurs, je ne vois pas où le programme de TS demande que les fonctions dont on veut la limite en un point soient définies sur un intervalle.

Hélips a écrit:La ruse, c'est de ne pas demander de tableau de variation sur autre chose qu'un gentil intervalle fermé. Ce qui, en ES, est souvent raisonnable au vu de l'habillage concret du problème.

Par contre, commencer à en parler doucement en prolongeant l'exercice avec les élèves, pourquoi pas.

A mon avis l'essentiel est de fignoler la rédaction sur les limites de suites ("par produit", "par somme" ce genre de trucs).

pignolo a écrit:

Hélips a écrit:Pas de limites en première. En terminale uniquement des intervalle connexes.

Et, par ailleurs, je ne vois pas où le programme de TS demande que les fonctions dont on veut la limite en un point soient définies sur un intervalle.

Probablement parce que le programme de TS ne contient rien de tel.
Par contre en TES les études de fonctions se font sur un intervalle (connexe :lol: ).

mathmax a écrit:Je mets les limites des fonctions usuelles dans les tableaux de variations, en disant aux élèves de seconde et première que ce n'est pas obligatoire pour eux.

Tout pareil, avec en plus la position du problème et une preuve.
P.ex pour x² en plus l'infini, en développant (x-1)²>=0 on a x² >= 2x-1, donc avec A fixé quelconque, x>(A+1)/2 => 2x-1 >A => x²>A par transitivité.
En général je commence avec des valeurs numériques pour A, avant d'abstraire. Ça permet aussi de bosser CN et CS.

Moonchild a écrit:Les exigences de rédaction sur ce genre de points dont la difficulté mathématique a été évacuée des programmes ne permettent pas d'apprendre la rigueur ou l'esprit critique aux élèves, mais simplement l'obéissance à des conventions un peu absurdes. Le plus souvent, ils finissent par approximativement recracher une phrase qu'ils ont vaguement apprise sans vraiment en comprendre le sens, comme une formule magique qui, si elle est bien récitée, leur donnera des points au devoir.

Oui... Quand je lis cette discussion sur ces nouveaux programmes de Maths, je comprends mieux le niveau incroyablement faibles des étudiants en Physique dans le supérieur depuis 3 ans. En fait, ils n'ont juste rien compris aux notions de maths de lycée (comme par exemple les limites, la dérivation, etc.) qu'on utilise ensuite allègrement en Physique. Ils ont juste appris par cœur des "phrases magiques qui donnent les points à tous les coups". Cette réforme est profondément désespérante et nuisible pour l'avenir de la France.

Petite anecdote :

Spoiler:

Moonchild a écrit:

Mrs Hobie a écrit:

Fibonacci a écrit:

Fritz a écrit:Bonjour,

Je me pose une question, peut-on dire aux élèves de 1e (ES et S) que:

1/ "le domaine de dérivabilité d'une fonction est l'ensemble de définition de la fonction dérivée"?

2/ "le domaine de dérivabilité d'une fonction est l'intersection des domaines de dérivabilité des fonctions qui la composent"?

Merci!

1/ C'est vrai pour les polynômes, les fonctions rationnelles, mais il faut qu'ils fassent une phrase du genre : "La fonction f est dérivable sur tout son ensemble de définition en tant que polynôme / fonction rationnelle"

De façon générale, la somme, le produit, le quotient (à condition que le dénominateur ne s'annule pas) de deux fonctions dérivables est dérivable.

La seule épine, c'est la fonction racine pour laquelle le domaine de dérivabilité diffère du domaine de définition, et aussi la valeur absolue, mais cette fonction est de moins en moins étudiée.

épine, quelle épine ? De toute façon en ES par exemple, dans les énoncés,  les ensembles d'étude indiqués ne posent aucun problème de dérivabilité ... les élèves me le disent tous les ans "mais madame, pas besoin de se fatiguer, suffit de mettre toujours la même phrase, l'ensemble qu'il nous donne va bien" J'ai beau leur dire qu'on ne sait jamais, et puis surtout il faut avoir l'habitude d'exercer son esprit critique, ils me regardent gentiment avec le sourire, pour me faire plaisir parce qu'ils m'aiment bien, mais n'en pensent pas moins ..
( en fait je me rends compte que je suis de plus en plus blasée par les programmes ... )

Ils ont parfaitement raison et c'est quasiment la même chose en S : insister pour obtenir une justification académique de la dérivabilité d'une fonction alors que dans le cadre du programme on ne rencontre concrètement plus de cas de non-dérivabilité reste encore le meilleur moyen de persuader les élèves que les mathématiques sont l'art de méticuleusement en-culer les diptères (je viens de découvrir que le filtre du forum ne laisse pas passer en-culer sans le tiret   ). Les exigences de rédaction sur ce genre de points dont la difficulté mathématique a été évacuée des programmes ne permettent pas d'apprendre la rigueur ou l'esprit critique aux élèves, mais simplement l'obéissance à des conventions un peu absurdes. Le plus souvent, ils finissent par approximativement recracher une phrase qu'ils ont vaguement apprise sans vraiment en comprendre le sens, comme une formule magique qui, si elle est bien récitée, leur donnera des points au devoir.

Assez d'accord avec cela : en TS, je traite bien un cas de fonction a priori non dérivable en 0 (genre xracine(x)) et qui en fait l'est par étude du taux de variation, mais je me demande vraiment qui me suit dans cette subtilité qui ne sera plus utilisée de l'année.
Avec la disparition de la notion de limite en Première, il me semble que toutes les fonctions sont dérivables sur leur ensemble de définition : j'entends par là que c'est l'essentiel pour un élève de TS.
Il n'y a qu'à voir à quel point les MPSI ne sont pas conscients de ce problème avant d'aborder le sujet en taupe pour voir que la notion n'a été, ou pas abordée en TS, ou abordée par le prof mais comprise seulement de lui...

Très clairement, justifier la dérivabilité d'une fonction à partir de son expression n'est pas un attendu du programme de TS.
Il me semble que le mieux que nous puissions faire, en TS, est de donner régulièrement des fonctions un peu plus fourbes du type de celles que BR a proposées un peu plus haut.

Justement non, mon opinion est que ce n'est pas le "mieux a faire" : les TS ont tellement de mal à dériver une fonction basique et à étudier le signe de cette dérivée qu'il me semble presque contre-productif (au sens prématuré) d'aborder trop d'études de fonctions exotiques.
Ça me déprime d'arriver a penser cela mais il faut bien s'adapter !

Igniatius a écrit:Justement non, mon opinion est que ce n'est pas le "mieux a faire" : les TS ont tellement de mal à dériver une fonction basique et à étudier le signe de cette dérivée qu'il me semble presque contre-productif (au sens prématuré) d'aborder trop d'études de fonctions exotiques.
Ça me déprime d'arriver a penser cela mais il faut bien s'adapter !

:lol: :lol: :lol:
Tout dépend de ce que tu appelles une fonction basique !
Les miens sont bien au point sur les TSD

Spoiler:

Que pensez-vous de la fonction comme exemple en 1e S ?
On y voit que la fonction est dérivable sur lorsque l'on applique le théorème de la dérivée du produit de deux fonctions, mais qu'elle est bien dérivable en 0 lorsque l'on calcule la limite du tx d'accroissement de f en 0.

Oui, c'est l'exemple déjà donné deux fois : il est classique et intéressant pour de bons élèves mais j'avoue ne plus en voir l'intérêt en 1S.
JE veux juste qu'ils pigent bien ce qu'est une dérivée avant d'aller s'intéresser à des subtilités locales.

Mais la subtilité locale permet de mettre en perspective la platitude globale, non ?

ben2510 a écrit:Mais la subtilité locale permet de mettre en perspective la platitude globale, non ?

Tu veux dire que si l'étude de la dérivée est nulle, alors tout tombe à plat ?

francois75 a écrit:Que pensez-vous de la fonction comme exemple en 1e S ?
On y voit que la fonction est dérivable sur lorsque l'on applique le théorème de la dérivée du produit de deux fonctions, mais qu'elle est bien dérivable en 0 lorsque l'on calcule la limite du tx d'accroissement de f en 0.

Il y a un théorème dit « de prolongement par continuité » qui permet d'assurer que si une fonction est continue et dérivable de dérivée continue sur un intervalle ]a,b[ (a et b deux réels), alors la dérivée existe en a et en b.

ernestin a écrit:Il y a un théorème dit « de prolongement par continuité » qui permet d'assurer que si une fonction est continue et dérivable de dérivée continue sur un intervalle ]a,b[ (a et b deux réels), alors la dérivée existe en a et en b.

Ben non : sqrt(x) par exemple.