Besoin de votre expérience : comment expliquer cette technique de calcul ?

Ne riez pas. Une fois c'est une collègue (suant les TICE par tous les pores) qui est venue me dire "l'ordinateur , il a dit que". Alors j'ai fait le calcul à la main, comme un bon matheux en sandales. "Oui, mais l'ordinateur il a dit que."

Epilogue: Il y avait une erreur dans le programme.

34cruger a écrit:Merci,

Pour les fractions avec les parts de tarte, comment associer ton interprétation géométrique "1/2=2/4" avec le nombre "0,5": that's the question!! je veux dire, conceptuellement tu associes une proportion et un nombre, c'est bizarre. En plus la fraction c'est une division, donc il n'y a au fond "rien" de plus qu'un nombre. Franchement je me demande si ça ne serait pas mieux de ne JAMAIS parler de cette interprétation géométrique... je dis peut être des bêtises ici mais pour moi, ce n'est pas clair.

Pour les nombres relatifs, idem: cette histoire d'opérateurs, quand tu leur sors ça, tu crois que c'est limpide, qu'ils vont comprendre tout de suite. Eh bien non, je n'ai pas assez d'expérience mais ils sont assez éberlués, et peu comprennent, car il faut partir d'un point non fixe qui en plus peut être négatif, et ça ne marche pas pour la soustraction de nombres négatifs en plus!... non, le problème avec tout ça, c'est qu'ils ne conçoivent pas qu'on peut descendre en dessous de 0: c'est impossible pour eux (et pour nous jusqu'à il y a pas si longtemps, 1800 et quelques?), ils ne savent pas comment conceptualiser une dette (-3 billes, -4 bonbons, ça n'existe pas pour eux). Donc pas de miracle: c'est super dur! et je cherche donc des images plus parlantes, mais il n'y a peut être pas mieux que ces ascenseurs, billes, bonbons et autres niveaux par rapport à la mer.

Pour les fractions à relier aux décimaux : tu prend un segment-unité "épais" et tu leur demande d'en prendre 2/5 (donc de partager en 5 et d'en surligner 2 parts), miracle, on tombe sur la graduation 0,4... Et l'explication est que si tu prends 2/5 de 1, tu fais 1 divisé par 5 (pour avoir 1/5 de 1), puis multiplié par 2 (pour avoir 2/5) ; tu expliques ensuite que 1 / 5 * 2 c'est bien pareil que 2 / 5.

Pour les relatifs, je n'ai jamais trouvé mieux que les ascenseurs, les marches à monter-descendre, et les gains et pertes d'argent, parce que c'est vraiment à ça que ça correspond, à des déplacements ou gains-pertes.
Pour la soustration c'est du par coeur... mais pour ceux qui veulent comprendre tu peux faire calculer : 5 -3, puis 5-2, puis 5-1, puis 5-0, puis 5-(-1)... pour que ça complète logiquement la suite.
Un moyen mathématiquement plus rigoureux est de passer par l'addition à trou (donc une équation), à condition de savoir qu'une addition à trou se résout par une soustraction, ce qui n'est dans les faits accessible qu'aux meilleurs... : (-2) + ... = 3, la solution est évidemment 5 et on a donc 5 = 3 - (-2)

Merci.

Et si un élève me dit:
- "Monsieur, on coupe en 3 votre baguette (un rectangle au tableau) et on en prend une part, ça fait 1/3.
- Mais si je calcule 1:3, je trouve un nombre qui n'existe pas (car il est infini, on les a appelé réels, dieu sait pourquoi!!)
Comment cela se fait-il qu'on a d'un côté qqc de très concret qu'on peut construire facilement et "parfaitement", et de l'autre qqc de totalement abstrait?"

Autrement dit, vos exemples de fraction (pire: fraction décimale) tombent pile... le problème c'est que ça n'arrive "presque jamais" chez les fractions!

PS: je me souviens de la chimie au lycée et des puissances de 10, quelle noyade! et j'ai eu un bac TB. Je crois qu'il ne faut pas être trop exigeant avec les élèves, ils demandent avant tout des outils (une recette est un outil) et de la mise en confiance (dès qu'ils ont un truc sûr, ils le gardent et ça leur plait d'avoir un truc sûr: ils préfèrent une recette sûre qu'un truc élaboré pas sûr car compliqué). L'écriture scientifique est "difficile", si tu donnes la recette avec les puissances "tu fais moins quand il y a une division", tu peux la garder jusqu'à avoir Polytechnique, sans trop de souci. Je ne veux pas polémiquer mais il y en a dans ce fil qui formeraient tous des ulmiens s'ils réussissaient tout ce qu'ils disent! tant mieux, mais bon, peut on avoir des exigences maximales à tous les niveaux, je ne sais pas. Merci encore pour vos réponses qui vont m'aider... et j'essaye de garder des exigences pour vous pauvres profs du lycée (je vous comprends)!

34cruger a écrit: Et si un élève me dit:
- "Monsieur, on coupe en 3 votre baguette (un rectangle au tableau) et on en prend une part, ça fait 1/3.
- Mais si je calcule 1:3, je trouve un nombre qui n'existe pas (car il est infini, on les a appelé réels, dieu sait pourquoi!!)

Tout ça est quand même rapide, j'ai l'impression, parce que ce nombre n'est pas infini (son développement décimal est illimité, ça oui), c'est bizarre de dire qu'il n'existe pas, et si c'est un réel, certes, ce n'est pas plus simple et plus économe de dire qu'il appartient à ℚ ou que c'est un rationnel ?

Après, je ne suis pas apte à suggérer des solutions aux perplexités occasionnées chez les élèves par l'existence de nombres dont le développement décimal est illimité, ce n'est pas mon domaine. (Passer à une autre base ? j'imagine que ça pourrait bien ne faire qu'embrouiller davantage...)

Bon, sinon, je crois aussi qu'Ulm, en maths, c'est encore un poil plus difficile que ça

34cruger a écrit:Mais si je calcule 1:3, je trouve un nombre qui n'existe pas

Un nombre n'a pas besoin d'avoir une écriture décimale pour exister (ou bien alors on peut considérer qu'aucun nombre n'"existe"...)
1/3 est une quantité extrêmement concrète.
Une telle question de la part d'un élève est une excellente occasion de mettre le doigt sur le fait qu'une fraction est un outil pour représenter des nombres, un outil très concret justement, pas un caprice pour ulmiens ou je ne sais quoi.

Pat B a écrit:Pour la soustration c'est du par coeur... mais pour ceux qui veulent comprendre tu peux faire calculer : 5 -3, puis 5-2, puis 5-1, puis 5-0, puis 5-(-1)... pour que ça complète logiquement la suite.
Un moyen mathématiquement plus rigoureux est de passer par l'addition à trou (donc une équation), à condition de savoir qu'une addition à trou se résout par une soustraction, ce qui n'est dans les faits accessible qu'aux meilleurs... : (-2) + ... = 3, la solution est évidemment 5 et on a donc 5 = 3 - (-2)

Voilà la discussion que j'évoquais plus tôt, avec trois idées concrètes (un jeu de l'oie, un jeu avec des pierres noires et blanches et un film) pour présenter la soustraction de relatifs : https://www.neoprofs.org/t70102-une-activite-complete-pour-decouvrir-la-soustraction-des-nombres-relatifs

Oui je suis un peu provocateur, mais je maintiens:
- qu'on a inventé les nombres "réels" mais qu'il aurait été plus juste de les appeler irréels, là je crois que tout le monde sera d'accord, car ils n'ont justement rien de réel
- et que pour les élèves de collège, un nombre tel que 1:3=0,33333... me semble inconcevable (c'est là que je voulais l'avis de profs expérimentés s'ils avaient "observé" ou pas cela, mais c'est un peu tiré par les cheveux)

Bon c'est un détail pour nos élèves... peut être! si vous dites tous que oui, alors oui .

je regarderai ton lien sur nbres relatifs, merci.

L'élève confond certaines choses. Il est impossible d'écrire 1/3 sous forme décimale avec un nombre fini de chiffres. Heureusement, il existe d'autres bases dans lesquelles ce nombre s'écrit avec un nombre fini d'éléments de cette base. La conclusion : je trouve un nombre qui n'existe pas, me parait abusive. Je demanderai a cet élève, mais au fait c'est quoi la définition d'un nombre, pour pouvoir affirmer que ce n'en ai pas un. Je ne me mouille pas trop en affirmant qu'aucun élève ne connait la définition exacte d'un nombre Tous ne sont pas familiers avec l'axiomatique de Péano... ( quel dommage ).

Irréels ( imaginaires ). La séparation rationnel / irrationnel me parait plus logique :
rationnel grosso modo pour un élève: nombre qui peut s'écrire sous forme de ratio ( fraction )
irrationnel : nombre qui ne peut pas s'écrire sous cette forme.

Pour les irrationnels, les élèves doivent faire un petit acte de foi, pour ceux qui seraient réticent, il existe toujours les suites de héron pour approximer les racines carrées ( pour les nombres transcendants c'est une autre histoire ).

34cruger a écrit:Oui je suis un peu provocateur, mais je maintiens:
- qu'on a inventé les nombres "réels" mais qu'il aurait été plus juste de les appeler irréels, là je crois que tout le monde sera d'accord, car ils n'ont justement rien de réel
- et que pour les élèves de collège, un nombre tel que 1:3=0,33333... me semble inconcevable (c'est là que je voulais l'avis de profs expérimentés s'ils avaient "observé" ou pas cela, mais c'est un peu tiré par les cheveux)

Avec des collégiens la question ne s'est pas posée, donc j'en reviens à mon expérience avec des enfants plus jeunes, pour qui un nombre non entier est une mesure.
Un enfant mesure sa trousse avec son double décimètre. Il trouve 18cm.
S'il veut être plus précis, il regarde les millimètres (donc la fraction d'un centimètre partagé en dix parts égales), il trouve 18,2.
Il peut très bien imaginer ce qui se passerait avec une loupe et une gradation dix fois plus fine. Déjà là sans loupe, il peut me dire que c'est "environ à la moitié du deuxième milimètre, donc environ 18,25".
Et si on avait un microscope, et des graduations à ce niveau là ? L'enfant voit très bien qu'on pourrait continuer longtemps à chercher quelle est la mesure exacte, en avançant de plus en plus dans la suite des décimales.

Ici, la mesure de la trousse, un nombre décimal que l'on peut concevoir infiniment précis, est le nombre réel.
18,25, le joli nombre décimal qui tombe juste, n'est qu'une représentation approximative de ce nombre réel.

Comme 0,33 n'est qu'une grossière approximation d'un tiers, alors qu'un tiers est une idée finalement bien plus simple à concevoir. Même si elle ne peut pas s'afficher sur un écran de calculette.

Pat B a écrit:
Pour les relatifs, je n'ai jamais trouvé mieux que les ascenseurs, les marches à monter-descendre, et les gains et pertes d'argent, parce que c'est vraiment à ça que ça correspond, à des déplacements ou gains-pertes.
Pour la soustration c'est du par coeur... mais pour ceux qui veulent comprendre tu peux faire calculer : 5 -3, puis 5-2, puis 5-1, puis 5-0, puis 5-(-1)... pour que ça complète logiquement la suite.
Un moyen mathématiquement plus rigoureux est de passer par l'addition à trou (donc une équation), à condition de savoir qu'une addition à trou se résout par une soustraction, ce qui n'est dans les faits accessible qu'aux meilleurs... : (-2) + ... = 3, la solution est évidemment 5 et on a donc 5 = 3 - (-2)

Il m'est arrivé d'avoir de vrais réfractaires, qui ne comprenaient pas, qui pensaient à une astuce et que je filoutais...
A filoutage, filoutage et demi: je leur ai présenté ainsi

(+5) - (-3) = (+5) + 0 - (-3) = (+5) + (+3) + (-3) - (-3) = (+5) + (+3) + 0 = (+5) + (+3) niark

Dw4rF_Naheulbeuk a écrit:

Pat B a écrit:
Pour les relatifs, je n'ai jamais trouvé mieux que les ascenseurs, les marches à monter-descendre, et les gains et pertes d'argent, parce que c'est vraiment à ça que ça correspond, à des déplacements ou gains-pertes.
Pour la soustration c'est du par coeur... mais pour ceux qui veulent comprendre tu peux faire calculer : 5 -3, puis 5-2, puis 5-1, puis 5-0, puis 5-(-1)... pour que ça complète logiquement la suite.
Un moyen mathématiquement plus rigoureux est de passer par l'addition à trou (donc une équation), à condition de savoir qu'une addition à trou se résout par une soustraction, ce qui n'est dans les faits accessible qu'aux meilleurs... : (-2) + ... = 3, la solution est évidemment 5 et on a donc 5 = 3 - (-2)

Il m'est arrivé d'avoir de vrais réfractaires, qui ne comprenaient pas, qui pensaient à une astuce et que je filoutais...
A filoutage, filoutage et demi: je leur ai présenté ainsi

(+5) - (-3) = (+5) + 0 - (-3) = (+5) + (+3) + (-3) - (-3) = (+5) + (+3) + 0 = (+5) + (+3) niark

C'est de cette manière que je le présente, dès le début  

Tiens, oui, je l'ai fait aussi comme ça autrefois, à mes débuts... mais j'avais oublié, ça fait un bail que je n'ai plus de 5ème... Et quand je me suis retrouvé récemment avec des 4ème qui bloquaient dessus j'avais oublié cette explication.

BrindIf a écrit:

34cruger a écrit:Oui je suis un peu provocateur, mais je maintiens:
- qu'on a inventé les nombres "réels" mais qu'il aurait été plus juste de les appeler irréels, là je crois que tout le monde sera d'accord, car ils n'ont justement rien de réel
- et que pour les élèves de collège, un nombre tel que 1:3=0,33333... me semble inconcevable (c'est là que je voulais l'avis de profs expérimentés s'ils avaient "observé" ou pas cela, mais c'est un peu tiré par les cheveux)

Avec des collégiens la question ne s'est pas posée, donc j'en reviens à mon expérience avec des enfants plus jeunes, pour qui un nombre non entier est une mesure.
Un enfant mesure sa trousse avec son double décimètre. Il trouve 18cm.
S'il veut être plus précis, il regarde les millimètres (donc la fraction d'un centimètre partagé en dix parts égales), il trouve 18,2.
Il peut très bien imaginer ce qui se passerait avec une loupe et une gradation dix fois plus fine. Déjà là sans loupe, il peut me dire que c'est "environ à la moitié du deuxième milimètre, donc environ 18,25".
Et si on avait un microscope, et des graduations à ce niveau là ? L'enfant voit très bien qu'on pourrait continuer longtemps à chercher quelle est la mesure exacte, en avançant de plus en plus dans la suite des décimales.

Ici, la mesure de la trousse, un nombre décimal que l'on peut concevoir infiniment précis, est le nombre réel.
18,25, le joli nombre décimal qui tombe juste, n'est qu'une représentation approximative de ce nombre réel.

Comme 0,33 n'est qu'une grossière approximation d'un tiers, alors qu'un tiers est une idée finalement bien plus simple à concevoir. Même si elle ne peut pas s'afficher sur un écran de calculette.

J'aurais un peu la même idée : si on prend une droite graduée, on divise le segment correspondant à l'unité entre 3 parties de même longueur, ce qui permet de placer un point correspondant au nombre 1/3 (qui a donc une signification bien concrète).
En ajoutant les graduations des dixièmes, on s'aperçoit que ce point se trouve entre les graduations 0,3 et 0,4 (plus près du 0,3).
En ajoutant les graduations des centièmes, avec une loupe, on s'aperçoit que ce point se trouve entre les graduations 0,33 et 0,34 (plus près du 0,33).
En ajoutant les graduations des millièmes, avec un loupe plus puissante, on s'aperçoit que ce point se trouve entre les graduations 0,333 et 0,334 (plus près du 0,333).
En ajoutant les graduations des dix-millièmes, avec un loupe encore plus puissante, on s'aperçoit que ce point se trouve entre les graduations 0,3333 et 0,3334 (plus près du 0,3333).
Et ainsi de suite... en fait, on peut aller aussi loin qu'on veux dans l'infiniment petit, ce point représentant 1/3 sera toujours situé entre deux graduations (exactement au tiers de la distance entre elles).

romain2203 a écrit:Comme je disais à mes élèves de première S : "La trigonométrie permet de séparer les gens bons en maths des gens qui savent se servir de la calculatrice".

On peut remplacer trigonométrie par géométrie, ça reste vrai.
C'est sans doute pourquoi il n'y a plus de géométrie, tous les élèves ne doivent pas se découvrir bons, ils sont égaux dans la médiocrité, sans espoir d'en décoller. Quel gâchis !

Pour les fractions, je n'ai jamais autant parlé de gâteau que cette année, en TS comme en TSTI2D. Pour montrer ce que signifie additionner 1/2 et 1/4, sans passer par des 1/8e, par exemple...

Pour les dérivées ou la primitives avec les puissances, notamment négatives, je n'ai jamais autant parler d'ascenseurs.

Je ne sais pas quoi inventer pour les parenthèses, elles sont devenues ingérables.

Je pense que la prochaine réforme va supprimer les fractions et les racines carrées, nous n'utiliseront plus que les réels, ou plutôt leurs approximations par la calculatrice, et les logiciels de calcul formel pour les calculs de dérivées ou d'intégrales, et les conjectures feront office de démonstration, et on se reposera devant la connerie institutionnelle. Orwell power !

ycombe a écrit:

littleJulie a écrit:Je m'éloigne un peu de la demande de base, mais pour U = R x I (et toutes les autres formules du même genre, comme P=UxI), je montre aussi le truc du triangle :


On inscrit la formule dans le triangle, sans le signe égal, mais avec un trait pour séparer les 2 niveaux. Le trait servira pour symboliser la division.
On cache ce qu'on cherche, et on effectue l'opération visible. Si je cherche I, je le cache : il reste U / R, et ainsi de suite pour les 2 autres.
[/spoiler]

Quand on en est à montrer ce genre de «trucs» pour remplacer un truc aussi basique qu'isoler une des variables dans une formule simple, c'est qu'on est en train de creuser en dessous du fond pour descendre encore plus bas.

Le ministère fournit les marteaux piqueurs en diminuant encore un peu les exigences en calcul algébrique dans les programmes. Il espère qu'à force de creuser, on va trouver du pétrole faute de pouvoir avoir des idées.

Je suis bien d'accord avec votre première remarque mais pas du tout avec la seconde. Le programme attend par exemple que nous partions de vt=d dans les problèmes de vitesses mais peu d'entre-nous le font, résolution d'équation et d'inéquation en 4° et en 3°. Or c'est à force de répétitions que ces difficultés de calculs se surmontent, d'ailleurs un entrainement quotidien (de qq minutes) à cet exercice produit ces effets...
Comme la lecture à double sens d'une égalité et l'acceptation de l'inconnue isolée à droite (ex: si a=x/b alors ab=x l'inconnue est présentée isolée à droite, la multiplication de chaque membre par b reste plus visible).
Le produit en croix peut permettre de conforter l'élève dans son résultat final mais il est vrai qu'ils ont bcp de mal à le quitter et à apprendre autre chose tant ils l'affectionnent.
Une autre méthode est particulièrement maîtrisée des élèves pour résoudre ax=b "que faisiez vous au primaire pour trouver le trou dans une multiplication à trou..." ça marche bien!
Le produit en croix (au programme de 4°) a été enseigné à ma fille en 6° (dans une bonne 6°) maintenant elle se trompe une fois sur deux dans les pb de proportionnalité, j'en veux bcp à cette prof... qui heureusement n'est plus en fonction.

Ca, j'ai moi aussi tendance à hurler quand je vois un parent, un ergo ou autre parler du produit en croix en 6ème-5ème (encore plus quand c'est un prof, sans doute non titulaire ou débutant). L'objectif dans ces classes est de mettre en avant la logique multiplicative de la proportionnalité, qui sera indispensable ensuite pour parler fonction, entre autres... Le produit en croix n'est qu'une astuce pour aller plus vite dans les calculs, certes rudement pratique, donc quand ils croient le connaître ils se précipitent dessus. Et quelques mois plus tard, ils l'appliquent de travers (voire l'appliquent hors situation de proportionnalité).

Sinon, ma formation maths/physique me fait partir, non de d=vt, mais de v=d/t, que je trouve beaucoup plus facile à mémoriser (on retrouve l'autre par un produit en croix... mais en 4ème, ils ont le droit !)

Misère, quand je pense qu'avec leurs programmes par cycle ils vont peu à peu flinguer toute cette progressivité si importante... ça me déprime...