"Expliquer" la division par zéro ?

Samuel DM a écrit:

Igniatius a écrit:Que l'on dise que le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur me semble plus relever de la convention, pour ne pas s'ennuyer a discriminer des cas peu interessants en calcul vectoriel. Mais ce n'est pas ici une nécessité.

Non c'est une conséquence de la définition de la colinéarité. Pour tout vecteur u, 0 appartient à la droite vectorielle Vect(u) donc 0 est colinéaire à tout vecteur de l'espace ambiant.

Pour ce qui est de la division, elle n'est pas, à ma connaissance, définie comme une opération en tant que telle, mais plutôt comme il l'a été dit, comme la multiplication par l'inverse. Donc pour pouvoir diviser par a, il faut que a ait un inverse, ce qui n'est pas le cas pour 0. Le seul moment où on parle de division, c'est lorsqu'on construit le corps des fraction d'un anneau intègre A pour obtenir Q ou K(X) par exemple, et on définit bien l'inverse pour toute fraction a/b avec a et b dans A*.

Dans vos tentatives de justification, il est beaucoup question de définitions et de conséquences de définitions. J'en reviens à ma conviction profonde : en quoi tout ceci est-il non-conventionnel, autrement dit naturel ? Lorsque x tend vers 0, 1 est la limite de la fonction 1/1+x car, "à la limite", 1/1+0 = 1. Alors, qu'est-ce qui empêche de dire que, lorsque x tend vers 0, la fonction 1/x tend vers ±∞ car 1/0 = ±∞ ? Vous invoquez la cohérence du système. Bon, je rappelle quand même que, d'après le second théorème de Gödel, la cohérence d'un système formel supérieur à l'arithmétique de Peano (en gros, l'ensemble N doté de la fonction "successeur") n'est jamais démontrable dans le système lui-même. Ce qui veut dire que, pour établir cette cohérence, il faut faire appel à un système plus puissant, un méta-système en quelque sorte. Derechef, en quoi ce recours est-il autre que conventionnel ?

Samuel DM a écrit:Pour ce qui est des élèves, je pense qu'il faut effectivement définir a/b comme le nombre qui, multiplié par b donne a.

Ceci est valable dans Q (par définition !) mais pas dans R. Si C est la circonférence et D le diamètre d'un cercle, C/D = π. Mais si vous définissez la division comme la converse de la multiplication, comment vous y prenez-vous pour "multiplier" π par D pour, in fine, obtenir C ?

Le pb, c'est que plus ou moins l'infini n'est pas un réel...


Je ne comprends pas la dernière question a la première lecture.

Cathy Linton a écrit:
Ceci est valable dans Q (par définition !) mais pas dans R. Si C est la circonférence et D le diamètre d'un cercle, C/D = π. Mais si vous définissez la division comme la converse de la multiplication, comment vous y prenez-vous pour "multiplier" π par D pour, in fine, obtenir C ?

Comme pour tous les réels: la construction de l'ensemble des réels définit une telle multiplication.

Samuel DM a écrit:Pour ce qui est des élèves, je pense qu'il faut effectivement définir a/b comme le nombre qui, multiplié par b donne a.

Ceci est valable dans Q (par définition !) mais pas dans R. Si C est la circonférence et D le diamètre d'un cercle, C/D = π. Mais si vous définissez la division comme la converse de la multiplication, comment vous y prenez-vous pour "multiplier" π par D pour, in fine, obtenir C ?[/quote]

Honnêtement je n'y ai pas vraiment réfléchi. S'il fallait le faire, j'aurais probablement construit la multiplication sur R comme le prolongement continu de la multiplication dans Q. Pour déterminer les développements décimaux des irrationnels explicitement, il faudrait utiliser le développement décimal. Dans votre exemple, on pourrait approcher Pi avec le développement décimal de la circonférence.

Je ne suis pas du tout spécialiste, que pensez-vous de cette construction ?

Samuel DM a écrit:
Honnêtement je n'y ai pas vraiment réfléchi. S'il fallait le faire, j'aurais probablement construit la multiplication sur R comme le prolongement continu de la multiplication dans Q.

Il y a deux constructions classiqes de R: les coupures de Dedekind et les suites de Cauchy. La construction de la multiplication diffère dans les deux cas:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Construction_des_nombres_r%C3%A9els

Ah oui, maintenant il faut expliquer qu'on ne peut pas diviser par 0... Impressionnant, vraiment.

ycombe a écrit:

Samuel DM a écrit:
Honnêtement je n'y ai pas vraiment réfléchi. S'il fallait le faire, j'aurais probablement construit la multiplication sur R comme le prolongement continu de la multiplication dans Q.

Il y a deux constructions classiqes de R: les coupures de Dedekind et les suites de Cauchy. La construction de la multiplication diffère dans les deux cas:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Construction_des_nombres_r%C3%A9els

ycombe a écrit:

Cathy Linton a écrit:
Ceci est valable dans Q (par définition !) mais pas dans R. Si C est la circonférence et D le diamètre d'un cercle, C/D = π. Mais si vous définissez la division comme la converse de la multiplication, comment vous y prenez-vous pour "multiplier" π par D pour, in fine, obtenir C ?

Comme pour tous les réels: la construction de l'ensemble des réels définit une telle multiplication.

D'où son caractère conventionnel (qui dit "construction" dit "convention").

Seifer a écrit:Ah oui, maintenant il faut expliquer qu'on ne peut pas diviser par 0... Impressionnant, vraiment.

Si "expliquer" consiste à donner une raison, alors tout va bien : il suffit de dire (en choisissant son vocabulaire pour l'adapter aux facultés de compréhension de ses élèves) qu'il existe une convention ("les hommes sont convenus que ...") en ce sens. Mais si "expliquer" veut dire "fonder", alors mon sentiment est que l'on s'embarque dans des difficultés redoutables (cf. les échanges ci-dessus). Et qu'accessoirement, on perd beaucoup de temps et on encourage le scepticisme ("et pourquoi ceci ?", "et pourquoi cela ?", " et m'dame, est-ce qu'on pourrait pas gnagnagna gnagnagna ?").

J'adore encourager le scepticisme. On n'est pas au catéch'.

Cathy Linton a écrit:

ycombe a écrit:

Samuel DM a écrit:
Honnêtement je n'y ai pas vraiment réfléchi. S'il fallait le faire, j'aurais probablement construit la multiplication sur R comme le prolongement continu de la multiplication dans Q.

Il y a deux constructions classiqes de R: les coupures de Dedekind et les suites de Cauchy. La construction de la multiplication diffère dans les deux cas:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Construction_des_nombres_r%C3%A9els

ycombe a écrit:

Cathy Linton a écrit:
Ceci est valable dans Q (par définition !) mais pas dans R. Si C est la circonférence et D le diamètre d'un cercle, C/D = π. Mais si vous définissez la division comme la converse de la multiplication, comment vous y prenez-vous pour "multiplier" π par D pour, in fine, obtenir C ?

Comme pour tous les réels: la construction de l'ensemble des réels définit une telle multiplication.

D'où son caractère conventionnel (qui dit "construction" dit "convention").

On montre quand même que les deux ensembles construits comme cela sont isomorphes. Les propriétés des réels sont surtout posés par l'idée qu'on s'en fait à priori, comme celle de nombres pouvant représenter l'écoulement du temps (chez Euler il me semble). Les constructions des nombres à partir de ∅ sont postérieures à la fixation des propriétés des réels. Les opérations sur les réels ne sont conventionnelles que dans une théorie axiomatique, mais elles correspondent à un besoin réel pour aborder certaines questions physiques.

C'est beau les maths, quand même. Une sorte de monde à part, à la fois logique et mystérieux.

Voilà. Je retourne préparer mon cours sur la répartition de la population mondiale.

Justement, il n'est pas si à part que cela. C'est même ce qui n'en finit pas d'étonner.

Cathy Linton a écrit:

ycombe a écrit:

Samuel DM a écrit:
Honnêtement je n'y ai pas vraiment réfléchi. S'il fallait le faire, j'aurais probablement construit la multiplication sur R comme le prolongement continu de la multiplication dans Q.

Il y a deux constructions classiqes de R: les coupures de Dedekind et les suites de Cauchy. La construction de la multiplication diffère dans les deux cas:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Construction_des_nombres_r%C3%A9els

ycombe a écrit:

Cathy Linton a écrit:
Ceci est valable dans Q (par définition !) mais pas dans R. Si C est la circonférence et D le diamètre d'un cercle, C/D = π. Mais si vous définissez la division comme la converse de la multiplication, comment vous y prenez-vous pour "multiplier" π par D pour, in fine, obtenir C ?

Comme pour tous les réels: la construction de l'ensemble des réels définit une telle multiplication.

D'où son caractère conventionnel (qui dit "construction" dit "convention").

Seifer a écrit:Ah oui, maintenant il faut expliquer qu'on ne peut pas diviser par 0... Impressionnant, vraiment.

Si "expliquer" consiste à donner une raison, alors tout va bien : il suffit de dire (en choisissant son vocabulaire pour l'adapter aux facultés de compréhension de ses élèves) qu'il existe une convention ("les hommes sont convenus que ...") en ce sens. Mais si "expliquer" veut dire "fonder", alors mon sentiment est que l'on s'embarque dans des difficultés redoutables (cf. les échanges ci-dessus). Et qu'accessoirement, on perd beaucoup de temps et on encourage le scepticisme ("et pourquoi ceci ?", "et pourquoi cela ?", " et m'dame, est-ce qu'on pourrait pas gnagnagna gnagnagna ?").

Ce n'est pas que j'aime discuter les détails, mais peut-on vraiment dire que "construction=convention" ?
Moi je dirais non, mais c'est peu étayé de ma part.
L'interdiction de diviser par 0 ne relève pas d'une convention, mais d'une nécessité, autant nécessaire par la construction de R que par les propriétés "naturelles" que l'on prête à ce corps.
On ne PEUT PAS faire autrement que d'interdire cette division.

Pour moi, la seule "convention" que je m'autorise d'autorité (oui cette phrase est moche) est le fait que le carré de i vaut -1 : ne pouvant pas l'expliquer rigoureusement en TS, je leur assène en leur disant que c'est une convention. (et qu'elle va être promise à un bel avenir ! ).

Je ne suis pas un mathématicien, mais ce n'est même pas une question d'interdiction, c'est quelque chose qui ressort du logique, non ?

Le premier moteur dans la construction des nombres usuels est la mesure des grandeurs.

On peut toujours imaginer des cadres différents mais c'est dans une certaine intention.

Lorsque l'intention d'une certaine construction n'est pas directement accessible à Kiki, on peut l'aiguiller à son niveau et si Kiki est un peu sur sa faim, il vivra avec. Un peu d'appétit ne nuit pas.

En fait...:

Seifer a écrit:Je ne suis pas un mathématicien, mais ce n'est même pas une question d'interdiction, c'est quelque chose qui ressort du logique, non ?

Oui oui, c'est ce que je dis depuis le début.

Igniatius a écrit:On ne PEUT PAS faire autrement que d'interdire cette division.

Réflexion d'un profane.

Dire que la question n'est pas d'interdire cette division, mais plutôt que cette division n'a pas de résultat (ou simplement que c'est impossible), ne serait-ce une manière de mettre tout le monde d'accord - d'une manière par ailleurs cohérente ?

kero a écrit:

Igniatius a écrit:On ne PEUT PAS faire autrement que d'interdire cette division.

Réflexion d'un profane.

Dire que la question n'est pas d'interdire cette division, mais plutôt que cette division n'a pas de résultat (ou simplement que c'est impossible), ne serait-ce une manière de mettre tout le monde d'accord - d'une manière par ailleurs cohérente ?

C'est cela : la division par zéro supposerait que 0 admet un inverse pour la multiplication.
Or, c'est impossible.
Donc la division par zéro n'est pas possible.

Igniatius a écrit:

kero a écrit:

Igniatius a écrit:On ne PEUT PAS faire autrement que d'interdire cette division.

Réflexion d'un profane.

Dire que la question n'est pas d'interdire cette division, mais plutôt que cette division n'a pas de résultat (ou simplement que c'est impossible), ne serait-ce une manière de mettre tout le monde d'accord - d'une manière par ailleurs cohérente ?

C'est cela : la division par zéro supposerait que 0 admet un inverse pour la multiplication.
Or, c'est impossible.
Donc la division par zéro n'est pas possible.

Ben en fait si, c'est possible ; mais alors ça limite un peu le champ d'activité des mathématiques.
Supposons que, tout en conservant les propriétés usuelles de la multiplication et de l'addition, le nombre 0 admette un inverse pour la multiplication et appelons-le z pour faire joli ; on a alors 0*z=1 par définition de l'inverse pour la multiplication que je note * pour ne pas la confondre avec la lettre x.
Maintenant pour n'importe quel nombre réel x, on a de manière évidente x=1*x par définition de 1 et comme 1=0*z (c'est écrit juste au-dessus), on en déduit que x=(0*z)*x et, par associativité de la multiplication, x=0*(z*x) ce qui donne finalement x=0 (puisque pour n'importe que nombre a, on trouve forcément 0*a=0 à moins de renoncer à la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition étant donné que 0*a=(1-1)*a=1*a-1*a=a-a=0 pour ceux qui en douteraient). Du coup n'importe quel nombre réel est nul.
Bref, ce fameux 0 a bel et bien le droit d'avoir un inverse par la multiplication sans même qu'on ait à se priver des sympathiques propriétés usuelles des opérations, mais pour cela il faut "simplement" que ce 0 soit seul au monde. C'est sûr qu'avec un ensemble de nombres réduit à un seul et unique élément, les maths seront beaucoup plus simples, mais on risque alors de ne pas aller bien loin.

Outch.

kero a écrit:Outch.

Non, faut pas s'affoler. Voici une version encore moins rigoureuse mais peut-être un peu plus accessible du post précédent.

Si on pouvait diviser par 0, alors on pourrait en particulier calculer 1/0 et le résultat de cette division serait ce que j'ai appelé z un peu plus haut.
Comme z=1/0 alors on a 0*z=1 après un petit tour de prestidigitation du genre : z=a/b lorsque b*z=a (mais il vaut mieux l'écrire proprement avec des traits de fractions bien horizontaux pour que ça fasse son effet sur le public).

Du coup, pour n'importe quel nombre x, on trouve successivement que :
x=1*x     (le rôle de 1 est d'être inutile dans une multiplication, et c'est même à ça qu'on le reconnaît)
x=0*z*x     (vu que 1 c'est aussi 0*z, mais là je ne me suis pas embarrassé avec les parenthèses)
x=0*un_autre_nombre     (cet autre nombre, c'est z*x ; mais maintenant on s'en fiche un peu)
x=0     (une des caractéristiques du 0, c'est qu'il révèle son égocentrisme à la moindre multiplication).

En conclusion, n'importe quel nombre choisi dans le vaste ensemble des réels est forcément 0 ; il n'y en a pas d'autre. La morale de l'histoire, c'est que si le 0 veut pouvoir aller se balader en dessous d'un trait de fraction, alors il faut qu'il se trouve un petit royaume où il règnera tout seul en maître absolu.

C'est d'ailleurs ce à quoi reviennent les remarques de la vidéo (voire même celle d'ycombe page 1), même si la démonstration est mignonne. On peut bien sûr appeler ça une « convention » (ça n'engage pas à grand'chose, à ce niveau), mais elle est intouchable sans modifier (et considérablement) d'autres conventions.

Moonchild a écrit:

Igniatius a écrit:

kero a écrit:

Réflexion d'un profane.

Dire que la question n'est pas d'interdire cette division, mais plutôt que cette division n'a pas de résultat (ou simplement que c'est impossible), ne serait-ce une manière de mettre tout le monde d'accord - d'une manière par ailleurs cohérente ?

C'est cela : la division par zéro supposerait que 0 admet un inverse pour la multiplication.
Or, c'est impossible.
Donc la division par zéro n'est pas possible.

Ben en fait si, c'est possible ; mais alors ça limite un peu le champ d'activité des mathématiques.
Supposons que, tout en conservant les propriétés usuelles de la multiplication et de l'addition, le nombre 0 admette un inverse pour la multiplication et appelons-le z pour faire joli ; on a alors 0*z=1 par définition de l'inverse pour la multiplication que je note * pour ne pas la confondre avec la lettre x.
Maintenant pour n'importe quel nombre réel x, on a de manière évidente x=1*x par définition de 1 et comme 1=0*z (c'est écrit juste au-dessus), on en déduit que x=(0*z)*x et, par associativité de la multiplication, x=0*(z*x) ce qui donne finalement x=0 (puisque pour n'importe que nombre a, on trouve forcément 0*a=0 à moins de renoncer à la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition étant donné que 0*a=(1-1)*a=1*a-1*a=a-a=0 pour ceux qui en douteraient). Du coup n'importe quel nombre réel est nul.
Bref, ce fameux 0 a bel et bien le droit d'avoir un inverse par la multiplication sans même qu'on ait à se priver des sympathiques propriétés usuelles des opérations, mais pour cela il faut "simplement" que ce 0 soit seul au monde. C'est sûr qu'avec un ensemble de nombres réduit à un seul et unique élément, les maths seront beaucoup plus simples, mais on risque alors de ne pas aller bien loin.

Oui non mais c'est marrant ton truc, mais on sort de l'ensemble des réels et on travaille dans un anneau réduit à {0} : pour tout anneau non trivial, 0 et 1 sont distincts, donc bon, comme même quelqu'un qui n'a jamais entendu parler de Dedekind sait que les entiers naturels 2 et 3 sont distincts, et que l'ensemble des naturels est inclus dans R, il vient que R ne peut être réduit à {0}.
Donc c'est bien une nécessité, pas une convention.

Et, si on a envie de rire, on regarde la droite projective réelle.

Igniatius a écrit:Oui non mais c'est marrant ton truc, mais on sort de l'ensemble des réels et on travaille dans un anneau réduit à {0} : pour tout anneau non trivial, 0 et 1 sont distincts, donc bon, comme même quelqu'un qui n'a jamais entendu parler de Dedekind sait que les entiers naturels 2 et 3 sont distincts, et que l'ensemble des naturels est inclus dans R, il vient que R ne peut être réduit à {0}.
Donc c'est bien une nécessité, pas une convention.

On est bien d'accord là-dessus, mais en rebondissant sur ton message, je tentais d'expliquer à des non-spécialistes se posant la question que si on considère comme une priorité absolue que de pouvoir diviser par 0, alors on peut finalement trouver un moyen d'y arriver... mais cela implique de faire de très gros sacrifices - en l'occurrence, si on ne veut pas lâcher du leste sur les règles opératoires, il faut drastiquement réduire la population des nombres avec lesquels on a le droit de travailler. De manière imagée, celui qui veut à tout prix diviser par 0 dans l'ensemble des réels s'apprête à provoquer un véritable génocide numérique.

verdurin a écrit:Et, si on a envie de rire, on regarde la droite projective réelle.

Là, on va tourner en rond.

ycombe a écrit:
Là, on va tourner en rond.

C'est clair. Et si on veut encore plus rire on regarde la droite projective complexe. On vit sur une surface homotope, en gros.