"Expliquer" la division par zéro ?

Bonjour

Depuis quelques temps, je me demande comment je pourrais expliquer à mes élèves de 6ème "qu'il est interdit de diviser par zéro".
Je pense m'inspirer de cette vidéo:

ou encore d'un extrait du livre Petits et grands mystères des maths de Anna Cerasoli pour ceux qui connaisent.

Et vous? Comment avez-vous fait ?

J'ai eu un débat à ce sujet récemment avec un copain : je suis très intéressé également par vos réponses !

La vidéo explique bien, à la fin tu peux refaire la même chose avec eux, avec un autre nombre ou en utilisant réellement des objets, sinon on peut demander aux élèves de faire une division par zéro avec leur calculatrice, elle affiche "error". Mais tes élèves sont peut-être têtus 

Je fais comme la video.

Si on monte un peu, dans un anneau l'élément neutre de l'addition est absorbant pour la multiplication. La division se définit comme la multiplication par l'inverse. La question est donc: pourquoi l'élément absorbant n'a t-il pas d'inverse?

Supposons que 0 ait un inverse a. On aurait en même temps 0×a = 1 par définition de l'inverse, et 0×a = 0 puisque 0 est absorbant. C'est impossible.

Oui, j'aime mieux emmener les élèves vers l'inverse de la multiplication avec une exclusion de zéro (sans parler de loi bien sûr) que les conforter dans l'idée de division/partage qui n'est parlante que dans N*, dans D+* à la limite lorsqu'on a beaucoup d'imagination.

En effet, lorsqu'on ne partage pas le tas de quatorze crayons, il reste bien quatorze crayons, l'intuition nous dit que la réponse est donc quatorze, alors que la vérité est qu'il n'y a pas de réponse à une question qui ne peut pas se poser.

Je renverse donc toujours cette division par zéro vers la multiplication qui y serait associée (0 fois 14 = 14) et qui met l'élève en face d'une contradiction.

Zéro divisé par zéro ne se rencontre jamais au collège, pourquoi chercher les ennuis? N'y a-t-il pas des choses qu'il vaut mieux passer sous silence plutôt que  mal donc pas les expliquer?

Tazon a écrit:lorsqu'on ne partage pas le tas de quatorze crayons, il reste bien quatorze crayons, l'intuition nous dit que la réponse est donc quatorze, alors que la vérité est qu'il n'y a pas de réponse à une question qui ne peut pas se poser.

Merci pour cette précision. Cela ne m'avait pas sauté aux yeux.

Tazon a écrit:
Zéro divisé par zéro ne se rencontre jamais au collège, pourquoi chercher les ennuis? N'y a-t-il pas des choses qu'il vaut mieux passer sous silence plutôt que  mal donc pas les expliquer?

C'est vrai. Mais on ne sait jamais... Un élève pourrait poser la question!

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essaie peut-être de la faire poser, en 14 combien de fois zéro comme on disait avant...une?, deux?...ce qu'on veut en fait...

Marounette a écrit:

Tazon a écrit:
Zéro divisé par zéro ne se rencontre jamais au collège, pourquoi chercher les ennuis? N'y a-t-il pas des choses qu'il vaut mieux passer sous silence plutôt que  mal donc pas les expliquer?

C'est vrai. Mais on ne sait jamais... Un élève pourrait poser la question!

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Ça m'est arrivé. Sur le mode je-pose-des-questions-pour-faire-perdre-du-temps. La réponse fut brève: on ne peut pas définir une telle opération, que ce soit en collège ou en master.

A mon avis, des sixième ne peuvent pas comprendre, en raison de leur développement.
Peut-être en fin d'année scolaire ...

J'ai développe le thème pour des cinquième, sans préparation préalable et voici comment je l'ai traité :

D'abord, j'ai rappelé que la division était une répartition en parts égales.

Or, cela n'a aucun sens de répartir un nombre en parts égales à zéro.
(je suis conscient que mon explication ne répond pas à 0/0, mais je suis passé outre).

Mais que se passe-t-il si la part est très proche de zéro ?
(j'ai passé sous silence la question du signe).

En faisant un croquis :
1/1 = 1
1/0,5 = 2
1/0,1 = 10
1/0,01 = 100
1/ presque 0 = un chiffre très grand
....

Conclusion :

1/0 est impossible car :
* d'une part on ne peut pas arriver à diviser un chiffre en parties égales à zéro,
* et d'autre part, si c'était possible en approchant de zéro, le résultat serait très grand (infini).

J'ai rapproché cette notion de celle de surface, que nous avions abordé en géométrie :
les objets on une surface, qu'il est possible d'effleurer, sans toucher l'objet. Il en va de même avec le zéro, qui est une construction abstraite, vers laquelle ont tend, mais qu'il est difficile d'atteindre. Dans les deux cas, qu'on s'approche du zéro ou qu'on le touche, il est impossible de diviser par zéro.

J'avoue avoir également pensé à l'explication algébrique, mais j'y ai renoncé, pensant que les élèves n'étaient pas prêts.

Je trouve que la meilleure explication est de revenir à la définition de la division comme inverse de la multiplication : 8/2 est le nombre qui, multiplié par 2, donne 8.
Si on l'applique à x/0 on voit tout de suite le problème car n'importe quoi multiplié par 0 donnera un résultat différent de x, si celui-ci est non nul.

Je tente aussi la répartition concrète d'un tas de billes entre 0 personnes : les élèves voient le problème et l'impossibilité.

Le plus simple me semble en effet de revenir à la définition :
avec des nombres, dire que a/b=c signifie que a=bc et voir que ça coince si b=0.

Après, si on veut faire de la géométrie projective, pourquoi pas, mais c'est sans doute ambitieux pour nos élèves.

ycombe a écrit:pourquoi l'élément absorbant n'a t-il pas d'inverse?

Que régurgiterait-il ?

Plus sérieusement, mais sans mathématiques : comment concevoir l'action de diviser par rien ? Diviser en un, je vois bien, même si c'est une complication inutile par rapport garder tout. Mais diviser par rien, est-ce que cela a un sens ?

C'est curieux, ça ! Pourquoi faudrait-il justifier l'interdiction de diviser par zéro ? La division est une loi de composition interne dans R* (l'ensemble des réels privé de zéro), voilà tout. C'est par convention que l'on a exclu  la division par O. Après tout, on aurait pu lui assigner la valeur "infini". Est-ce moins "sensé" que de donner la valeur i à la racine carrée de -1 dans le corps des complexes (C) ? La division (au sens algébrique) n'est pas un partage : partager quelque chose en deux, trois ou cent parts égales, cela fait sens, mais "partager en zéro part", c'est un non-sens. Est-ce que diviser la circonférence d'un cercle par pi pour trouver son diamètre cela équivaut à  la partager en pi parts égales ? Déjà, Bachelard considérait que le mythe de l'analogie entre le monde micro-physique (celui des physiciens) et le monde macro-physique (celui du commun des mortels) est un obstacle épistémologique. Alors, entre le monde macro-physique et le "monde" mathématique ... Les "bons en maths" ne sont-ils pas ceux qui ne se préoccupent pas de chercher une analogie entre les lois mathématiques et les lois physiques ?

Ce n'est pas une convention : c'est une conséquence de la définition de la division comme multiplication par l'inverse ds l'anneau des réels.
Et c'est ce qui entraîne que 0 n'admet d'inverse ds aucun anneau.
Il y a donc bien, pour moi, une justification.
D'autre part, qd un élève pose cette question, il faut lui répondre.

Je suis pour le formalisme ms il faut tenir compte du public.

Et l'analogie avec les complexes n'est pas valide : la définition de i permet d'effectuer des calculs en restant cohérent, ce que l'inverse de 0 ne permettrait guère facilement.

Sauf en analyse non standard, ms c'est ardu.

Igniatius a écrit:Ce n'est pas une convention : c'est une conséquence de la définition de la division comme multiplication par l'inverse ds l'anneau des réels.
Et c'est ce qui entraîne que 0 n'admet d'inverse ds aucun anneau.
Il y a donc bien, pour moi, une justification.
D'autre part, qd un élève pose cette question, il faut lui répondre.

Je suis pour le formalisme ms il faut tenir compte du public.

Bon, d'accord. Mais, à supposer que la "conséquence d'une définition" ne soit pas une convention bien que la définition, elle, le soit, c'est cela même la justification. Et non pas les tortillements sémantiques que l'on voit sur la vidéo ! Par ailleurs, lorsqu'un élève pose une question, évidemment, il faut lui répondre. Mais dire que c'est une convention est une réponse. Que répondriez-vous à un enfant qui demanderait pourquoi, aux échecs, on ne prend jamais le roi ?

"Est-ce moins "sensé" que de donner la valeur i à la racine carrée de -1 dans le corps des complexes (C)"

"la définition de i permet d'effectuer des calculs en restant cohérent"

à condition justement de ne par écrire i= "racine" de -1 comme définition il me semble

Cathy Linton a écrit:

Igniatius a écrit:Ce n'est pas une convention : c'est une conséquence de la définition de la division comme multiplication par l'inverse ds l'anneau des réels.
Et c'est ce qui entraîne que 0 n'admet d'inverse ds aucun anneau.
Il y a donc bien, pour moi, une justification.
D'autre part, qd un élève pose cette question, il faut lui répondre.

Je suis pour le formalisme ms il faut tenir compte du public.

Bon, d'accord. Mais, à supposer que la "conséquence d'une définition" ne soit pas une convention bien que la définition, elle, le soit, c'est cela même la justification. Et non pas les tortillements sémantiques que l'on voit sur la vidéo ! Par ailleurs, lorsqu'un élève pose une question, évidemment, il faut lui répondre. Mais dire que c'est une convention est une réponse. Que répondriez-vous à un enfant qui demanderait pourquoi, aux échecs, on ne prend jamais le roi ?

Je ne suis pas d'accord : c'est une nécessité pour que les règles de calculs ds l'anneau des réels soient cohérentes.
Enfin il me semble bien que l'on ne peut rien poser comme valeur conventionnelle de 1/0 ss tomber sur des incohérences évidentes.

Que l'on dise que le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur me semble plus relever de la convention, pour ne pas s'ennuyer a discriminer des cas peu interessants en calcul vectoriel. Mais ce n'est pas ici une nécessité.

D'autres avis ?

Cathy Linton a écrit:

Igniatius a écrit:Ce n'est pas une convention : c'est une conséquence de la définition de la division comme multiplication par l'inverse ds l'anneau des réels.
Et c'est ce qui entraîne que 0 n'admet d'inverse ds aucun anneau.
Il y a donc bien, pour moi, une justification.
D'autre part, qd un élève pose cette question, il faut lui répondre.

Je suis pour le formalisme ms il faut tenir compte du public.

Bon, d'accord. Mais, à supposer que la "conséquence d'une définition" ne soit pas une convention bien que la définition, elle, le soit, c'est cela même la justification. Et non pas les tortillements sémantiques que l'on voit sur la vidéo ! Par ailleurs, lorsqu'un élève pose une question, évidemment, il faut lui répondre. Mais dire que c'est une convention est une réponse. Que répondriez-vous à un enfant qui demanderait pourquoi, aux échecs, on ne prend jamais le roi ?

Mais on peut prendre le roi, sinon, il n'y a pas de jeu
C'est juste que le jeu s'arrête au coup d'avant.

Igniatius a écrit:Que l'on dise que le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur me semble plus relever de la convention, pour ne pas s'ennuyer a discriminer des cas peu interessants en calcul vectoriel. Mais ce n'est pas ici une nécessité.

Non c'est une conséquence de la définition de la colinéarité. Pour tout vecteur u, 0 appartient à la droite vectorielle Vect(u) donc 0 est colinéaire à tout vecteur de l'espace ambiant.

Pour ce qui est de la division, elle n'est pas, à ma connaissance, définie comme une opération en tant que telle, mais plutôt comme il l'a été dit, comme la multiplication par l'inverse. Donc pour pouvoir diviser par a, il faut que a ait un inverse, ce qui n'est pas le cas pour 0. Le seul moment où on parle de division, c'est lorsqu'on construit le corps des fraction d'un anneau intègre A pour obtenir Q ou K(X) par exemple, et on définit bien l'inverse pour toute fraction a/b avec a et b dans A*.

Pour ce qui est des élèves, je pense qu'il faut effectivement définir a/b comme le nombre qui, multiplié par b donne a.

Samuel DM a écrit:

Igniatius a écrit:Que l'on dise que le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur me semble plus relever de la convention, pour ne pas s'ennuyer a discriminer des cas peu interessants en calcul vectoriel. Mais ce n'est pas ici une nécessité.

Non c'est une conséquence de la définition de la colinéarité. Pour tout vecteur u, 0 appartient à la droite vectorielle Vect(u) donc u est colinéaire à tout vecteur de l'espace ambiant.

C'est juste pour un espace vectoriel.
Mais je pensais à la définition que l'on donne en seconde, à savoir que deux vecteurs sont colinéaires ss'ils ont même direction.
Or, le vecteur nul n'a pas de direction, d'où la convention, bien pratique.

Mais sur le fond, tu as raison.

Ah oui pardon, je me suis parti tout seul dans mon délire alors ! Dans ce cas peut-être qu'il faudrait définir la colinéarité comme la proportionnalité des coordonnées pour introduire le critère de 1S, mais si on n'en a pas envie, on peut aussi définir ça comme le fait qu'il existe un nombre réel k tel que u=kv ou v = ku, et dans ce cas pour tout vecteur u, 0 = 0 . u.

Au passage j'ai édité l'ânerie !

Samuel DM a écrit:Ah oui pardon, je me suis parti tout seul dans mon délire alors ! Dans ce cas peut-être qu'il faudrait définir la colinéarité comme la proportionnalité des coordonnées pour introduire le critère de 1S, mais si on n'en a pas envie, on peut aussi définir ça comme le fait qu'il existe un nombre réel k tel que u=kv ou v = ku, et dans ce cas pour tout vecteur u, 0 = 0 . u.

Au passage j'ai édité l'ânerie !

Personnellement, je n'aime autant pas : on perd de vue le caractère géométrique des vecteurs pour risquer de les réduire à un couple de réels.
C'est ce que préconisent les programmes, mais, de ce point de vue (encore) ils sont assez dangereux mathématiquement à mon avis.

Bon, ben on ne saura pas...

Samuel DM a écrit:

Igniatius a écrit:Que l'on dise que le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur me semble plus relever de la convention, pour ne pas s'ennuyer a discriminer des cas peu interessants en calcul vectoriel. Mais ce n'est pas ici une nécessité.

Non c'est une conséquence de la définition de la colinéarité. Pour tout vecteur u, 0 appartient à la droite vectorielle Vect(u) donc 0 est colinéaire à tout vecteur de l'espace ambiant.

Pour ce qui est de la division, elle n'est pas, à ma connaissance, définie comme une opération en tant que telle, mais plutôt comme il l'a été dit, comme la multiplication par l'inverse. Donc pour pouvoir diviser par a, il faut que a ait un inverse, ce qui n'est pas le cas pour 0. Le seul moment où on parle de division, c'est lorsqu'on construit le corps des fraction d'un anneau intègre A pour obtenir Q ou K(X) par exemple, et on définit bien l'inverse pour toute fraction a/b avec a et b dans A*.

Dans vos tentatives de justification, il est beaucoup question de définitions et de conséquences de définitions. J'en reviens à ma conviction profonde : en quoi tout ceci est-il non-conventionnel, autrement dit naturel ? Lorsque x tend vers 0, 1 est la limite de la fonction 1/1+x car, "à la limite", 1/1+0 = 1. Alors, qu'est-ce qui empêche de dire que, lorsque x tend vers 0, la fonction 1/x tend vers ±∞ car 1/0 = ±∞ ? Vous invoquez la cohérence du système. Bon, je rappelle quand même que, d'après le second théorème de Gödel, la cohérence d'un système formel supérieur à l'arithmétique de Peano (en gros, l'ensemble N doté de la fonction "successeur") n'est jamais démontrable dans le système lui-même. Ce qui veut dire que, pour établir cette cohérence, il faut faire appel à un système plus puissant, un méta-système en quelque sorte. Derechef, en quoi ce recours est-il autre que conventionnel ?

Samuel DM a écrit:Pour ce qui est des élèves, je pense qu'il faut effectivement définir a/b comme le nombre qui, multiplié par b donne a.

Ceci est valable dans Q (par définition !) mais pas dans R. Si C est la circonférence et D le diamètre d'un cercle, C/D = π. Mais si vous définissez la division comme la converse de la multiplication, comment vous y prenez-vous pour "multiplier" π par D pour, in fine, obtenir C ?